湘教版八年级上册2.3 等腰三角形精品课时作业

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1．（2023八下·和平期末）等腰三角形两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．18B．21C．20D．18或21
2．（2023八下·武侯期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分别交边AB，AC于点E，F，连接DE，DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
3．（2023八下·武侯期末）如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了A′点，若∠OAA′=50°，则秋千旋转的角度为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
4．（2023八下·龙岗月考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小颖同学设计一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后秦进衣服后松开即可．如图①，衣架杆OA=OB=18cm（O为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，∠AOB=60°，则此时A，B两点之间的距离是（ ）
A．9cmB．93cmC．18cmD．183cm
5．（2023七下·成华期末）如图，直线m∥n，点C，A分别在m，n上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交m于点B，连接AB．若∠BCA=140°，则∠1的度数为（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
6．（2019七下·哈尔滨期中）如图，△ABC中∠A=110°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2 等于（ ）．
A．110°B．180°C．290°D．310°
7．（2023八下·鄠邑期末）如图，已知△ABC中，∠CAB=20∘，∠ABC=30∘，将△ABC绕A点逆时针旋转50∘得到△AB′C′，以下结论：①BC=B′C′，②AC//C'B'，③C′B′⊥BB′，④∠ABB'=∠ACC'，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
8．（2020八上·淮阳期末）有一块边长为 2 的等边三角形纸板，如图1，经过底边的中点剪去第一个正三角形;如图2，过剩余底边的中点再剪去第二个正三角形，然后依次过剩余底边的中点再剪去更小的第三个第四···正三角形，则剪掉的第 2020 个正三角形的面积是（ ）
A．342019B．342020C．344038D．344040
二、填空题
9．（2023八下·和平期末）如图，将等边△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上的动点，若AD＝2，AC＝6，则△OCD的周长最小值为 ．
10．（2023八下·武侯期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，腰AB的长为10，则底边BC的长为 ．
11．（2023八下·连平月考）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是 ．
12．（2023七下·侯马期末）如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1=1，则a2023= ．
13．（2023七下·金牛期末）如图，锐角∠MON内有一定点A，连接AO，点B、C分别为OM、ON边上的动点，连接AB、BC、CA，设∠MON=α（0°<α<90°），当AB+BC+CA取得最小值时，则∠BAC= ．（用含α的代数式表示）
三、解答题
14．（2023七下·徐汇期末）如图，在△ABC中，AB=BC，BO、CO分别平分ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交边AB、AC于点D和点E，如果△ABC的周长等于14，△ADE的周长等于9，求AC的长．
15．（2023七下·嘉定期末）阅读、填空并将说理过程补充完整：如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠AED＝∠B，延长DE与BC的延长线交于点F，∠BAC和∠BFD的角平分线交于点G．那么AG与FG的位置关系如何？为什么？
解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝ ▲ ， ▲ （角平分线定义）
又因为∠FPQ＝ ▲ +∠AED， ▲ ＝ ▲ +∠B
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝ ▲ （等式性质）
（请完成以下说理过程）
四、综合题
16．（2023七下·杨浦期末）已知在△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，∠BCD=∠A．
（1）如图1，试说明CD=CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
17．（2023七下·虹口期末）如图∠EOF，OM平分∠EOF，点A、B、C分别是射线OE、OM、OF上的点（点A、B、C不与点O重合），联结AC，交射线OM与点D．
（1）如果AB//OC，AC平分∠OAB，试判断AC与射线OB的位置关系，试说明理由；
（2）如果∠EOF=40°，AB⊥OE，垂足为点A，△ADB中有两个相等的角，请直接写出∠DAO的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰长为5时，三边分别为5、5、8，满足三角形的三边关系，故周长为5+5+8=18；
当等腰三角形的腰长为8时，三边分别为5、8、8，满足三角形的三边关系，故周长为5+8+8=21.
故答案为：D.
【分析】分腰长为5、8，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
2．【答案】C
【知识点】垂线；等边三角形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，∠A=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°，
∴∠CFD=90°-60°=30°，
∴∠AFD=150°，
又由折叠性质知：∠AFE=∠DFE，∠AEF=∠DEF，
∴∠AFE=∠DFE=75°，
∴∠AEF=180°-60°-75°=45°。
故答案为：C。
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠C=60°，再根据垂直定义得出∠CDF=90°，根据直角三角形两锐角互余可知∠CFD=30°，由折叠性质得出∠AFE=75°，从而由三角形内角和可得出∠AEF=45°。
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵OA=OA'，∠OAA'=50°，
∴∠OA'A=∠OAA'=50°，
∴∠AOA'=180°-∠OA'A-∠OAA'=180°-50°-50°=80°。
即秋千旋转的角度为 80°。
故答案为：C。
【分析】秋千旋转的角度就是∠AOA'，首先根据等腰三角形的性质得出∠OA'A=∠OAA'=50°，再根据三角形内角和，求得∠AOA'的度数即可。
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AB，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=OA=OB=18cm.
故答案为：C.
【分析】连接AB，可得△AOB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质进行解答.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CB=CA，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠BCA=140°，
∴∠CAB=∠CBA=20°，
又∵m∥n，
∴∠1=∠CBA=20°。
故答案为：C。
【分析】首先在等腰△CAB中，根据内角和定理求得∠CBA的度数，再根据平行线的性质得出∠1的度数即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】∵在△ABC中，∠A=110°，
∴∠B+∠C=70°，
∵在四边形ABMN中，∠B+∠C +∠1+∠2=360°，
∴∠BMN+∠ANM=360°-70°=290°.
故答案为C.
【分析】由已知易得∠B+∠C=70°，结合四边形内角和为360°，即可解得∠1+∠2的值了.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕着点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴△ABC≌△AB′C′，
∴∠B′AB=∠CAC′=50°，AB=AB′，BC=B′C′，AC=AC′，∠ABC=∠AB′C′=30°，故①正确；
∴∠B′AC=∠B′AB-∠CAB=50°-20°=30°，
∴∠AB′C=∠B′AC，
∴∠B′AC=∠AB′C′，
∴AC∥C′B′，故②正确
∵AB=AB′，
∴∠AB′B=∠ABB′=12（180°-50°）=65°，
∴∠CB′B=∠AB′C+∠AB′B=30°+65°=95°，
∴CB′不垂直BB′，故③错误；
③∵AC=AC′，
∠ACC′=12（180°-50°）=65°，
∴∠ACC′=∠ABB′，故④正确；
∴正确结论的序号为①③④
故答案为：B
【分析】利用旋转的性质可证得△ABC≌△AB′C′，可得到利用全等三角形的性质可证得∠B′AB=∠CAC′=50°，AB=AB′，BC=B′C′，∠ABC=∠AB′C′=30°，可对 ①作出判断；由∠B′AC=∠B′AB-∠CAB，求出∠B′AC的度数，可证得∠B′AC=∠AB′C′，利用平行线的判定定理可推出AC∥C′B′，可对②作出判断；利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠AB′B的度数，根据∠CB′B=∠AB′C+∠AB′B，代入计算求出∠CB′B的度数，可对③作出判断；利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠ACC′的度数，据此可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解: ∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 12
∴三角形的边长分别为 1，12,14,18...
即相邻三角形相似比为: 1: 2,
即相邻三角形面积比为: 1: 4,
∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为: 12×1×32=34，12×12×34=316
∴第n个纸板的面积为: 322n=34n
∴第2020个纸板的面积为: 342020
故答案为：B
【分析】根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为 12,14,18... ，...即相邻三角形相似比为: 1: 2,进而求出即相邻三角形面积比,从而得出规律.
9．【答案】10
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接OB：
∵将等边△ABC折叠，使点B恰好落在AC边上的点D处，
∴EF为BD的对称轴，
∴OB=OD.
∵AD=2，AC=6，
∴CD=4，
∴C△OCD=OD+OC+CD=OB+OC+CD=OB+OC+4，
∴当B、O、C共线时，△OCD周长最小，最小值为BC+4=6+4=10.
故答案为：10.
【分析】连接OB，由折叠可得OB=OD，根据线段的和差关系可得CD=4，由周长的意义可得C△OCD=OB+OC+4，据此求解.
10．【答案】5
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：可分成两种情况：
①腰长是底边的二倍：
∵AB=10，
∴BC=12×10=5；
②底边是腰长的二倍：
∵AB=10，
∴BC=2×10=20，
∵10+10=20，
∴不能构成三角形。
故底边BC的长为：5.
【分析】根据倍长三角形的定义可分为两种情况进行讨论，根据三角形三边之间的关系，可以得出底边是腰长2倍这种情况，不能够成三角形，故只有一种情况，根据倍长三角形的定义，直接求出底边BC的长度即可。
11．【答案】80°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠O=x，
∵OC=CD，
∴∠CDO=∠O=x，
∴∠DCE=∠O+∠CDO=2x，
∵CD=DE，
∴∠DEC=∠DCE=2x，
∴∠BDE=∠O+∠DEC=3x，
∵∠BDE=75°，
∴3x=75°，
x=25°，
∴∠ODC=25°，
∴∠CDE=180°-∠ODC-∠BDE=80°.
故答案为：80°.
【分析】设∠O=x，先利用等边对等角及三角形的外角性质用x表示出∠BDE的度数，再利用平角的定义求得∠CDE的度数.
12．【答案】22022
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠2=∠3=60度，
∵∠MON=30°，
∴∠1=30°，
∴∠OB1A2=60°+30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3是等边三角形，
同理可得OA2=B2A2=2，
∴a2=2a1=2，
同理可得：a3=4a1=4=22，
a4=8a1=8=23，
·····，
∴a2023=22023-1=22022；
【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质可推出MON=∠1=30°，可得OA1=A1B1=1，即得A2B1=1，从而求出a2=2a1=2，同理可得：a3=4a1=4=22，
a4=8a1=8=23，据此找出规律即可得解.
13．【答案】180°−2α
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，连接A1A2交OM和ON于点B1、C1，连接OA1、OA2，如图所示：
∴∠B1OA1=∠B1OA，∠C1OA=∠C1OA2，OA1=OA=OA2，
∴△A1OA2为等腰三角形，∠A2OA1=2α，
∴∠B1A1O=∠C1A2O=90°-α，
∵作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，
∴∠OAB1=∠B1A1O=90°-α，∠C1AO=∠C1A2O=90°-α，
∴当AB+BC+CA取得最小值时，三点共线，
∴∠BAC=∠C1AB1=180°-2α，
故答案为：180°−2α
【分析】作点A关于OM和ON的对称点A1、A2，连接A1A2交OM和ON于点B1、C1，连接OA1、OA2，根据对称即可得到∠B1OA1=∠B1OA，∠C1OA=∠C1OA2，OA1=OA=OA2，进而根据等腰三角形的判定与性质结合题意即可得到△A1OA2为等腰三角形，∠A2OA1=2α，从而得到∠B1A1O=∠C1A2O=90°-α，再根据对称即可得到∠OAB1=∠B1A1O=90°-α，∠C1AO=∠C1A2O=90°-α，然后得到当AB+BC+CA取得最小值时，三点共线，从而即可求解。
14．【答案】解：∵BO、CO分别平分ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，
∴∠ABO=∠DOB，∠ACO=∠EOC，
∴DO=DB，EO=EC，
∵△ADE的周长等于9，
∴AD+DO+OE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=9，
∵△ABC的周长等于14，AB=BC，
∴AB+BC+AC=AB+AB+AC=2AB+AC=14，
∴AC=4，
∴AC的长为4．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可得∠ABO=∠OBC=∠DOB，∠ECO=∠OCB=∠EOC，利用等角对等边可得DO=DB，EO=EC， 由△ADE的周长等于9，可得AB+AC=9，根据△ABC的周长=AB+BC+AC=14且AB=AC即可求解.
15．【答案】解：AG⊥FG．将AG、DF的交点记为点P，延长AG交BC于点Q．
因为AG、FG分别平分∠BAC和∠BFD（已知）
所以∠BAG＝∠CAG，∠PFG＝∠QFG（角平分线定义）
又因为∠FPQ＝∠CAG+∠AED，∠FQG＝∠BAG+∠B（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∠AED＝∠B（已知）
所以∠FPQ＝∠FQG（等式性质）
所以FP＝FQ（等角对等边）
又因为∠PFG＝∠QFG
所以AG⊥FG（等腰三角形三线合一）．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】首先根据角平分线的定义，完成前两个填空；再根据 ∠FPQ 是△AEP的一个外角，是△ABQ的一个外角，根据三角形外角的性质，完成第三、四、五个填空；再根据等式性质得出∠FPQ=∠FQG，从而判定△FPQ 是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质，得出结论。
16．【答案】（1）解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC，
∴CD=CB．
（2）解：①∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，
∵∠BEC+∠CBE+∠ACB=180°，∴∠CBE+∠ACB=90°
设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α．
∴∠ABC=∠BDC=90°−α．
∵∠ABC+∠BDC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α，
∴∠BCD=2∠CBE．
②∵△BDF是等腰三角形，
∴ⅰ）BD=BF；ⅱ）BD=DF；ⅲ）FB=FD，
ⅰ）当BD=BF时，∠BDC=∠BFD，
∵∠BFD=∠CBE+∠BCD，
∴∠BFD=α+2α−3α，
又∵∠BDC=∠ABC−90°−α，
∴90°−α=3α，
∴α=22.5°，
∴∠A=∠BCD=2α=45°；
ⅱ）当DB=DF时，∠DBE=∠BFD，
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE，
∴∠DBD=90°−α−α=90°−2α．
∴90°−2α=3α，
∴α=18°，
∴∠A=∠BCD=2α=36°；
ⅲ）当FB=FD时，∠DBE=∠BDF，
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF，
∴不存在FB=FD．
综上所述，当BD=BF时，∠A=45°或当DB=DF时，∠A=36°．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，由三角形外角的性质及角的和差可得∠BDC=∠A+∠ACD，∠ACB=∠BCD+∠ACD， 结合∠BCD=∠A，可得 ∠BDC=∠ACB，从而得出∠ABC=∠BDC， 根据等角对等边即得结论；
（2）①由垂直定义可得∠CBE+∠ACB=90°，设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，由（1）可得 ∠ABC=∠BDC=90°−α，利用三角形内角和定理可得∠BCD=2α，即得结论；
② 由等腰三角形的性质可得ⅰ）BD=BF；ⅱ）BD=DF；ⅲ）FB=FD， 据此分别解答即可.
17．【答案】（1）解：AC与射线OB垂直，理由如下：
如图1，∵AB//OC
∴∠ABD=∠COD
∵OM平分∠EOF，AC平分∠OAB
∴∠AOD=∠COD，∠BAD=∠OAD
∴∠ABD=∠AOD
由三角形的外角性质得：∠ADO=∠ABD+∠BAD∠ADB=∠AOD+∠OAD
∴∠ADO=∠ADB
又∵∠ADO+∠ADB=180°
∴∠ADO=∠ADB=90°
∴AC⊥OB
即AC与射线OB垂直；
（2）∠DAO的大小为20°或35°或50°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）∵AB⊥OE，∴∠BAO=90°，又∠EOF=40°，OM平分∠EOF，∴∠AOB=20°，∴∠ABD=90°-20°=70°，因为△ADB中有两个相等的角，所以分成三种情况：①当∠ABD=∠BAD时，∠ABD=∠BAD=70°，∴∠DAO=∠BAO-∠BAD=90°-70°=20°；②当∠ADB=∠BAD时，∠BAD=180°-∠ABD2=180°-70°2=55°，∴∠DAO=∠BAO-∠BAD=90°-55°=35°；③当∠ABD=∠ADB时，∵∠ADB是△ADO的一个外角，∴∠DAO=∠ADB-∠AOB=70°-20°=50°；综上所述，∠DAO的大小为：20°或35°或50°。
【分析】（1）首先根据平行线的性质，及角平分线的定义得出∠ABD=∠AOD，再根据三角形外角的性质，得出∠ADO=∠ADB，根据平角定义，求得∠ADO=∠ADB=90°，根据垂直定义判断AC与OB垂直；
（2）首先根据直角三角形两锐角互余，求得∠ABD的度数，然后根据两个相等的角的不同，分别求出∠DAO的度数即可。