(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习12《导数的计算》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
已知函数f(x)＝eq \f(x,ex)，则其导函数f′(x)＝( )
A.eq \f(1＋x,ex) B.eq \f(1－x,ex) C.1＋x D.1﹣x
【答案解析】答案为：B.
解析：函数f(x)＝eq \f(x,ex)，则其导函数f′(x)＝eq \f(ex－xex,e2x)＝eq \f(1－x,ex)，故选B.
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )
A.﹣e B.1 C.﹣1 D.e
【答案解析】答案为：C.
解析：由题可得f′(x)＝2f′(1)＋eq \f(1,x)，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝﹣1，所以选C.
设f(x)＝x(2 023＋ln x)，若f′(x0)＝2 024，则x0等于( )
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
【答案解析】答案为：B.
解析：f′(x)＝2 023＋ln x＋1＝2 024＋ln x，由f′(x0)＝2 024，
得2 024＋ln x0＝2 024，则ln x0＝0，解得x0＝1.
已知函数f(x)＝aln x＋bx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线x﹣y＋1＝0垂直，则a的值为( )
A.﹣1 B.1 C.3 D.﹣3
【答案解析】答案为：D.
解析：由已知可得P(1,1)在函数f(x)的图象上，
所以f(1)＝1，即aln 1＋b×12＝1，解得b＝1，
所以f(x)＝aln x＋x2，故f′(x)＝eq \f(a,x)＋2x.
则函数f(x)的图象在点P(1,1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，
因为切线与直线x﹣y＋1＝0垂直，所以a＋2＝﹣1，即a＝﹣3.
曲线y＝ex﹣ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A.(1﹣e)x﹣y＋1＝0 B.(1﹣e)x﹣y﹣1＝0
C.(e﹣1)x﹣y＋1＝0 D.(e﹣1)x﹣y﹣1＝0
【答案解析】答案为：C.
解析：由于y′＝e﹣eq \f(1,x)，所以y′|x＝1＝e﹣1，故曲线y＝ex﹣ln x在点(1，e)处的切线方程为y﹣e＝(e﹣1)(x﹣1)，即(e﹣1)x﹣y＋1＝0.
曲线y＝x3﹣2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意知点(1,3)在曲线y＝x3﹣2x＋4上.∵y＝x3﹣2x＋4，∴y′＝3x2﹣2，根据导数的几何意义，可知曲线y＝x3﹣2x＋4在点(1,3)处的切线的斜率k＝y′|x＝1＝1，∴曲线y＝x3﹣2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45°.故选B.
若直线y＝kx＋2是函数f(x)＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
【答案解析】答案为：C.
解析：直线y＝kx＋2过(0,2)，f′(x)＝3x2﹣2x﹣3，设切点为(x0，y0)，故切线方程为y﹣y0＝(3xeq \\al(2,0)﹣2x0﹣3)(x﹣x0)，将(0,2)代入切线方程并结合y0＝xeq \\al(3,0)﹣xeq \\al(2,0)﹣3x0﹣1，解得x0＝﹣1，y0＝0，代入y＝kx＋2，解得k＝2.
曲线f(x)＝x3﹣x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x﹣1，则P点的坐标为( )
A.(1,3) B.(﹣1,3) C.(1,3)和(﹣1,3) D.(1，﹣3)
【答案解析】答案为：C.
解析：f′(x)＝3x2﹣1，令f′(x)＝2，则3x2﹣1＝2，解得x＝1或x＝﹣1，
∴P(1,3)或(﹣1,3)，经检验，点(1,3)，(﹣1,3)均不在直线y＝2x﹣1上，故选C.
设函数f(x)＝x3＋(a﹣1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y＝﹣2x B.y＝﹣x C.y＝2x D.y＝x
【答案解析】答案为：D.
解析：∵f(x)＝x3＋(a﹣1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a﹣1)x＋a.
又∵f(x)为奇函数，∴f(﹣x)＝﹣f(x)恒成立，
即﹣x3＋(a﹣1)x2﹣ax＝﹣x3﹣(a﹣1)x2﹣ax恒成立，
∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.
已知曲线f(x)＝e2x﹣2ex＋ax﹣1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(3，eq \f(7,2)) B.(3，＋∞) C.(﹣∞，eq \f(7,2)) D.(0,3)
【答案解析】答案为：A.
解析：由题得f′(x)＝2e2x﹣2ex＋a，则方程2e2x﹣2ex＋a＝3有两个不同的正解，
令t＝ex(t＞0)，且g(t)＝2t2﹣2t＋a﹣3，则由图像可知，有g(0)＞0且Δ＞0，
即a﹣3＞0且4﹣8(a﹣3)＞0，解得3＜a＜eq \f(7,2).故选A.
已知函数f(x)＝e2x﹣1，直线l过点(0，﹣e)且与曲线y＝f(x)相切，则切点的横坐标为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.e﹣1
【答案解析】答案为：A
解析：设切点为(x0，e2x0﹣1)，∵f′(x)＝2e2x﹣1，∴2e2x0﹣1＝eq \f(e2x0－1＋e,x0)，化简得2x0﹣1＝e2﹣2x0.令y＝2x﹣1﹣e2﹣2x，则y′＝2＋2e2﹣2x＞0.∵x＝1时，y＝0，∴x0＝1.故选A.
设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为( )
A.(0,0) B.(1，﹣1) C.(﹣1,1) D.(1，﹣1)或(﹣1,1)
【答案解析】答案为：D.
解析：f′(x)＝3x2＋2ax，依题意，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x\\al(2,0)＋2ax0＝－1，,x0＋fx0＝0，,fx0＝x\\al(3,0)＋ax\\al(2,0)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,x0＝1，,fx0＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,x0＝－1，,fx0＝1，))故选D.
二、填空题
函数y＝xcs x﹣sin x的导数为________.
【答案解析】答案为：﹣xsin x.
已知f(x)＝13﹣8x＋2x2，f′(x0)＝4，则x0＝________.
【答案解析】答案为：3.
解析：∵f′(x)＝﹣8＋4x，∴f′(x0)＝﹣8＋4x0＝4，解得x0＝3.
曲线y＝lg2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________.
【答案解析】答案为：eq \f(1,2)lg2e.
解析：∵y′＝eq \f(1,xln 2)，∴切线的斜率k＝eq \f(1,ln 2)，∴切线方程为y＝eq \f(1,ln 2)(x﹣1)，
∴所求三角形的面积S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,ln 2)＝eq \f(1,2ln 2)＝eq \f(1,2)lg2e.
设函数f(x)＝g(eq \f(x,2))＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为9x＋y﹣1＝0，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为________.
【答案解析】答案为：x＋2y＋6＝0.
解析：由已知得g′(1)＝﹣9，g(1)＝﹣8，又f′(x)＝eq \f(1,2)g′(eq \f(x,2))＋2x，
∴f′(2)＝eq \f(1,2)g′(1)＋4＝﹣eq \f(9,2)＋4＝﹣eq \f(1,2)，f(2)＝g(1)＋4＝﹣4，
∴所求切线方程为y＋4＝﹣eq \f(1,2)(x﹣2)，即x＋2y＋6＝0.
三、解答题
已知函数f(x)＝x3﹣4x2＋5x﹣4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，﹣2)的曲线f(x)的切线方程.
【答案解析】解：(1)∵f′(x)＝3x2﹣8x＋5，
∴f′(2)＝1，又f(2)＝﹣2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y﹣(﹣2)＝x﹣2，即x﹣y﹣4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，xeq \\al(3,0)﹣4xeq \\al(2,0)＋5x0﹣4)，
∵f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)﹣8x0＋5，
∴切线方程为y﹣(﹣2)＝(3xeq \\al(2,0)﹣8x0＋5)(x﹣2)，
又切线过点(x0，xeq \\al(3,0)﹣4xeq \\al(2,0)＋5x0﹣4)，
∴xeq \\al(3,0)﹣4xeq \\al(2,0)＋5x0﹣2＝(3xeq \\al(2,0)﹣8x0＋5)(x0﹣2)，
整理得(x0﹣2)2(x0﹣1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过点A(2，﹣2)的曲线f(x)的切线方程为x﹣y﹣4＝0或y＋2＝0.
已知函数f(x)＝x3﹣x.
(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围.
【答案解析】解：(1)f′(x)＝3x2﹣1，
∴f′(1)＝2.
故切线方程为y﹣0＝2(x﹣1)，即2x﹣y﹣2＝0.
(2)设切点为(x0，xeq \\al(3,0)﹣x0)，则切线方程为y﹣(xeq \\al(3,0)﹣x0)＝f′(x0)(x﹣x0).
又切线过点(1，b)，
所以(3xeq \\al(2,0)﹣1)(1﹣x0)＋xeq \\al(3,0)﹣x0＝b，
即2xeq \\al(3,0)﹣3xeq \\al(2,0)＋b＋1＝0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解.
记g(x)＝2x3﹣3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
而g′(x)＝6x(x﹣1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，
则结合图像可知g(0)g(1)＜0即可，可得b∈(﹣1,0).