湘教版八年级上册2.2 命题与证明精品同步训练题

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1．（2023七下·增城期末）下列命题为假命题的是（ ）
A．垂线段最短B．同旁内角互补
C．对顶角相等D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行线的性质；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、 垂线段最短，是真命题，故不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补 ，原说法是假命题，故符合题意；
C、对顶角相等 ，是真命题，故不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等 ，是真命题，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据线段的性质、平行线的性质、对顶角的性质逐项判断即可.
2．（2023八下·温州期末）用反证法证明“若a∥b，b∥c，则a∥c”时，应假设（ ）
A．a与c不平行B．a∥c
C．a⊥cD．a与b不平行，b与c不平行
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“若a∥b，b∥c，则a∥c”时，应假设 a与c不平行.
故答案为：A
【分析】反证法的第一步是假设结论的反面，据此可求解.
3．（2023七下·凤凰期末）下列是真命题的是（ ）
A．有理数与数轴上的点一一对应
B．内错角相等
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
D．负数没有立方根
【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】A、实数与数轴上的点一一对应，而不是有理数，故A不符合题意.
B、当条两直线平行时，才会得到内错角相等，故B不符合题意.
C、正确，故C符合题意.
D、负数没有平方根，但有立方根，如3-8=-2，故D不符合题意.
故选C.
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题，如果题设成立，结论也一定成立的命题，就是真命题.
4．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠Bb，那么b−ab，那么b-ab，结论为b-a180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，
∴∠A=∠B=90°不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
【知识点】反证法
【解析】【分析】 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理、论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确.
15．（2022七下·镇江期中）阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等”
本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等” .事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实.
如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角.
假设∠1≠∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线.
根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD.
这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不正确，于是∠1=∠2.
解决问题：若x≠0且y≠0，请你用以上方法说明：x2+y2≠(x+y)2.
【答案】解：假设x2+y2=(x+y)2，
∵(x+y)2=x2+2xy+y2，
∴2xy=0，
即x=0或y=0，
这与x≠0且y≠0相矛盾，
∴假设x2+y2=(x+y)2不成立，
于是：x2+y2≠(x+y)2.
【知识点】完全平方公式及运用；反证法
【解析】【分析】假设x2+y2=(x+y)2，根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+2xy+y2，则2xy=0，据此可得x=0或y=0，这与x≠0且y≠0相矛盾，故假设不成立，据此解答.
四、综合题
16．（2023七下·连江期末）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，点E在AB的延长线上，请从①AB∥CD；②AC∥BD；③∠DBE+∠C=180°中，选取两个作为题设，第三个作为结论，组成一个命题，判断其真假，并证明．
小明的做法如下：选取①②作为题设，③作为结论．即“如果AB∥CD，AC∥BD，那么∠DBE+∠C=180°”是一个真命题．
证明：∵AB∥CD
∴∠A+∠C=180°（Ⅰ）
∵AC∥BD
∴∠A= Ⅱ （Ⅱ）
∴∠DBE+∠C=180°（等量代换）
（1）请帮助小明补全证明过程及推理依据；
（2）请作出与小明不同的选择，组成一个新的命题，判断其真假，并证明．
【答案】（1）解：两直线平行，同旁内角互补；∠DBE；两直线平行，同位角相等
（2）解：选取①③作为题设，②作为结论．即“如果AB∥CD，∠DBE+∠C=180°，那么AC∥BD”是一个真命题．
证明：∵AB∥CD
∴∠A+∠C=180°
∵∠DBE+∠C=180°
∴∠A=∠DBE
∴AC∥BD
【知识点】平行线的判定与性质；真命题与假命题；证明过程
【解析】【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补求证∠A+∠C=180°，再根据两直线平行，同位角相等求证∠A=∠DBE，最后利用等量代换即可证明么∠DBE+∠C=180°；
（2）根据两直线平行同旁内角互补求证∠A+∠C=180°，利用∠DBE+∠C=180°及等量代换即可证明AC∥BD.
17．（2022八上·霍邱月考）求证：顶角是锐角的等腰三角形腰上的高与底边夹角等于其顶角的一半．
（1）根据题意补全下图，并根据题设和结论，结合图形，用符号语言补充写出“已知”和“求证”．
已知：在锐角△ABC中，AB=AC， ▲ ；
求证： ▲ ．
（2）证明：
【答案】（1）解：已知：在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于D，
求证：∠BCD=12∠A．
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=12（180°-∠A）=90°-12∠A，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=90°-∠A，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=（90°-12∠A）-（90°-∠A）=12∠A．
【知识点】角的运算；定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）根据命题的定义求解即可；
（2）先求出∠B=∠ACB=12（180°-∠A）=90°-12∠A，再利用角的运算和等量代换可得∠BCD=12∠A。