(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习19《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))的振幅、频率和初相分别为( )
A.2，eq \f(1,π)，eq \f(π,4) B.2，eq \f(1,2π)，eq \f(π,4) C.2，eq \f(1,π)，eq \f(π,8) D.2，eq \f(1,2π)，﹣eq \f(π,8)
【答案解析】答案为：A.
解析：由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,4))的振幅为2，频率为eq \f(1,π)，初相为eq \f(π,4).
若函数f(x)＝sin(ωx﹣φ)(|φ|≤eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )
A.ω＝1，φ＝eq \f(π,3) B.ω＝1，φ＝﹣eq \f(π,3)
C.ω＝eq \f(1,2)，φ＝eq \f(π,6) D.ω＝eq \f(1,2)，φ＝﹣eq \f(π,6)
【答案解析】答案为：D.
解析：由图象可知，函数的周期为4[eq \f(2π,3)﹣(﹣eq \f(π,3))]＝4π，所以ω＝eq \f(2π,4π)＝eq \f(1,2)，将(eq \f(2π,3)，1)代入y＝sin(eq \f(1,2)x﹣φ)，又|φ|≤eq \f(π,2)，得φ＝﹣eq \f(π,6)，故选D.
函数y＝sin(2x﹣eq \f(π,3))在区间[﹣eq \f(π,2)，π]上的简图是( )
【答案解析】答案为：A.
解析：令x＝0，得y＝sin(﹣eq \f(π,3))＝﹣eq \f(\r(3),2)，排除B、D.
由f(﹣eq \f(π,3))＝0，f(eq \f(π,6))＝0，排除C，故选A.
将函数y＝sin(2x＋ SKIPIF 1 < 0 )的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度，所得图象对应的函数( )
A.在区间[eq \f(3π,4)，eq \f(5π,4)]上单调递增 B.在区间[eq \f(3π,4)，π]上单调递减
C.在区间[eq \f(5π,4)，eq \f(3π,2)]上单调递增 D.在区间[eq \f(3π,2)，2π]上单调递减
【答案解析】答案为：A.
解析：将函数y＝sin(2x＋ SKIPIF 1 < 0 )的图象向右平移eq \f(π,10)个单位长度后的解析式为y＝sin[2(x﹣eq \f(π,10))＋ SKIPIF 1 < 0 ]＝sin 2x，则函数y＝sin 2x的一个单调递增区间为[eq \f(3π,4)，eq \f(5π,4)]，一个单调递减区间为[eq \f(5π,4)，eq \f(7π,4)].由此可判断选项A正确.
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图所示，则f(2 027)＝( )
A.1 B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
【答案解析】答案为：C.
解析：由函数图象可知最小正周期T＝4，所以f(2 027)＝f(506×4＋3)＝f(3)，观察图象可知f(3)＝eq \f(1,2)，所以f(2 027)＝eq \f(1,2).故选C.
将函数f(x)＝tan(ωx＋eq \f(π,3))(0＜ω＜10)的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度之后与函数f(x)的图象重合，则ω＝( )
A.9 B.6 C.4 D.8
【答案解析】答案为：B.
解析：函数f(x)＝tan(ωx＋eq \f(π,3))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f(x)＝tan[ω(x﹣eq \f(π,6))＋eq \f(π,3)]＝tan(ωx﹣eq \f(ωπ,6)＋eq \f(π,3))，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴﹣eq \f(ωπ,6)＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，解得ω＝﹣6k，k∈Z.
又0＜ω＜10，∴ω＝6.故选B.
函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为eq \f(π,2)，则f(eq \f(π,6))的值是( )
A.﹣eq \r(3) B.eq \f(\r(3),3) C.1 D.eq \r(3)
【答案解析】答案为：D.
解析：由题意可知该函数的周期为eq \f(π,2)，∴eq \f(π,ω)＝eq \f(π,2)，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f(eq \f(π,6))＝tan eq \f(π,3)＝eq \r(3).
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，﹣eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则φ的值为( )
A.﹣eq \f(π,3) B.eq \f(π,3) C.﹣eq \f(π,6) D.eq \f(π,6)
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意，得eq \f(T,2)＝eq \f(π,3)﹣(﹣eq \f(π,6))＝eq \f(π,2)，所以T＝π，由T＝eq \f(2π,ω)，得ω＝2，
由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ).
又因为f(eq \f(π,3))＝sin(eq \f(2π,3)＋φ)＝0，﹣eq \f(π,2)＜φ＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,3).
已知函数f(x)＝eq \r(2)cs(2x＋eq \f(π,4))，则以下判断中正确的是( )
A.函数f(x)的图象可由函数y＝eq \r(2)cs 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度得到
B.函数f(x)的图象可由函数y＝eq \r(2)cs 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度得到
C.函数f(x)的图象可由函数y＝eq \r(2)sin 2x的图象向右平移eq \f(3π,8)个单位长度得到
D.函数f(x)的图象可由函数y＝eq \r(2)sin 2x的图象向左平移eq \f(3π,4)个单位长度得到
【答案解析】答案为：A.
解析：因为f(x)＝eq \r(2)cs(2x＋eq \f(π,4))，所以函数f(x)的图象可由函数y＝eq \r(2)cs 2x的图象向左平移eq \f(π,8)个单位长度得到，故选A.
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )
A.y＝﹣cs 2x B.y＝cs 2x
C.y＝sin(2x＋eq \f(5π,6)) D.y＝sin(2x﹣eq \f(π,6))
【答案解析】答案为：C.
解析：设函数f(x)的最小正周期为T.由题图知，eq \f(3,4)T＝eq \f(11,12)π﹣eq \f(π,6)，得T＝π＝eq \f(2π,ω)，
∴ω＝2；由f(x)的最大值为1，得A＝1，∴f(x)＝sin(2x＋φ)，
将(eq \f(π,6)，1)的坐标代入可得sin(eq \f(π,3)＋φ)＝1，又∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6)，
∴f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,6)).f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，
可得g(x)＝sin[2(x＋eq \f(π,3))＋eq \f(π,6)]＝sin(2x＋eq \f(5π,6))的图象.故选C.
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|＜eq \f(π,2))的最小正周期为6π，将其图象向右平移eq \f(2π,3)个单位长度后得到函数g(x)＝sin ωx的图象，则φ等于( )
A.eq \f(4π,9) B.eq \f(2π,9) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意得eq \f(2π,ω)＝6π，∴ω＝eq \f(1,3).∴f(x)＝sin(eq \f(1,3)x＋φ).将其图象向右平移 eq \f(2π,3)个单位长度后得到的函数图象的解析式为g(x)＝sin[eq \f(1,3)(x﹣ eq \f(2π,3))＋φ]＝sin(eq \f(1,3)x﹣eq \f(2π,9)＋φ)＝sin eq \f(1,3)x，∴φ﹣eq \f(2π,9)＝2kπ(k∈Z).解得φ＝2kπ＋eq \f(2π,9)(k∈Z)，∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(2π,9).故选B.
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω＞0)图象的最高点与相邻最低点的距离是eq \r(17)，若将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(1,6)个单位长度得到y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)图象的一条对称轴方程是( )
A.x＝eq \f(5,6) B.x＝eq \f(1,3) C.x＝eq \f(1,2) D.x＝0
【答案解析】答案为：B.
解析：函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,3))的最大值为2，由 SKIPIF 1 < 0 ＝1可得函数f(x)的周期T＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f(x)＝2sin(πx＋eq \f(π,3)).将y＝f(x)的图象向右平移eq \f(1,6)个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g(x)＝2sin[π(x﹣eq \f(1,6))＋eq \f(π,3)]＝2sin(πx＋eq \f(π,6))，当x＝eq \f(1,3)时，g(eq \f(1,3))＝2sin(eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))eq \f(π,3)＋eq \f(π,6))＝2，为函数的最大值，故直线x＝eq \f(1,3)为函数y＝g(x)图象的一条对称轴.故选B.
二、填空题
据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq \f(π,2))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.
【答案解析】答案为：6 000.
解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9﹣3)＝12，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).
将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有eq \f(π,6)×3＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sineq \f(π,6)x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*).
∴f(7)＝2 000×sineq \f(7π,6)＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元.
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，其中A，B两点间距离为5，则ω＋φ＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(7,6)π.
解析：∵AB＝5＝eq \r(\f(T2,4)＋16)，∴T＝6＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(π,3).∵f(2)＝﹣2，
∴eq \f(2,3)π＋φ＝2kπ＋eq \f(3,2)π，k∈Z.又∵0＜φ＜π，∴φ＝eq \f(5,6)π，∴φ＋ω＝eq \f(7,6)π.
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，﹣eq \f(π,2)≤|φ|≤eq \f(π,2))的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2eq \r(2)，且图象过点(2，﹣eq \f(1,2))，则函数f(x)＝____________.
【答案解析】答案为：sin(eq \f(π,2)x＋eq \f(π,6)).
解析：依题意得 SKIPIF 1 < 0 ＝2eq \r(2)，ω＞0，所以ω＝eq \f(π,2)，所以f(x)＝sin(eq \f(π,2)x＋φ).
因为该函数图象过点(2，﹣eq \f(1,2))，所以sin(π＋φ)＝﹣eq \f(1,2)，即sin φ＝eq \f(1,2).
因为﹣eq \f(π,2)≤φ≤eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)，所以f(x)＝sin(eq \f(π,2)x＋eq \f(π,6)).
设定义在R上的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，﹣eq \f(π,12)＜φ＜eq \f(π,2))，给出以下四个论断：
①f(x)的最小正周期为π；
②f(x)在区间(﹣eq \f(π,6)，0)上是增函数；
③f(x)的图象关于点(eq \f(π,3)，0)对称；
④f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称.
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式)__________.(用到的论断都用序号表示)
【答案解析】答案为：①④⇒②③或①③⇒②④.
解析：若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ).
同时若f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，则sin(2×eq \f(π,12)＋φ)＝±1，
又﹣eq \f(π,12)＜φ＜eq \f(π,2)，∴2×eq \f(π,12)＋φ＝eq \f(π,2)，
∴φ＝eq \f(π,3)，此时f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))，②③成立，故①④⇒②③.
若f(x)的最小正周期为π，则ω＝2，函数f(x)＝sin(2x＋φ)，同时若f(x)的图象关于点(eq \f(π,3)，0)对称，则2×eq \f(π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，
又﹣eq \f(π,12)＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3)，此时f(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3))，②④成立，故①③⇒②④.
三、解答题
已知函数f(x)＝4cs x·sin(x＋eq \f(π,6))＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象.
【答案解析】解：(1)f(x)＝4cs xsin(x＋eq \f(π,6))＋a
＝4cs x·(eq \f(\r(3),2)sin x＋eq \f(1,2)cs x)＋a
＝eq \r(3)sin 2x＋2cs2x＋a
＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＋1＋a
＝2sin(2x＋eq \f(π,6))＋1＋a，
∵f(x)的最大值为2，
∴a＝﹣1，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))，列表：
画图如下：
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜eq \f(π,2))的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若α为第二象限角且sin α＝eq \f(3,5)，求f(α)的值.
【答案解析】解：(1)由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2(eq \f(11π,12)﹣eq \f(5π,12))＝π，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝2.
又∵函数f(x)的图象过点(eq \f(5π,12)，0)，且点(eq \f(5π,12)，0)处于函数图象下降部分，
∴2×eq \f(5π,12)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z.
∵0＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
∴f(x)＝Asin(2x＋eq \f(π,6)).
∵函数图象过点(0,1)，∴Asin eq \f(π,6)＝1，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6)).
(2)∵α为第二象限角且sin α＝eq \f(3,5)，∴cs α＝﹣eq \f(4,5)，
∴sin 2α＝2sin αcs α＝﹣eq \f(24,25)，cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝eq \f(7,25)，
∴f(α)＝2sin(2α＋eq \f(π,6))＝2(sin 2αcs eq \f(π,6)＋cs 2αsin eq \f(π,6))＝eq \f(7－24\r(3),25).
设函数f(x)＝sin(eq \f(π,3)x﹣eq \f(π,6))﹣2cs2eq \f(π,6)x.
(1)试说明y＝f(x)的图象由函数y＝eq \r(3)sin eq \f(π,3)x的图象经过怎样的变化得到；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，当x∈[0,1]时，求函数y＝g(x)的最值.
【答案解析】解：(1)∵函数f(x)＝sin(eq \f(π,3)x﹣eq \f(π,6))﹣2cs2eq \f(πx,6)
＝sin eq \f(π,3)xcs eq \f(π,6)﹣cs eq \f(π,3)xsin eq \f(π,6)﹣cs eq \f(π,3)x﹣1
＝eq \f(\r(3),2)sin eq \f(π,3)x﹣eq \f(3,2)cs eq \f(π,3)x﹣1
＝eq \r(3)sin(eq \f(π,3)x﹣eq \f(π,3))﹣1，
∴把函数y＝eq \r(3)sin eq \f(πx,3)的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象.
(2)∵函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴g(x)＝f(4﹣x)＝eq \r(3)sin[eq \f(π,3)(4﹣x)﹣eq \f(π,3)]﹣1＝eq \r(3)sin eq \f(π,3)x﹣1.
当x∈[0,1]时，eq \f(π,3)x∈[0，eq \f(π,3)]，
故当x＝0时，函数y＝g(x)取得最小值﹣1；
当x＝1时，函数y＝g(x)取得最大值eq \f(1,2).
已知函数f(x)=Msin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(M＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0)，B(6,0)，C是函数f(x)图象的一个最高点.a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，满足(a＋c)·(sinC－sinA)=(a＋b)sinB.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的eq \f(π,3)倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间.
【答案解析】解：(1)∵函数f(x)=Msin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(M＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))
的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0)，B(6,0)，
∴sinφ=0，∴φ=0，且eq \f(T,2)=eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)=6，∴ω=eq \f(π,6)，∴f(x)=Msineq \f(π,6)x.
∵C是函数f(x)图象的一个最高点，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，
满足(a＋c)(sinC－sinA)=(a＋b)sinB，
∴(a＋c)(c－a)=(a＋b)b，整理可得eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=－eq \f(1,2)，即csC=－eq \f(1,2)，∴C=eq \f(2π,3).
由题意可得CA=CB，∴A=eq \f(π,6)，
设AB的中点为D，连接CD，则CD⊥AB，且点D(3,0)，点C(3，M)，
根据tanA=taneq \f(π,6)=eq \f(\r(3),3)=eq \f(CD,AD)=eq \f(M,3)，得M=eq \r(3)，∴f(x)=eq \r(3)sineq \f(π,6)x.
(2)将函数f(x)=eq \r(3)sineq \f(π,6)x的图象向左平移1个单位，纵坐标不变，可得
y=eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋1))=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))的图象；
再把横坐标伸长为原来的eq \f(π,3)倍，得到函数
g(x)=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,π)·\f(π,6)x＋\f(π,6)))=eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象.
令2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(x,2)＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z.
得4kπ＋eq \f(2π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(8π,3)，k∈Z，
故函数g(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ＋\f(2π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))，k∈Z.
x
0
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
π
2x＋eq \f(π,6)
eq \f(π,6)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))
1
2
0
﹣2
0
1