数学八年级上册2.5 全等三角形优秀综合训练题

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1．（2023七下·普宁期末）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE=5，AC=7，则BD长（ ）
A．12B．7C．2D．14
2．（2023七下·连平期末）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点N．若△ABE≌△ACD，且∠A=65°，∠C=15°，则∠AEB的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．105°
3．（2023七下·惠来期末）如图，在△ABC和△DEF中，如果AB＝DE，BC＝EF．在下列条件中不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠B＝∠DEFB．∠A＝∠DC．AB∥DED．AC＝DF
4．（2023七下·高州期末）如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，AC与BE相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②BF=AH；③∠AGB=60∘；④△CFH是等边三角形，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2023七下·深圳期末）某同学做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．则下列结论不一定正确的是（ ）
A．EH=FHB．∠DEH=∠DFH
C．EF垂直平分DHD．点E与点F关于直线DH对称
6．（2023七下·杨浦期末）下列条件中，能判定两个三角形全等的是（ ）
A．有一个内角是50°的两个直角三角形；
B．有一个内角是50°的两个等腰三角形；
C．有一个内角为50°且腰长为6cm的两个等腰三角形
D．有一个内角为100°且腰长为6cm的两个等腰三角形．
7．（2023八下·随县期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E、F分别在边BC、BA上，OE=35.若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是（ ）
A．2B．53C．3D．5−1
8．（2023八下·宝安期末）如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的高BD、CE交于点P，若PD=6，PB=10，则AC的长为（ ）
A．18B．20C．22D．24
二、填空题
9．（2023七下·福田期末）如图，点E在线段AC上，AB∥CD，AE=CD，AB=CE，若∠A=40°，∠DBE=50°，则∠CED的度数为 ．
10．（2023七下·光明期末）如图，在△ABC中，将∠ABC对折，使AB和BC在同一直线上，折痕为BE，延长BE至点D，使得BD=AB，连接CD，若∠A=∠D，则∠1+∠2= °．
11．（2023七下·深圳期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，过点C作CE⊥BD交BD的延长线与点E，若CE=53，则BD的长为 ．
12．（2023七下·金牛期末）已知△ABC和△EDF都是等腰三角形，且△ABC≌△FED，顶角∠C=36°，等腰△EDF 的顶点D在AC边上滑动，点E在BA边的延长线上滑动．将线段DA绕点D逆时针旋转36°得到线段DG，连接EG、FG，若△EFG是以FG为腰的等腰三角形，则∠FGE= ．
三、解答题
13．（2023七下·福田期末）如图，点A，E，F，D在同一直线上，点B，C在AD异侧，AB∥CD，∠B=∠C，AE=DF．试说明：BF∥CE，请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D（ ）．
∵AE=DF，
∴AE+EF=DF+EF，即AF= ▲ ．
在△AFB和△DEC中，▲_∠A=∠DAF=DE，
∴△AFB≌△DEC（ ），
∴∠ ▲ =∠CED（ ），
∴BF∥CE（ ）．
14．（2023七下·文山期末）如图，AC和BD相交于点O，O为AC的中点，DC∥AB．
求证：DC=AB．
四、综合题
15．（2023七下·普宁期末）如图（1），AB=7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t(s)(当点P运动结束时，点Q运动随之结束)．
（1）AP cm，BP= cm(用含t的代数式表示)；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
16．（2023八下·潜山期末）如图，△ABC和△DEC均为等边三角形．
（1）找出与△DAC全等的三角形（不需要说明理由）；
（2）若∠ADB=82°，求∠DBE的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可知，两三角形全等，根据对应边相等可知BC=CE=5；
则BD=BC+CD=5+7=12；
故答案为：A.
【分析】题目要求BD长，可分段求解，再由三角形全等得到未知长度的BC，最终得解.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠C=15°，
∴∠B=∠C=15°.
∵∠A=65°，
∴∠AEB=180°-∠B-∠A=180°-65°-15°=100°.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的性质可得∠B=∠C=15°，然后在△ABE中，利用内角和定理计算即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF，∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF.
∵AB=DE，BC=EF，∠B=∠DEF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）.
∵AB=DE，BC=EF，AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
故答案为：B.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理进行判断即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=EC，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE=120°
在△ACD和△BCE中，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS），故①式成立；
（2）∵△ACD≌△BCE
∴∠CAH=∠CBF
在△ACH和△BCF中
∵∠CAH=∠CBF，AC=BC，∠ACH=∠BCF
∴△ACH≌△BCF（ASA）
∴BF=AH，故②式成立；
（3）在△AFG和△BCF中，
∵∠FAG=∠CBF，∠BFC=∠AFG
∴∠AGB=∠BCF=60°，故③式成立；
（4）由（2）△ACH≌△BCF，可得CH=CF
又∵∠FCH=60°，
∴△FCH为等边三角形，故④式成立.
故答案为：D.
【分析】因为等边△ABC和等边△DCE有公共的顶点C，所以能产生SAS的一对全等三角形△ACD和△BCE，我们称之为“手拉手模型”，由△ACD和△BCE全等，得∠CAH=∠CBE，推导出△ACH≌△BCF，而由△ACH≌△BCF得CH和CF相等，加上中间的夹角∠FCH=60°，得到△CFH为等边三角形，根据“8字形图”由三角形的内角和定理可得∠AGB=∠BCF=60°，从而得证.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵∠EDH=∠FDH，ED=FD，DH=DH，
∴△DEH≌△DFH（SAS），
∴EH=FH，∠DEH=∠DFH，
∵ED=FD，∠EDH=∠FDH，
∴DH垂直平分EF，
∴ 点E与点F关于直线DH对称 ，
∴A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】证明△DEH≌△DFH（SAS），可得EH=FH，∠DEH=∠DFH，由ED=FD，∠EDH=∠FDH，利用等腰三角形的性质可得DH垂直平分EF，据此逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、只知道角的关系，无法判断两个三角形全等，故不符合题意；
B、只知道角的关系，无法判断两个三角形全等，故不符合题意；
C、若这个内角50°，一个是顶角度数，一个是底角度数，则两个三角形不全等，故不符合题意；
D、有一个内角是100°的等腰三角形，则这个100°的内角只能是顶角，
∵腰长相等，
∴根据SAS可证明这两个三角形全等，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】 判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、AAS、ASA，据此逐一判断即可.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，延长BA至点M，使AM=CE，并连接OM，
∵点B（6，6），∴BC=BA=6，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠C=∠COA=∠OAB=∠OAM=90°，OC=OA=6，
在△OCE与△OAM中，
∵OC=OA，∠C=∠OAM，CE=AM，
∴△OCE≌△OAM（SAS），
∴OE=OM，∠COE=∠AOM，
∵∠EOF=45°，
∴∠COE+∠AOF=∠AOF+∠AOM=∠FOM=45°，
∴∠EOF=∠MOF，
在△EOF与△MOF中，
∵OE=OM，∠EOF=∠MOF，OF=OF，
∴△EOF≌△MOF（SAS），
∴EF=FM=AF+AM=AF+CE，
设AF=x，
在Rt△OCE中，由勾股定理得CE=OE2-OC2=352-62=3，
∴EF=3+x，EB=3，FB=6-x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即32+（6-x）2=（3+x）2，
解得x=2，即AF=2，
∴点F的纵坐标为2.
故答案为：A.
【分析】连接EF，延长BA至点M，使AM=CE，并连接OM，先利用SAS证出△OCE≌△OAM，得OE=OM，∠COE=∠AOM，推出∠EOF=∠MOF，再用SAS证△EOF≌△MOF，得EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，用勾股定理算出CE，进而用含x的式子表示出EF、FB，在Rt△BEF中，利用勾股定理建立方程，求解可得答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，BD，CE分别是三角形的高，
∴∠AEC=∠ADB=90°.
在△ABD与△ACE中，
∠A=∠A∠ADB=∠AECAB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=AE
∴AB-AE=AC-AD
∴BE=CD
在△PBE与△PCD中，
∠BEP=∠CDP∠BPE=∠CPDBE=CD
∴△PBE≌△PCD（AAS）
∴PE=PD=6，PB=PC=10
∴DC=PC2-PD2=102-62=8.
设AD=x，则AC=AD+DC=x+8，AE=AD=x
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC2=AE2+EC2
∴（x+8）2=x2+162
∴x=12
∴AC=12+8=20
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD≌△ACE，得出AD=AE；再证明△PBE≌△PCD，得出PE=PD=6，PB=PC=10，再利用勾股定理求出DC=8.设AD=x，在Rt△ACE中，利用勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AC的长.
9．【答案】20
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：设∠CED=x，
∵ AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵ AE=CD，AB=CE，
∴△ABE≅△CEDSAS，
∴∠ABE=∠CED=x，BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE=50°，
∴∠BED=180°-∠DBE-∠BDE=80°，
∵ ∠A=40°，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=40°+x，
∵∠BED=∠BEC+∠CED，
∴40°+x+x=80°，
x=20°，
∴∠CED=20°，
故答案为：20.
【分析】先利用平行线的性质通过SAS判定△ABE≅△CED，再通过全等三角形的性质得到等腰三角形求得∠BED的度数，然后利用外角的性质列出方程解得∠CED的度数.
10．【答案】180
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（ASA）；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：由折叠可得∠ABE=∠CBE.
∵∠A=∠D，∠1=∠CED，
∴∠ABD=∠ACD=∠CBD.
∵∠A=∠D，AB=BD，∠ABE=∠CBE，
∴△ABE≌△DBC（ASA），
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠2.
∵∠1+∠BEC=180°，
∴∠1+∠2=180°.
故答案为：180.
【分析】由折叠可得∠ABE=∠CBE，由已知条件可知∠A=∠D，根据对顶角的性质可得∠1=∠CED，结合内角和定理可得∠ABD=∠ACD=∠CBD，利用ASA证明△ABE≌△DBC，得到BE=BC，则∠BEC=∠2，由邻补角的性质可得∠1+∠BEC=180°，据此解答.
11．【答案】103
【知识点】三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分别延长BA、CE交于点F，
∵CE⊥BE，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
∵BD为△ABC的角平分线 ，
∴∠CBE=∠FBE，
∵BE=BE，
∴△CBE≌△FBE（ASA），
∴EF=CE=53，即CF=103，
∵∠BAC=∠DEC=90°，∠ADB=∠EDC，
∴∠ADB=∠ECD，
∵∠BAD=∠FAC=90°，AB=AC，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴BD=CF=103，
故答案为：103.
【分析】分别延长BA、CE交于点F，先证△CBE≌△FBE（ASA），可得EF=CE=53，即CF=103，再证△BAD≌△CAF（ASA），可得BD=CF=103.
12．【答案】144°或72°
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△EDF都是等腰三角形，且△ABC≌△FED，顶角∠C=36°，
∴FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，
由旋转得GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠FDG=∠EDA，
易证△FDG≌△EDA（SAS），
∴∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，
当GF=EG时，如图所示：
易证△FGD≌△EGD（SSS），
∴∠EGD=108°，
∴∠FGE=144°；
当GF=EF时，如图所示：
∵GD=AD，∠GDA=36°，
∴∠AGD=∠GAD=72°，
∴∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，
∴A、F、G共线，
∵GF=EF，GF=EA，
∴EF=EA，
∴∠EFG=∠EAG=36°，
∴∠FGE=72°，
综上所述，∠FGE=144°或72°，
故答案为：144°或72°
【分析】先根据三角形全等的性质结合等腰三角形的性质即可得到FD=ED，∠CAB=72°，∠FDE=36°，∠EAD=108°，进而根据旋转的性质得到GD=AD，∠GDA=36°，从而得到∠FDG=∠EDA，再根据三角形全等的判定与性质证明△FDG≌△EDA（SAS）即可得到∠FGD=∠EAD=108°，GF=EA，分类讨论：当GF=EG时，易证△FGD≌△EGD（SSS），进而结合题意即可求解；当GF=EF时，根据等腰三角形的性质结合题意得到∠AGD=∠GAD=72°，∠FGD+∠AGD=180°，∠EAG=36°，进而得到A、F、G共线，再根据等腰三角形的性质结合题意即可求解。
13．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）．
∵AE=DF，∴AE+EF=DF+EF，即AF=DE．
在△AFB和△DEC中，∠B=∠C∠A=∠DAF=DE，
∴△AFB≌△DEC（AAS），
∴∠AFB=∠CED（全等三角形的对应角相等），
∴BF∥CE（内错角相等，两直线平行）．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】利用平行线的性质通过AAS判定△AFB≌△DEC，再由全等三角形的性质得到内错角∠AFB、∠CED相等，进而证得BF∥CE.
14．【答案】证明：∵DC∥AB，
∴∠D=∠B，
在△COD与△AOB中，
∠D=∠B∠DOC=∠BOA，OC=OA
∴△COD≌△AOB(AAS)
∴DC=AB．
∵O是AC的中点
∴OA=OC
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】本题利用角角边(AAS）判定两个三角形全等，也可以用角边角（ASA）判定全等.
15．【答案】（1）2t；（7-2t）
（2）解：△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：
证明：∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴当t=1时，AP=BQ=2cm，BP=7-2=5cm，
∵AC=5cm，
∴AC=BP，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△CAP与△PBQ中，
∵AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS），
∴∠ACP=∠BPQ，
∵∠ACP+∠CPA=90°，
∴∠BPQ+∠CPA=90°，
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
（3）解：由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，
分类讨论：
①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，
∴5=7-2t且2t=tx，
解得x=2，t=1；
②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
∴5=xt且2t=7-2t，
解得t=74，x=207，
综上当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或207.
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm；
故答案为：2t，（7-2t）；
【分析】（1）根据路程=速度×时间可表示出AP的长，进而根据BP=AB-AP可表示出BP；
（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ，理由如下：由题意易得AP=BQ，AC=BP，由垂直定义得∠A=∠B=90°，用SAS判断出△CAP≌△PBQ，得∠ACP=∠BPQ，从而由直角三角形两锐角互余、等量代换及平角定义可得∠CPQ=90°，根据垂直定义可得答案；
（3）由题意得AP=2tcm，BP=AB-AP=（7-2t）cm，BQ=xtcm，分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解可得答案.
16．【答案】（1）解：△EBC≌△DAC，理由如下：
∵△ABC和△DEC均为等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△EBC≌△DAC.
（2）解：∵△EBC≌△DAC，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠ADB=∠ADC+∠CDB=82°，
∴∠BEC+∠CDB=82°，
∵∠DCE=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°−60°−82°=38°，
∴∠DBE=180°−(∠BDE+∠BED)=142°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据SAS可以判定△EBC≌△DAC；
（2）首先根据（1）的结论△EBC≌△DAC，可得出∠ADC=∠BEC，从而把∠ADB=82°，代换成∠BEC+∠CDB=82°，然后在△ECD中，根据三角形内角和等于180°，求出∠BDE+∠BED的度数，再在△BDE中，根据三角形内角和求出∠DBE即可。