初中数学湘教版八年级上册4.3 一元一次不等式的解法优秀习题

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一、选择题
1．（2023七下·庐阳期末）不等式x−23−12≥−x4的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023七下·渝中期末）关于x的不等式4(x−1)−3(x−a)>1解集为x>−1，则a的值为（ ）
A．2B．−2C．1D．−1
3．（2023七下·江海期末）以下是一元一次不等式的是（ ）
A．x+y>0B．x2>0C．x2≠3D．2x≠3
4．（2022七上·桐柏期末）若不等式(a−1)x≤3的解集为x≥3a−1，则a的取值范围是（ ）
A．a<1B．a>1C．a>0D．a≤1
5．（2016八上·平谷期末）如果式子 x+3 有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023七下·潮南期末）关于x，y的方程组x−y=3a2x+4y=9，已知−4A．07．（2019七下·荔湾期末）已知实数 x ， y 同时满足三个条件：①x−y=4−p ；②x+y=2+3p ；③x>y ，那么实数 p 的取值范围是（ ）
A．p>43B．p<43C．p>4D．p<4
8．（2023七下·濮阳期末）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙B．甲和乙C．乙和丙D．乙和丁
二、填空题
9．（2023七下·潮南期末）不等式−4x≥−12的解集为 ．
10．（2023七下·凤凰期末）用不等式表示：a与2的差大于-1 ．
11．（2023七下·庐阳期末）不等式7−3x≥0的非负整数解有 个．
12．（2023八下·武侯期末）若关于x的分式方程1−xx−2=m2−x−2的解小于3，则m的取值范围是
13．（2023八下·青羊期末）关于x的方程1x−2+a−22−x=1的解是正数，则符合条件的a的所有正整数解之和为 ．
三、解答题
14．（2023七下·越秀期末）x取哪些整数时，不等式2x−1>−3与1+2x3≥x−1都成立？
15．（2023七下·合肥期末）解不等式：3+x2−1≥4(x+1)3，并把它的解集在数轴上表示出来．
四、综合题
16．（2023七下·天河期末）对于两个数a，b，我们定义：①M（a，b）表示这两个数的平均数，例如M(−1，3)=−1+32=1；
②max(a，b)表示这两个数中更大的数，当a≥b时，max(a，b)=a；当a（1）填空：M(2022，2024)= ，max(2023，2024)= ；
（2）已知max{−2x+5，−1}=−2x+5，求x的取值范围；
（3）已知M(4x+y，y)=max(0，1)M(5−2x，1)=M(x，x−2y)，求x和y的值．
17．（2023七下·黄岩期末）定义：已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，称d(A，B)=|x1−x2|+|y1−y2|为A，B两点之间的折线距离．例如点M(2，−3)与点N(5，2)之间的折线距离为d(M，N)=|2−5|+|−3−2|=3+5=8．如图，已知平面直角坐标系中点A(2，1)，B(−1，0)．
（1）d(A，B)= ；
（2）过点B作直线l平行于y轴，求直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标；
（3）已知点N(n，n)，且d(A，N)<2，求n的取值范围；
（4）已知平面上点P与原点O的折线距离为3，即d(P，O)=3，直接写出所有满足条件的点P围成的图形面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】去分母得，4(x-2)-6≥-3x，移项合并同类项得，7x≥14，系数化为1得，x≥2.故A正确，符合题意.
故选A.
【分析】在数轴上表示解集，要注意不等号是≥时，实心点且向右画；不等号是≤时，实心点且向左画.
2．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解不等式 4（x-1）-3（x-a）＞1
去括号，4x-4-3x+3a＞1
移项，4x-3x＞1+4+3a
合并同类项，x＞3a+5
该不等式得解集是x＞-1，
则3a+5=-1
解得a=-2
故答案为A.
【分析】本题考查解不等式的解集，所求解集与题目中已知的解集对应，得到关于a的方程，求解即可。
3．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的定义
【解析】【解答】解：根据一元一次不等式的概念可得：x2>0属于一元一次不等式.
故答案为：B.
【分析】用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式，据此判断.
4．【答案】A
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：∵不等式(a−1)x≤3的解集为x≥3a−1 ，
可得a-1<0，
即a<1.
故选：A.
【分析】本题考查了解不等式，因为等号换方向，则a-1<0.
5．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥﹣3，
在数轴上表示为： ，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式x+3≥0，求出解集，并把解集在数轴上表示即可，注意实心点与空心点的区别。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： x−y=3a①2x+4y=9②，
①+②得：3x+3y=3a+9，
∴a=x+y-3，
∵−4∴-4＜x+y-3＜0，
∴-1＜x+y＜3；
故答案为：B.
【分析】将两方程相加，可求出a=x+y-3，由a的范围可得-4＜x+y-3＜0，据此即可求解.
7．【答案】D
【知识点】解二元一次方程组；不等式的解及解集
【解析】【解答】解：由已知得：
x−y=4−p①x+y=2+3p②
解得x=3+p，y=2p-1
∵x>y
∴3+p＞2p-1
∴p＜4
故答案为：D．
【分析】把p看成已知数，求得x,y的解，根据所给不等式即可求得实数P的取值范围。
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵x6>1-x-23，
∴x>6-2x+4，
∴x+2x>6+4，
∴3x>10，
∴x>103，
∴自己负责的一步出现错误的是甲和乙.
故答案为：B.
【分析】给两边同时乘以6，然后移项、合并同类项、系数化为1就可得到不等式的解集，进而进行判断.
9．【答案】x≤3
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： −4x≥−12，
系数化为1，得x≤3，
故答案为：x≤3.
【分析】不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，据此解答即可.
10．【答案】a-2＞-1
【知识点】列一元一次不等式；不等式的定义
【解析】【解答】由题意可知，a-2﹥-1
【分析】本题考查不等式的表示，当题中出现和差积商、大于小于、大于等于、小于等于等信息要会转化为数学符号.
11．【答案】3
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】由7-3x≥0，得3x≤7，解得x≤73，所以非负整数解为0，1，2，共3个.
【分析】根据不等式的性质解出不等式的解集，再在解集的范围内求出满足题意得特殊解.
12．【答案】m>0且m≠1
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解分式方程1-xx-2=m2-x-2，得：x=-m+3，
∴-m+3＜3，且-m+3≠2，
∴m＞0，且m≠1.
故第1空答案为：m＞0，且m≠1.
【分析】先解关于x的分式方程，求得方程的解（用含m的式子表示出来），然后根据方程的解小于3，以及分式有意义x-2≠0，即可求得m的取值范围。
13．【答案】7
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：解分式方程1x−2+a−22−x=1得：x=5-a，
∴5-a＞0，且5-a≠2，
∴a＜5，且 a≠3，
∴符合条件的正整数为：1，2，4。
∴1+2+4=7.
故答案为：7.
【分析】解分式方程求得分式方程的解（用含有a的式子表示出来），再根据解是正数，且x-2≠0，得出a的取值范围，然后求出符合条件的正整数，并求出它们的和即可。
14．【答案】解：2x−1>−3解得x>−1
∵1+2x3≥x−1，
∴1+2x≥3x−3，
解得x≤4，
∴−1∴x的整数解为0，1，2，3，4．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分，再找出整数x的值即可.
15．【答案】解：去分母得：3(3+x)−6≥8(x+1)
去括号得：9+3x−6≥8x+8
移项得：3x−8x≥8−9+6，
合并同类项得：−5x≥5
系数化为1得：x≤−1
不等式的解集在数轴上表示：
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1解出不等式的解集，再在数轴上表示即可.
16．【答案】（1）2023；2024
（2）解：由max(a，b)表示这两个数中更大的数，当a≥b时，max(a，b)=a；当a∴−2x+5≥−1，解得x≤3；
（3）解：根据材料中的定义，结合M(4x+y，y)=max(0，1)M(5−2x，1)=M(x，x−2y)，
∴M(4x+y，y)=4x+y+y2=2x+y，max(0，1)=1，
∴2x+y=1，
∵M(5−2x，1)=5−2x+12=3−x，M(x，x−2y)=x+x−2y2=x−y，
∴3−x=x−y，即2x−y=3，
联立方程组得2x+y=12x−y=3，
解得x=1y=−1．
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）M(2022，2024)=2022+20242=2023；
∵2023＜2024，
∴max(2023，2024)=2024；
故答案为：2023，2024.
【分析】（1）直接利用新定义求解即可；
（2） 由max{−2x+5，−1}=−2x+5，根据新定义可得−2x+5≥−1，解之即可；
（3）根据新定义及已知可得关于x、y的方程组，解之即可.
17．【答案】（1）4
（2）解：∵直线l平行于y轴，B(−1，0)，
∴直线l上的点的横坐标都为−1，
设点K(−1，t)是直线上与点A的折线距离为5的点，
∴d(A，K)=|−1−2|+|t−1|=|−3|+|t−1|=|t−1|+3=5，
∴|t−1|=2，
∴t−1=2或t−1=−2，
∴t=3或t=−1，
∴点K的坐标为(−1，−1)或(−1，3)，
∴直线l上与点A的折线距离为5的点的坐标(−1，−1)或(−1，3)；
（3）解：∵A(2，1)，N(n，n)，且d(A，N)<2，
∴|n−2|+|n−1|<2，
当n>2时，则n−2+n−1<2，解得n<52，
∴2当1≤n≤2时，则2−n+n−1<2，即1<2，此时恒成立；
当n<1时，则2−n+1−n<2，解得n>12，
∴12综上所述，12（4）解：设P(x，y)，
∵d(P，O)=3，
∴|x−0|+|y−0|=3，
∴|x|+|y|=3，
∴当x≥0，y≥0时，x+y=3；
当x≥0，y＜0时，x−y=3；
当x＜0，y＞0时，−x+y=3；
当x＜0，y≤0时，−x−y=3；
∴点P围成的图形区域即为四边形CDEF，且C(−3，0)，D(0，−3)，E(3，0)，F(0，3)如下所示：
∴围成的图形面积为2×12×3×6=18．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式；坐标与图形性质；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）d（A，B）=|2-(-1)|+|1-0|=4；
故答案为：4；
【分析】（1）直接根据折线距离的计算方法进行计算即可；
（2）设K（-1，t）是直线上与点A的折线距离为5的点，则d（A，K）=|-1-2|+|t-1|=|t-1|+3=5，求出t的值，进而可得点的坐标；
（3）由d（A，N）<2可得|n-2|+|n-1|<2，然后分n>2、1≤n≤2、n<1，结合绝对值的性质去掉绝对值符号，进而进行求解；
（4）设P（x，y），则d（P，O）=|x|+|y|=3，然后分当x≥0，y≥0时；当x≥0，y＜0时；当x＜0，y＞0时；当x＜0，y≤0时，
四种情况讨论得出符合条件的点P围成的对应的图形，然后结合三角形的面积公式进行计算.