(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习40《双曲线》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
双曲线eq \f(x2,3)﹣y2＝1的焦点坐标是( )
A.(﹣eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B.(﹣2,0)，(2,0)
C.(0，﹣eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D.(0，﹣2)，(0,2)
【答案解析】答案为：B.
解析：∵双曲线方程为eq \f(x2,3)﹣y2＝1，∴a2＝3，b2＝1，且双曲线的焦点在x轴上，
∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(3＋1)＝2，即得该双曲线的焦点坐标为(﹣2,0)，(2,0).
双曲线eq \f(x2,25)﹣eq \f(y2,20)＝1的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \f(4,5)x B.y＝±eq \f(5,4)x C.y＝±eq \f(1,5)x D.y＝±eq \f(2\r(5),5)x
【答案解析】答案为：D.
解析：在双曲线eq \f(x2,25)﹣eq \f(y2,20)＝1中，a＝5，b＝2eq \r(5)，∴其渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(5),5)x，故选D.
下列双曲线中，渐近线方程不是y＝±eq \f(3,4)x的是( )
A.eq \f(x2,144)﹣eq \f(y2,81)＝1 B.eq \f(y2,18)﹣eq \f(x2,32)＝1 C.eq \f(y2,9)﹣eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,3)＝1
【答案解析】答案为：D.
解析：对于A，渐近线方程为y＝±eq \f(9,12)x＝±eq \f(3,4)x；对于B，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(18),\r(32))x＝±eq \f(3,4)x；对于C，渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x；对于D，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),2) x.故选D.
已知双曲线eq \f(y2,m)﹣eq \f(x2,9)＝1(m＞0)的一个焦点在直线x＋y＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±eq \f(3,4)x B.y＝±eq \f(4,3)x C.y＝±eq \f(2\r(2),3)x D.y＝±eq \f(3\r(2),4)x
【答案解析】答案为：B.
解析：由于双曲线eq \f(y2,m)﹣eq \f(x2,9)＝1(m＞0)的焦点在y轴上，且在直线x＋y＝5上，直线x＋y＝5与y轴的交点为(0,5)，所以c＝5，m＋9＝25，则m＝16，则双曲线的方程为eq \f(y2,16)﹣eq \f(x2,9)＝1，则双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.故选B.
已知抛物线x2＝8y与双曲线eq \f(y2,a2)﹣x2＝1(a＞0)的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.5x±3y＝0 B.3x±5y＝0 C.4x±5y＝0 D.5x±4y＝0
【答案解析】答案为：B.
解析：设点M(x0，y0)，则有|MF|＝y0＋2＝5，所以y0＝3，xeq \\al(2,0)＝24，
由点M(x0，y0)在双曲线eq \f(y2,a2)﹣x2＝1上，得eq \f(y\\al(2,0),a2)﹣xeq \\al(2,0)＝1，即eq \f(9,a2)﹣24＝1，解得a2＝eq \f(9,25)，
所以双曲线eq \f(y2,a2)﹣x2＝1的渐近线方程为eq \f(y2,a2)﹣x2＝0，即3x±5y＝0，选B.
设k＞1，则关于x，y的方程(1﹣k)x2＋y2＝k2﹣1所表示的曲线是( )
A.长轴在x轴上的椭圆 B.长轴在y轴上的椭圆
C.实轴在x轴上的双曲线 D.实轴在y轴上的双曲线
【答案解析】答案为：D.
解析：∵k＞1，∴1﹣k＜0，k2﹣1＞0，∴方程(1﹣k)x2＋y2＝k2﹣1所表示的曲线是实轴在y轴上的双曲线，故选D.
设P是双曲线eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A.1 B.17 C.1或17 D.以上均不对
【答案解析】答案为：B.
解析：根据双曲线的定义得||PF1|﹣|PF2||＝8⇒PF2＝1或17.
又|PF2|≥c﹣a＝2，故|PF2|＝17，故选B.
虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A.3 B.16＋eq \r(2) C.12＋eq \r(2) D.24
【答案解析】答案为：B.
解析：∵2b＝2，e＝eq \f(c,a)＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝eq \f(\r(2),4).
由双曲线的定义知：|AF2|﹣|AF1|＝2a＝eq \f(\r(2),2)，①|BF2|﹣|BF1|＝eq \f(\r(2),2)，②
①＋②得|AF2|＋|BF2|﹣(|AF1|＋|BF1|)＝eq \r(2)，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，
∴|AF2|＋|BF2|＝8＋eq \r(2)，则△ABF2的周长为16＋eq \r(2)，故选B.
设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则C的离心率为( )
A.eq \r(5) B.2 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
【答案解析】答案为：C.
解析：不妨设一条渐近线的方程为y＝eq \f(b,a)x，则F2到y＝eq \f(b,a)x的距离d＝eq \f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝eq \r(6)a，
又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据余弦定理得
cs∠POF1＝eq \f(a2＋c2－\r(6)a2,2ac)＝﹣cs∠POF2＝﹣eq \f(a,c)，
即3a2＋c2﹣(eq \r(6)a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3).
若a＞1，则双曲线eq \f(x2,a2)﹣y2＝1的离心率的取值范围是( )
A.(eq \r(2)，＋∞) B.(eq \r(2)，2) C.(1，eq \r(2)) D.(1,2)
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意得双曲线的离心率e＝eq \f(\r(a2＋1),a).即e2＝eq \f(a2＋1,a2)＝1＋eq \f(1,a2).
∵a＞1，∴0＜eq \f(1,a2)＜1，∴1＜1＋eq \f(1,a2)＜2，∴1＜e＜eq \r(2).
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(2)，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A.eq \r(2) B.2 C.eq \f(3\r(2),2) D.2eq \r(2)
【答案解析】答案为：D.
解析：∵e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2)，∴eq \f(b,a)＝1.∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.
∴点(4,0)到C的渐近线的距离d＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2).
过双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
【答案解析】答案为：A.
解析：连接OM.由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，
∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin 45°，即a＝c·eq \f(\r(2),2)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).故选A.
二、填空题
双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,9)＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,5)x，则a＝________.
【答案解析】答案为：5
解析：∵双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,9)＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(3,a)x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,5)x，∴a＝5.
已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,2)＝1(a＞0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________.
【答案解析】答案为：eq \r(2).
解析：易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,2)＝1的焦点为(2,0)，
则a2＋2＝22，即a＝eq \r(2)，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).
已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x﹣a)2＋y2＝eq \f(c2,16)的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________.
【答案解析】答案为：2.
解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，由题意可知该切线方程为y＝﹣eq \f(a,b)(x﹣c)，即ax＋by﹣ac＝0.又圆(x﹣a)2＋y2＝eq \f(c2,16)的圆心为(a,0)，半径为eq \f(c,4)，则圆心到切线的距离d＝eq \f(|a2－ac|,\r(a2＋b2))＝eq \f(ac－a2,c)＝eq \f(c,4)，又e＝eq \f(c,a)，则e2﹣4e＋4＝0，解得e＝2.
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________.
【答案解析】答案为：15.
解析：在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1(﹣3，0)，F2(3,0).根据椭圆的定义得|PM|＋|PF1|＝|PM|＋(2a﹣|PF2|)＝10＋(|PM|﹣|PF2|).
∵|PM|﹣|PF2|≤|MF2|，当且仅当P在直线MF2上时取等号，∴当点P与图中的点P0重合时，有(|PM|﹣|PF2|)max＝5，此时得|PM|＋|PF1|的最大值，为10＋5＝15.
三、解答题
根据下列条件，求双曲线的标准方程：
①虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
②渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，焦距为10；
③经过两点P(﹣3，2eq \r(7))和Q(﹣6eq \r(2)，﹣7)；
【答案解析】解：① 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)﹣eq \f(x2,36)＝1.
②设所求双曲线方程为eq \f(x2,4)﹣y2＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为eq \f(x2,4λ)﹣eq \f(y2,λ)＝1，
∴c＝eq \r(5λ).∴eq \r(5λ)＝5，λ＝5；
当λ0)
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解之得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线方程为eq \f(y2,25)﹣eq \f(x2,75)＝1.
已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1的两焦点为F1、F2.
(1)若点M在双曲线上，且eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3eq \r(2)，2)，求双曲线C的方程.
【答案解析】解：(1)如图所示，
不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
∴eq \f(1,2)mn＝4＝eq \f(1,2)|F1F2|h，∴h＝eq \f(2\r(5),5).
∴M点到x轴的距离为eq \f(2\r(5),5).
(2)设所求双曲线C的方程为eq \f(x2,16－λ)－eq \f(y2,4＋λ)＝1(－4