(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习23《平面向量的数量积》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于( )
A.1 B.eq \r(3) C.3 D.3eq \r(3)
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于( )
A.12 B.12eq \r(2) C.﹣12eq \r(2) D.﹣12
已知向量a＝(λ，2)，b＝(﹣1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A.5 B.6 C.eq \r(41) D.4eq \r(3)
已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝﹣1，则a·(2a﹣b)＝( )
A.4 B.3 C.2 D.0
已知向量eq \(BA,\s\up7(―→))＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))，则∠ABC＝( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于( )
A.eq \r(7) B.eq \r(10) C.eq \r(13) D.4
若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(4π,3) D.﹣eq \f(2π,3)
已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m﹣n)，则λ＝( )
A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1
已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a﹣c)·(b﹣c)＝0，则| c |的最大值是( )
A.1 B.2 C.eq \r(2) D.eq \f(\r(2),2)
已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为eq \f(π,4)，则|b|＝( )
A.6 B.3eq \r(2) C.2eq \r(2) D.3
已知向量a＝(﹣2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝( )
A.﹣4 B.﹣6 C.4 D.eq \r(5)＋1
已知向量a＝(2，m)，b＝(3,1)，若向量a，b的夹角是锐角，则m的取值范围是( )
A.(﹣6，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，－\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))
二、填空题
设平面向量a＝(3,5)，b＝(﹣2,1)，则|a＋2b|＝________.
已知两个单位向量a，b满足|a＋2b|＝eq \r(3)，则a，b的夹角为________.
a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于_______.
已知向量eq \(AB,\s\up7(―→))＝(m,1)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(2﹣m，﹣4)，若eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＞11，则m的取值范围为________.
三、解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n=(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值.
已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b).
在△ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cs A，sin A)，n＝(eq \r(2)﹣sin A，cs A)，且|m＋n|＝2.
(1)求角A的大小；
(2)若b＝4eq \r(2)，c＝eq \r(2)a，求△ABC的面积.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs B＝eq \f(5,13).
(1)若sin A＝eq \f(4,5)，求cs C；
(2)若b＝4，求eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))的最小值.
已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设平面向量m＝(cs B，sin B)，n＝(cs C，﹣sin C)，m与n所成的夹角为120°.
(1)求A的值；
(2)若△ABC的面积S＝eq \f(8\r(3),3)，sin C＝2sin B，求a的值.
\s 0 (小白高考)新高考数学(适合体育生)一轮复习23《平面向量的数量积》巩固练习（含答案）答案解析
一、选择题
答案为：C
解析：由题意可得a·b＝|a|·|b|cs 30°＝2×eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3.
答案为：C
解析：由题意知m·n＝|m||n|cs 135°＝4×6×(﹣eq \f(\r(2),2))＝﹣12eq \r(2).
答案为：A
解析：∵a＝(λ，2)，b＝(﹣1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即﹣λ＋4＝0，∴λ＝4，
∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝eq \r(32＋42)＝5.
答案为：B.
解析：a·(2a﹣b)＝2a2﹣a·b＝2|a|2﹣a·b.
∵|a|＝1，a·b＝﹣1，∴原式＝2×12＋1＝3.
答案为：A.
解析：因为eq \(BA,\s\up7(―→))＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(eq \f(\r(3),2)，eq \f(1,2))，所以eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2).
又因为eq \(BA,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝|eq \(BA,\s\up7(―→))||eq \(BC,\s\up7(―→))|cs∠ABC＝1×1×cs∠ABC＝eq \f(\r(3),2)，
所以cs∠ABC＝eq \f(\r(3),2).又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.
答案为：C.
解析：依题意得a·b＝eq \f(1,2)，|a＋3b|＝eq \r(a2＋9b2＋6a·b)＝eq \r(13)，故选C.
答案为：A.
解析：∵(a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝﹣4，
cs＜a，b>＝eq \f(a·b,| a|| b|)＝eq \f(－4,2×4)＝﹣eq \f(1,2)，∴a，b＝eq \f(2π,3)，故选A.
答案为：B.
解析：∵(m＋n)⊥(m﹣n)，∴(m＋n)·(m﹣n)＝m2﹣n2＝(λ＋1)2＋1﹣(λ＋2)2﹣4＝0，
解得λ＝﹣3.故选B.
答案为：C.
解析：因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a﹣c)·(b﹣c)＝﹣c·(a＋b)＋|c|2
＝﹣|c||a＋b|·cs θ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，
所以|c|＝|a＋b|cs θ＝eq \r(2)cs θ≤eq \r(2)，所以|c|的最大值是eq \r(2).
答案为：D.
解析：因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|·cs eq \f(π,4)，所以|a＋b|＝3eq \r(2)，
将|a＋b|＝3eq \r(2)两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.
答案为：D.
解析：由题意可得a·b＝﹣2＋2m，且|b|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，则向量a在向量b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(－2＋2m,\r(5))＝2，解得m＝eq \r(5)＋1.故选D.
答案为：C
解析：因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，所以a·b＝6＋m，
因为向量a，b的夹角是锐角，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b＝6＋m>0，,2－3m≠0，))
解得m>﹣6，且m≠eq \f(2,3).所以实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，\f(2,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).
二、填空题
答案为：5eq \r(2).
解析：∵|a＋2b|2＝(﹣1)2＋72＝50，∴|a＋2b|＝5eq \r(2).
答案为：eq \f(2π,3).
解析：因为|a＋2b|＝eq \r(3)，所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝(eq \r(3))2.
又a，b是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＝﹣eq \f(1,2).
因为a·b＝|a|·|b|cs〈a，b〉，所以cs〈a，b〉＝﹣eq \f(1,2)，则a，b的夹角为eq \f(2π,3).
答案为：eq \f(16,65).
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＋x＝3，,6＋y＝18，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝12，))故b＝(﹣5,12)，所以csa，b＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(16,65).
答案为：(7，＋∞).
解析：由向量eq \(AB,\s\up7(―→))＝(m,1)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(2﹣m，﹣4)，得eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(BC,\s\up7(―→))＝(2，﹣3).
又因为eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))＞11，所以2m﹣3＞11，解得m＞7.
三、解答题
解：(1)若m⊥n，则m·n=0.
∴eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x=0，∴tan x=1.
(2)∵m与n的夹角为eq \f(π,3)，
∴m·n=|m||n|cseq \f(π,3)=1×1×eq \f(1,2)=eq \f(1,2)，即eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x=eq \f(1,2)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))=eq \f(1,2).
又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
∴x－eq \f(π,4)=eq \f(π,6)，即x=eq \f(5π,12).
解：由已知得，a·b＝4×8×（- eq \f(1,2)）＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，
∴|a＋b|＝4eq \r(3).
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16eq \r(3).
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.
∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直.
解：(1)∵m＋n＝(eq \r(2)＋cs A﹣sin A，cs A＋sin A)，
∴|m＋n|＝eq \r(\r(2)＋cs A－sin A2＋cs A＋sin A2)＝ SKIPIF 1 < 0 .
∵|m＋n|＝2，∴sin(A﹣eq \f(π,4))＝0，
又0＜A＜π，∴﹣eq \f(π,4)＜A﹣eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4)，∴A﹣eq \f(π,4)＝0，即A＝eq \f(π,4).
(2)∵c＝eq \r(2)a，A＝eq \f(π,4)，∴eq \f(c,a)＝eq \f(sin C,sin A)＝eq \r(2)，
∴sin C＝1，又0＜C＜π，∴C＝eq \f(π,2).
∴△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝eq \f(1,2)×(4eq \r(2))2＝16.
解：(1)在△ABC中，由cs B＝eq \f(5,13)得，sin B＝eq \f(12,13)，
∵sin B＝eq \f(12,13)>sin A，∴B>A，故A为锐角，
∴cs A＝eq \f(3,5)，
∴cs C＝﹣cs(A＋B)＝﹣cs Acs B＋sin Asin B＝eq \f(33,65).
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2accs B得，
16＝a2＋c2﹣eq \f(10,13)ac≥2ac﹣eq \f(10,13)ac＝eq \f(16,13)ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝accs(π﹣B)＝﹣accs B＝﹣eq \f(5,13)ac≥﹣5.
故eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))的最小值为﹣5.
解：(1)由题知cs 120°＝eq \f(m·n,|m||n|)
＝eq \f(cs Bcs C－sin Bsin C,\r(sin2B＋cs2B)·\r(cs2C＋－sin C2))＝cs(B＋C)＝﹣cs A＝﹣eq \f(1,2)，
则cs A＝eq \f(1,2).又0＜A＜π，则A＝eq \f(π,3).
(2)由正弦定理和sin C＝2sin B，得c＝2b.
则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝b2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(8\r(3),3)，则b2＝eq \f(16,3)，
解得b＝eq \f(4\r(3),3)，c＝eq \f(8\r(3),3).由余弦定理a2＝b2＋c2﹣2bccs A，
得a2＝eq \f(16,3)＋eq \f(64,3)﹣2×eq \f(4\r(3),3)×eq \f(8\r(3),3)×eq \f(1,2)＝16，则a＝4.