数学八年级上册2.6 用尺规作三角形优秀当堂达标检测题

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1．（2023八上·内江期末）如图，AB//DC，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径作圆弧两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（ ）
A．120°B．30°C．150°D．60°
2．（2022·石家庄模拟）观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明AB>AC的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
3．（2023七下·松江期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB=∠A′O′B′，需要证明△COD和△C′O′D′，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．AASC．SSSD．ASA
4．（2023·路桥模拟）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断△ABC是等腰三角形的是（ ）.
A．B．
C．D．
5．（2023九上·厦门期末）如图，已知∠AOB，求作∠CDE，使得∠CDE=∠AOB.根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A．圆弧MN与圆弧FG是等弧B．线段ON与线段DF的长相等
C．圆弧FG与圆弧QH的半径相等D．扇形OMN与扇形DFG的面积相等
6．（2022八上·中山期末）如图所示，以 ∠AOB 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D，再分别以点 C 、 D 为圆心，大于 12CD 长为半径画弧，两弧在 ∠AOB 内部交于点 E，过点 E 作射线 OE，连接CD．则下列说法错误的（ ）
A．射线 OE 是 ∠AOB 的平分线
B．△COD 是等腰三角形
C．C、D 两点关于 OE 所在直线对称
D．O、E 两点关于 CD 所在直线对称
7．（2022八上·青州期中）数学课上，老师提出一个问题：经过已知角一边上的点，做一个角等于已知角.如图，用尺规过∠AOB的边OB上一点C（图①）作∠DCB=∠AOB（图②）.我们可以通过以下步骤作图：
①作射线CD；②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P.下列排序正确的是（ ）
A．①②③④B．②④③①C．③②④①D．④③①②
8．（2022八上·衢州期中）用尺规作图作∠APB的平分线PQ，痕迹如图所示，则此作图的依据是（ ）
A．(ASA)B．(SSS)C．(SAS)D．(AAS)
二、填空题
9．（2023·孝感模拟）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为 ．
10．（2023九下·睢宁开学考）中华人民共和国国旗上的五角星的五个角的和是 度.
11．（2021·柳州）在x轴，y轴上分别截取 OA=OB ，再分别以点A，B为圆心，以大于 12AB 长为半径画弧，两弧交于点P，若点P的坐标为 (a，2) ，则a的值是 .
12．（2021八下·锦江期末）如图，在 △ABC 中， ∠C=60∘， 以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 BA，BC 于点 E，F ，再分别以点 E，F 为圆心，大于 12EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P ，作射线 BP， 射线 BP 与 AC 交于点 D ，若 AD=BD ，则 ∠A= .
13．（2020八上·仙桃期中）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出 个.
三、解答题
14．（2022·凤县模拟）如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， ∠BAC=30° ，请利用尺规作图法在边BC上找一点D，使得 ∠ADB=105° .（保留作图痕迹，不写作法）
15．（2022七下·重庆市期中）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，若AB⊥BC，证明：AB⊥AE（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）.
四、作图题
16．（2023七下·揭西月考）作图题（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
已知：∠α，∠β，线段c．
求作：△ABC，便∠A=∠α，∠B=∠β，AB=2c．
五、综合题
17．（2023·潍坊模拟）如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边AB和∠B还保留着．
（1）小明要在练习册上画出原来的等腰△ABC，用到的基本作图可以是 （填写正确答案的序号）；
①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过一点作已知直线的垂线；
（2）CE为△ABC边AB上的中线，若∠B的一个外角为110°，求∠BCD的度数．
18．（2023·中山模拟）如图，已知∠MAN ，点B在射线AM上．
（1）尺规作图：
①在AN上取一点C，使BC=BA；
②作∠MBC的平分线BD．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BD∥AN．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：根据基本作图可得AH是∠CAB的平分线，则∠CAH=∠BAH，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∠AHD+∠BAH=180°，
∵∠C=120°，
∴∠CAB=180°-120°=60°，
∴∠CAH=∠BAH=30°，
∴∠AHD=180°-∠BAH=180°-30°=150°，
故答案为：C.
【分析】根据基本作图可得AH是∠CAB的平分线，则∠CAH=∠BAH，根据二直线平行，同旁内角互补可求∠CAB=60°，进而可得∠CAH的度数，最后根据三角形的内角和定理算出∠AHD的度数.
2．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图①为作BC的中垂线，即BD=DC， 由在△ABC中，AD+DC＞AC，即AD+DB＞AC，可判AB>AC；
如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定AB>AC；
如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即AD=AC，且AB>AD，∴AB>AC；
如图④为作∠ACB的平分线，无法判定AB>AC；
综上，①③符合题意．
故答案为：C．
【分析】如图①为作BC的中垂线，即BD=DC， 由在△ABC中，AD+DC＞AC，即AD+DB＞AC，可判AB>AC；如图②为作∠ABC的角平分线，无法判定AB>AC；如图③为以AC为半径画弧交AB于D，即AB>AC；如图④为作∠ACB的平分线，无法判定AB>AC；判断即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：由作图知：OC=OD=OC'=OD'，CD=C'D’，
∴△COD≌ △C′O′D′（SSS），
∴∠AOB=∠A′O′B′ ；
故答案为：C.
【分析】根据SSS证明△COD≌ △C′O′D′.
4．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；作图-角；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据一个角等于已知角的作法可知∠B=∠C，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
B、根据垂直平分线的作法可知AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
C、根据过直线外一点作平行线的作法可知，AC∥BD，∠ACB=∠CBD，
根据角平分线的作法可知，∠ABC=∠CBD，
∴∠ABC=∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合题意，选项错误；
D、不能判断△ABC是等腰三角形，符合题意，选项正确，
故答案为：D.
【分析】根据作图方法，再结合等腰三角形的判定逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角
【解析】【解答】解：如图，
（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M；
（2）作射线DE，以点D为圆心，以ON的长为半径画弧，交DE于点F；
（3）以点F为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于点G，
（4）过点G作射线DC
连接MN、GF，
依作图知，OM=ON=DF=DG，B不符合题意；
在△OMN与△DFG中，
OM＝DFON＝OGMN＝FG
则△OMN≌△DFG（SSS）.
∴∠AOB=∠CDE，
∴圆弧MN与圆弧FG是等弧，扇形OMN与扇形DFG的面积相等，故选项A、D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据基本作图，作一个角等于已知角的步骤及扇形面积计算方法即可一一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由题意得射线 OE 是 ∠AOB 的平分线，OC=OD，
∴△COD 是等腰三角形，点C、D 两点关于 OE 所在直线对称，
故D故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用角平分线的作图方法，等腰三角形的判定方法和性质及轴对称的性质逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：正确的排序是：②以点O为圆心，小于OC的长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；④以点C为圆心，OM的长为半径作弧，交OB于点P；③以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交上一段弧于点Q；①作射线CD.
故答案为：B.
【分析】根据角的作图方法和步骤求解即可。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接AQ，BQ，
∵用尺规作图作∠APB的平分线PQ，
∴AP=BP，AQ=BQ
在△APQ和△BPQ中
AP=BPAQ=BQPQ=PQ
∴△APQ≌△BPQ（SSS），
∴∠APQ=∠BPQ，
∴PQ平分∠APB.
故答案为：B
【分析】连接AQ，BQ，利用尺规作图作角平分线的方法，可知AP=BP，AQ=BQ；再利用SSS可证得△APQ≌△BPQ，利用全等三角形的对应角相等，可证得PQ平分∠APB.
9．【答案】65°
【知识点】三角形的外角性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠ACD=∠A+∠B=130°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=12∠ACD=65°.
故答案为：65°.
【分析】由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠ACD=∠A+∠B=130°，由作图痕迹可得射线CE是∠ACD的角平分线，进而根据角平分线的定义可求出∠DCE的度数.
10．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E，
∠1+∠2+∠C＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
故答案为：180.
【分析】画出示意图，由外角的性质可得∠2＝∠A+∠B，∠1＝∠D+∠E，根据内角和定理可得∠1+∠2+∠C＝180°，据此求解.
11．【答案】2或-2
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：当P点位于第一象限时，如下图所示：
由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标相等，
故a=2；
当P点位于第二象限时，如下图所示：
由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，此时P点横坐标与纵坐标互为相反数，
故a=-2；
∴a的值是2或-2.
【分析】由尺规作图痕迹可知，OP为∠AOB角平分线，然后分P点位于第一象限，P点位于第二象限两种情况进行分析.
12．【答案】40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，DB平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵DA=DB，
∴∠A=∠ABD=∠DBC，
∵∠C=60°，
∴∠A+∠ABC=180°-60°=120°，
∴3∠A=120°，
∴∠A=40°，
故答案为：40°.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABD=∠DBC，利用等边对等角可得到∠A=∠ABD=∠DBC；再利用三角形的内角和定理求出∠A+∠ABC的值，即可求出∠A的度数.
13．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定；作图-三角形
【解析】【解答】解：如图：
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等.
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等.
所以可画出6个.
故答案为：6.
【分析】根据网格的特点及全等三角形的性质可以以AB和BC为公共边分别画出3个，而AC得不到，从而得出结论.
14．【答案】解：如图，以A为圆心，任意长度为半径，作弧，交 CA，BA 于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径作弧，两弧交于 ∠CAB 内部于一点，过点A和两弧的交点作射线 AD ，交 BC 于点D，则点D即为所作.
∵ ∠C=90° ， ∠BAC=30° ，
∴∠CAD=15°
∴ ∠ADB=∠C+∠CAD=105°
【知识点】三角形的外角性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】以A为圆心，任意长度为半径作弧，交CA、BA于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径作弧，两弧交于∠CAB内部于一点，过点A和两弧的交点作射线AD，交BC于点D，则点D即为所作.
15．【答案】解：如图，
证明：∵∠CAE= ∠ACB，
∴BC∥AE，
∴∠EAB+∠B=180°，
∵AB⊥BC，即∠B=90°，
∴∠EAB=180°−∠B=180°−90°=90°，
∴AB⊥AE.
【知识点】平行线的判定与性质；作图-角
【解析】【分析】利用作一个角等于已知角的尺规作图，先进行作图；证明：由垂直的定义可得∠B=90°，由∠CAE= ∠ACB可得BC∥AE，利用平行线的性质可得∠EAB=180°-∠B=90°，即得结论.
16．【答案】解：如图所示：△ABC即为所求作的三角形．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】作射线AM，在射线AM上截取AB，使得AB=2c，在AB上方作∠EAB=α，∠FBA=β，AE交BF于点C.
17．【答案】（1）②或④
（2）解：∵∠B的一个外角为110°，
∴∠B=70°，
∵CA=CB，
∴∠A=∠B=70°，
∴∠ACB=180°−2×70°=40°，
∵CA=CB，CD⊥AB，
∴∠BCD=12∠ACB=20°．
【知识点】等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【解答】解：（1）由题可得： 小明要在练习册上画出原来的等腰△ABC，用到的基本作图可以是②作一个角等于已知角或④作已知线段的垂直平分线，
故答案为：②或④.
【分析】（1）根据作三角形的方法作图即可；
（2）根据题意先求出 ∠B=70°， 再根据等腰三角形的性质求出 ∠A=∠B=70°， 最后计算求解即可。
18．【答案】（1）解：①C就是所要求作的点；
②BD即为所求作的角平分线；
（2）解：∵BA=BC，
∴∠1=∠2，
∵BD平分∠MBC，
∴∠3=∠4，
∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠1+∠2，
∴∠3+∠4=∠1+∠2，
∴2∠3=2∠1，
∴∠3=∠1，
∴BD∥AC.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）①以B为圆心，BA为半径画弧，交AN于点C，则BC=BA；
②根据角平分线的作法进行作图；
（2）由等腰三角形的性质可得∠1=∠2，根据角平分线的概念可得∠3=∠4，由外角的性质可得∠MBC=∠1+∠2，则∠3+∠4=∠1+∠2，进而推出∠3=∠1，然后根据平行线的判定定理进行证明.