(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习16《任意角和弧度制、任意角的三角函数》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
2弧度的角所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案解析】答案为：B.
解析：∵eq \f(π,2)＜2＜π，∴2弧度的角在第二象限.
半径为1 cm，圆心角为150°的角所对的弧长为( )
A.eq \f(2,3) cm B.eq \f(2π,3) cm C.eq \f(5,6) cm D.eq \f(5π,6) cm
【答案解析】答案为：D.
解析：∵α＝150°＝eq \f(5,6)π rad，∴l＝α·r＝eq \f(5,6)π cm.
一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案解析】答案为：C.
解析：设扇形的圆心角的弧度数为θ，半径为R.
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θR＝6，,\f(1,2)θR2＝6.))解得θ＝3，即扇形的圆心角的弧度数是3.故选C.
终边在坐标轴上的角的集合是( )
A.{φ|φ＝k·360°，k∈Z}
B.{φ|φ＝k·180°，k∈Z}
C.{φ|φ＝k·90°，k∈Z}
D.{φ|φ＝k·180°＋90°，k∈Z}
【答案解析】答案为：C.
解析：令k＝4m，k＝4m＋1，k＝4m＋2，k＝4m＋3，k，m∈Z.分别代入选项C进行检验：
(1)若k＝4m，则φ＝4m·90°＝m·360°；
(2)若k＝4m＋1，则φ＝(4m＋1)·90°＝m·360°＋90°；
(3)若k＝4m＋2，则φ＝(4m＋2)·90°＝m·360°＋180°；
(4)若k＝4m＋3，则φ＝(4m＋3)·90°＝m·360°＋270°.
综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是{φ|φ＝k·90°，k∈Z}.
若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝﹣eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A.{α|α＝2kπ-eq \f(π,3)，k∈Z} B.{α|α＝2kπ+eq \f(2π,3)，k∈Z}
C.{α|α＝kπ+eq \f(2π,3)，k∈Z} D.{α|α＝kπ-eq \f(π,3)，k∈Z}
【答案解析】答案为：D.
解析：因为直线y＝﹣eq \r(3)x的倾斜角是eq \f(2π,3)，所以终边落在直线y＝﹣eq \r(3)x上的角的取值集合为{α|eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))α＝kπ-eq \f(π,3)，k∈Z}.故选D.
若sin αtan α＜0，且eq \f(cs α,tan α)＜0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
【答案解析】答案为：C.
解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.
由eq \f(cs α,tan α)＜0可知cs α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.
综上可知，α为第三象限角.
设角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α＞0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：A.
解析：α的终边在第一、二象限能推出sin α＞0，sin α＞0成立能推出α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α＞0”的充分不必要条件.故选A.
已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若角α的终边经过点P(eq \f(3,5)，﹣eq \f(4,5))，则cs α·tan α的值是( )
A.﹣eq \f(4,5) B.eq \f(4,5) C.﹣eq \f(3,5) D.eq \f(3,5)
【答案解析】答案为：A.
解析：因为角α的终边经过点P(eq \f(3,5)，﹣eq \f(4,5))，
所以cs α＝eq \f(3,5)，tan α＝﹣eq \f(4,3)，所以cs α·tan α＝eq \f(3,5)×(﹣eq \f(4,3))＝﹣eq \f(4,5).
已知角α(0°≤α＜360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cs 150°)，则α＝( )
A.150° B.135° C.300° D.60°
【答案解析】答案为：C.
解析：sin 150°＝eq \f(1,2)＞0，cs 150°＝﹣eq \f(\r(3),2)＜0，角α终边上一点的坐标为(eq \f(1,2)，﹣eq \f(\r(3),2))，
故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝﹣eq \f(\r(3),2)，又0°≤α＜360°，
所以角α为300°，故选C.
点P(cs 2 025°，sin 2 025°)所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案解析】答案为：C.
解析：2 025°＝5×360°＋225°，即角2 025°与角225°的终边相同，225°＝180°＋45°，所以角225°在第三象限，即角2 025°也在第三象限.所以cs 2 025°＜0，sin 2 025°＜0，所以点P在第三象限.
已知角α的终边经过点(3，﹣4)，则sin α＋eq \f(1,cs α)＝( )
A.﹣eq \f(1,5) B.eq \f(37,15) C.eq \f(37,20) D.eq \f(13,15)
【答案解析】答案为：D.
解析：∵角α的终边经过点(3，﹣4)，∴sin α＝﹣eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3,5)，
∴sin α＋eq \f(1,cs α)＝﹣eq \f(4,5)＋eq \f(5,3)＝eq \f(13,15).故选D.
已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，﹣2cs 2)，则sin α等于( )
A.sin 2 B.﹣sin 2 C.cs 2 D.﹣cs 2
【答案解析】答案为：D.
解析：因为r＝2，由任意角的三角函数的定义，得sin α＝eq \f(y,r)＝﹣cs 2.
二、填空题
已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于________.
【答案解析】答案为：eq \f(π,3).
解析：设扇形半径为r，弧长为l，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))
已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.
【答案解析】答案为：eq \f(360,π).
解析：由弧长公式l＝|α|r，得r＝eq \f(20,\f(100π,180))＝eq \f(36,π)，∴S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×20×eq \f(36,π)＝eq \f(360,π).
如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，cs α＝﹣eq \f(3,5)，则点A的坐标为________.
【答案解析】答案为：(﹣eq \f(3,5)，eq \f(4,5)).
解析：∵cs α＝﹣eq \f(3,5)，∴sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(4,5)，∴A(﹣eq \f(3,5)，eq \f(4,5)).
若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是第________象限角.
【答案解析】答案为：一或三.
解析：∵α是第二象限角，∴eq \f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴eq \f(π,4)＋kπ＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角.
若角θ的终边过点P(﹣4a,3a)(a≠0)，则sin θ＋cs θ等于________.
【答案解析】答案为：±eq \f(1,5).
解析：∵角θ的终边过点P(﹣4a,3a)(a≠0)，∴x＝﹣4a，y＝3a，r＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(y,r)＋eq \f(x,r)＝﹣eq \f(1,5).
当a＜0时，r＝﹣5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(y,r)＋eq \f(x,r)＝eq \f(1,5).故sin θ＋cs θ＝±eq \f(1,5).
已知角α的终边经过点(3a﹣9，a＋2)，且cs α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________.
【答案解析】答案为：(﹣2,3].
解析：∵cs α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴﹣2＜a≤3.
在(0,2π)内，使sin x＞cs x成立的x的取值范围为_________________.
【答案解析】答案为：(eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)).
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cs x的x值，
sineq \f(π,4)＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，sineq \f(5π,4)＝cseq \f(5π,4)＝﹣eq \f(\r(2),2).x∈(eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)).
函数y＝lg(3﹣4sin2x)的定义域为________.
【答案解析】答案为：(kπ-eq \f(π,3),kπ+eq \f(π,3))(k∈Z).
解析：∵3﹣4sin2x＞0，∴sin2x＜eq \f(3,4)，∴﹣eq \f(\r(3),2)＜sin x＜eq \f(\r(3),2).
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈(kπ-eq \f(π,3),kπ+eq \f(π,3))(k∈Z).
三、解答题
已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(3a,4a)，其中a≠0，求sin α，cs α，tan α.
【答案解析】解：设r＝|OP|＝5|a|.
当a＞0时，r＝5a，
∴sin α＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，cs α＝eq \f(3a,5a)＝eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(4a,3a)＝eq \f(4,3)；
当a＜0时，r＝﹣5a，
∴sin α＝﹣eq \f(4,5)，cs α＝﹣eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(4,3).
综上可知，sinα＝eq \f(4,5)，csα＝eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(4,3)或sinα＝﹣eq \f(4,5)，csα＝﹣eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(4,3).
如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
(1)若点B的横坐标为﹣eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈(0，eq \f(2π,3)]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
【答案解析】解：(1)由题意可得B(﹣eq \f(4,5)，eq \f(3,5))，根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝﹣eq \f(3,4).
(2)若△AOB为等边三角形，则B(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，
可得tan∠AOB＝eq \f(y,x)＝eq \r(3)，故∠AOB＝eq \f(π,3)；
故与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.}
(3)若α∈(0，eq \f(2π,3)]，则S扇形OAB＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)α，
而S△AOB＝eq \f(1,2)×1×1×sin α＝eq \f(1,2)sin α，
故弓形AB的面积S＝S扇形OAB﹣S△AOB＝eq \f(1,2)α﹣eq \f(1,2)sin α，α∈(0，eq \f(2π,3)].