湘教版八年级上册1.3.3整数指数幂的运算法则精品测试题

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一、选择题
1．（2023七下·北仑期末）下列运算正确的是（ ）
A．a6⋅a3=a9B．a6+a3=a9C．(a6)3=a9D．a6÷a3=a2
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a6·a3=a9，故正确；
B、a6与a3不是同类项，不能合并，故错误；
C、(a6)3=a18，故错误；
D、a6÷a3=a3，故错误.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同 的项可判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
2．（2023七下·沭阳期中）墨迹覆盖了等式“a3？a3=2a3(a≠0) ”中的运算符号，则覆盖的是（ ）
A．+B．−C．×D．÷
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：a3+a3=2a3，a3-a3=0，a3·a3=a6，a3÷a3=a0=1.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此解答.
3．（2023·龙岗模拟）下列运算错误的是（ ）
A．(−a)4=a4B．−a+3a=2aC．(2a2)3=6a5D．a6÷a2=a4
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】A．根据幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），(−a)4=a4 ，A不符合题意；
B．根据合并同类项法则， −a+3a=2a ，B不符合题意；
C．根据幂的乘方法则和积的乘方法则（把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘）， (2a2)3=8a6，C符合题意；
D．根据同底数幂除法法则（底数不变，指数相减）， a6÷a2=a4，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据幂的乘方、合并同类项、积的乘方及同底数幂除法的法则进行分析。
4．（2023九下·盐都月考）下列计算中，结果与a3·a5相等的是（ ）
A．a4+a4B．(a3)5C．a9÷aD．a9－a
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：a3⋅a5=a8
A. a4+a4=2a4，不符合题意；
B.(a3)5=a15，不符合题意；
C.a9÷a=a8，符合题意；
D.a9 与a不是同类项，不能合并，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，则a3·a5=a8，合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此可求出A式子的结果，幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此求出B中式子的结果，同底数幂相除，底数不变，指数相减，求出C中式子的结果，据此判断.
5．（2023·来安模拟）下列算式中，结果等于4a4的是（ ）
A．2a2+2a2B．3a2⋅a2C．a5÷4aD．(−2a2)2
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A中2a2+2a2=4a2≠4a4，故不符合要求；
B中3a2⋅a2=3a4≠4a4，故不符合要求；
C中a5÷4a=14a4≠4a4，故不符合要求；
D中(−2a2)2=4a4，故符合要求；
故答案为：D．
【分析】利用同类项的定义，同底数幂的乘除法则，幂的乘方，积的乘方法则计算求解即可。
6．（2023七下·杭州期中）下列说法中：①若am=6，an=3，则am−n=2；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若(t−2)2t=1，则t=3或t=0；④已知二元一次方程组x+y=6ax+y=4的解也是二元一次方程x−3y=−2的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；二元一次方程组的解；平行线的判定与性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①∵am=6，an=3，∴am-n=am÷an=6÷3=2，故此小题正确；
②如图，当AB∥CD时，
∵AB∥CD，
∴∠CMP=∠BPM，
∵PQ平分∠BPM，MN平分∠CMP，
∴∠QPM=12∠BPM，∠NMP=12∠CMP，
∴∠QPM=∠NMP，
∴MN∥PQ；
当AB不平行CD时，∠CMP≠∠BPM，当然∠QPM≠∠NMP，当然MN就不平行PQ，故此小题错误；
③∵（t-2）2t=1，∴2t=0或t-2=±1，解得：t=0或3或1，故此小题错误；
④∵x+y=6ax+y=4的解也是二元一次方程x-3y=-2的解，
∴x+y=6x-3y=-2的解也是ax+y=4的解，
解x+y=6x-3y=-2
得x=4y=2，
∴x=4y=2是ax+y=4的解，
∴4a+2=4，
解得a=0.5，故此小题正确，
综上正确的有①④.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法法则的逆用可判断①小题，根据平行线的性质及判断可判断②小题；根据0指数幂性质（任何一个不为0的数的0次幂都等于1），有理数的乘方运算法则（1的任何次幂都等于1，-1的偶数次幂等于1）可判断③；根据方程组的解可判断④.
二、填空题
7．（2023七下·宿迁期中）若2m=3，8n=5，则2m−3n= ．
【答案】35
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2m=3，8n=5，
∴2m-3n=2m÷(23)n=3÷5=35.
故答案为：35.
【分析】根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则可得2m-3n=2m÷(23)n，然后将已知条件代入进行计算.
8．（2023七下·大田期中）已知2a=3，2b=6，2c=12，现给出a，b，c之间的四个关系式：①a+c=2b；②a+b=2c−3；③b+c=2a+2；④b=a+2.其中正确的关系式是 .（填序号）.
【答案】①②
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵2a×2c=2a+c=3×12=36，(2b)2=62，22b=36，
∴2a+c=22b，
∴a+c=2b，故①正确，
∵2a×2b=2a+b=3×6=18，(2c)2÷23=22c−3=122÷8=18，
∴2a+b=22c−3，
∴a+b=2c−3，故②正确；
∵2b×2c=2b+c=6×12=72，(2a)2×23=22a+3=72，
∴2b+c=22a+3，
∴b+c=2a+3.故③错误；
∵2a×22=aa+2=3×4=12，2b=6，
∴2a+2≠2b，则b≠a+2，故④错误.
∴正确的有①②选项.
故答案为：①②.
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得2a×2c=2a+c=36，由幂的乘方法则可得(2b)2=22b=36，据此判断①；根据幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则可得(2c)2÷23=22c-3=18，据此判断②；根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则可得2b×2c=2b+c=72，22a+3=(2a)2×23=72，据此判断③；根据同底数幂的乘法法则可得2a+2=2a×22=12，据此判断④.
9．（2023七下·瓯海期中）已知am=4，an=8，则a2m−n的值为 .
【答案】2
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵am=4，an=8，
∴a2m−n=a2m÷an=(am)2÷an=42÷8=2，
故答案为：2.
【分析】根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则可得a2m-n=(am)2÷an，然后将已知条件代入进行计算.
10．（2019七下·新吴期中）已知 (x−2)x2−4 = 1，则 x =（ ）
【答案】-2或3
【知识点】零指数幂；有理数的乘方
【解析】【解答】∵(x−2)x2−4 =1
∴x2 -4=0，且x-2 ≠ 0；或x-2=1
∴x=-2或3.
【分析】①根据0指数的意义，任何一个非0数的0次幂等于1，②根据1的任何次幂都等于1，③再根据-1的偶数次幂等于1，三种情况来考虑分别列出方程并检验即可。
三、解答题
11．（2022七下·合肥期末）已知2a=3，2b=9，2c=12，求a+c−b的值．
【答案】解：∵2a=3，2b=9，2c=12，
∴2a⋅2c÷2b=3×12÷9=4，
∴2a+c−b=22，
∴a+c−b=2．
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【分析】利用同底数幂的乘除法则求出 2a+c−b=22，再求解即可。
12．（2021七下·绍兴月考）若 5x−3y+2=0 ，求 (102x)3÷(10x⋅103y) 的值.
【答案】解：∵5x−3y+2=0 ，
∴5x-3y=-2,
∴(102x)3÷(10x⋅103y)
=106x÷10x+3y
=106x-x-3y
=105x-3y
=10-2
=1100.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【分析】 首先利用幂的乘方法则，以及同底数的幂的乘法计算，再用同底数的幂的除法法则计算，最后把已知的式子代入求解．
四、综合题
13．（2023七下·佛冈期中）
（1）已知3m=8，3n=2，求32m−3n+1的值；
（2）已知x2+x−1=0，求x2+1x2的值．
【答案】（1）解：∵3m=8 ， 3n=2
∴32m−3n+1=32m÷33n×3
=(3m)2÷(3n)3×3
=82÷23×3
=24；
（2）解：∵x2+x−1=0
∴x≠0
∴x+1−1x=0
即 x−1x=−1
∴(x−1x)2=1
x2−2+1x2=1
∴x2+1x2=3 ．
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘除法法则可得32m-3n+1=(3m)2÷(3n)3×3，然后将已知条件代入进行计算；
（2）给已知条件两边同时除以x可得x-1x=-1，给两边同时平方可得x2+1x2-2=1，据此不难得到x2+1x2的值.
14．（2018七下·余姚期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形
（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 .(只要写出一个即可)
（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:
①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值
②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= 14 ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值
【答案】（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
且a+b+c=11， ab+bc+ac=38
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)
=112-2×38
=45
②∵2x×4y÷8z= 14
2x×22y÷23z=2-2
∴2x+2y-3z=2-2
∴x+2y-3z=-2
∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)
∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)
∴2xy-3xz-6yz=-20
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。
（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 14转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。
15．（2019七下·淮安月考）
（1）你发现了吗？ (23)2=23×23 ， (23)−2=1(23)2=123×123=32×32 ，由上述计算，我们发； (23)−2 (32)−2
（2）请你通过计算，判断 (54)3 与 (45)−3 之间的关系；
（3）我们可以发现： (ba)−m (ab)m (ab≠0)
（4）利用以上的发现计算： (715)−3×(75)4 .
【答案】（1）＞
（2）解：计算得 (54)3=12564 ， (45)-3=12564
∴(54)3=(45)-3
（3）=
（4）解：利用以上的发现计算： (715)-3×(75)4 = (157)3×(75)4= (157)3×(75)3×(75)=1895
【知识点】同底数幂的乘法；负整数指数幂；探索数与式的规律；积的乘方
【解析】【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得；（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；（3）根据（1）、（2）的规律即可得；（4）逆用积的乘方将原式变形为 (715)-3×(75)4 = (157)3×(75)4 ，再利用同底数幂进行计算可得