初中数学湘教版八年级上册2.6 用尺规作三角形精品练习

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1．（2022八上·上城期中）如图，用直尺和圆规作图，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OB，OA于点E、D，再分别以点E、D为圆心，大于12ED的长为半径画弧，两弧交于点C，连接OC，则△ODC≌OEC的理由是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
2．（2022八下·舟山期末）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
3．（2022·海南）如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，画射线BP，交AC于点D，若AD=BD，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．54°C．72°D．108°
4．（2022·易县模拟）如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC．甲、乙两人想在BC上取一点P，使得∠APC＝2∠ABC，其作法如下：
（甲）作AB的中垂线，交BC于P点，则P即为所求；
（乙）以B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于P点，则P即为所求．
对于两人的作法，下列判断何者正确？（ ）
A．两人皆正确B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
5．（2022·雄县模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点M，使点M平分弧BC．以下是嘉嘉和琪琪两位同学提供的两种不同的作法：
嘉嘉：如图1，作∠BAC的平分线AF，交弧BC于点M，则点M即为所求．
琪琪：如图2，作BC的垂直平分线PQ，PQ交弧BC于点M，则点M即为所求．
对于上面的两种作图方法，下面的说法正确的是（ ）
A．嘉嘉的作法正确B．琪琪的作法正确
C．嘉嘉和琪琪的作法都错误D．嘉嘉和琪琪的作法都正确
6．（2022七下·深圳月考）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠BCD=∠AOB．以下是排乱的作图过程：
①以点C为圆心，OE长为半径画MN，交OB于点M．②作射线CD，则∠BCD=∠AOB．③以点M为圆心，EF长为半径画弧，交MN于点D．④以点O为圆心，任意长为半径画EF，分别交OA，OB于点E，E则正确的作图顺序是（ ）
A．①②③④B．③②④①C．④①③②D．④③①②
7．（2022·椒江模拟）在△ABC中，D是AC上一点，利用尺规在AB上作出一点E，使得∠AED=∠C，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
8．（2022·惠民模拟）如图，在△ABC中，AC=BC，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若∠C=36°，则∠ADB的度数是 ．
9．（2020八上·抚顺月考）已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线.作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于 12 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是 .
10．（2020七下·开江期末）如图，在 △ABC 中， ∠C=90° ， ∠B=30° ，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、 AC 于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于 12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结 AP 并延长交 BC 于点D，则下列说法中正确有 .（填序号）
①作出 AD 的依据是 SSS ；
②∠ADC=60° ；
③点D在 AB 的中垂线上；
④S△DAC：S△ABD=1：2 .
11．（2020七下·梁平期末）如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为 2 ，宽为 1 ， A ， B 两点在网格格点上，若点 C 也在网格格点上，以 A ， B ， C 为顶点的三角形的面积为 2 ，则满足条件的点 C 有 个.
12．（2020八上·长白期末）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画 个三角形．
三、解答题
13．（2021八上·河西期末）已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
14．（2021七上·肥城期中）如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论）
四、作图题
15．（2023·朝阳模拟）图①、图②、图③均是由小正方形组成的6×6的网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点（网格线的交点）上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法．
（1）在图①中的AB上确定一点D，连结CD，使∠ACD=∠BCD．
（2）在图②中的AC上确定一点E，连结BE，使∠ABE=∠ACB．
（3）在图③中的BC上确定一点F，连结AF，使∠ACB=2∠BAF．
16．（2022七下·乾县期末）如图，△ABC中，用尺规作图法在AC上做一点D，使得∠ABD=∠C．（保留作图痕迹，不用写作法）
五、综合题
17．（2021八上·义乌期中）如图
（1）尺规作图1：
已知：如图，线段AB和直线且点B在直线上
求作：点C，使点C在直线上并且使△ABC为等腰三角形．
作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C．
（2）特例思考：
如图一，当∠1＝90°时，符合（1）中条件的点C有 个；如图二，当∠1＝60°时，符合（1）中条件的点C有 个．
（3）拓展应用：
如图，∠AOB＝45°，点M，N在射线OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P有且只有三个，求x的值．
18．（2021八上·天河期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法)
（2）在(1)的条件下，求证：AE⊥DE．
19．（2022·交城模拟）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
一次有意义的动手实践活动——在格点图中巧作角平分线
实践背景
在一次动手实践课上，老师提出如下问题：在如图1所示由边长为1的小正方形组成的格点图中，点A，B，C都在小正方形的顶点处，仅用无刻度的直尺作出∠AOB的角平分线．
成果展示
小明、小亮展示了如下作法：
小明：如图2，在格点图中取格点C，D．连接AB，CD交于点E．作出射线OE．
∵四边形ADBC是矩形，∴AE=BE（依据1）．
∵OA=OB，∴OE平分∠AOB．
小亮：如图3，在格点图中取格点C．连接AC，与小正方形的边交于点D．则AC⊥OA．
∵OA=OB，OD=OD．
∴△DOA≌△DOB（依据2）．
∴∠AOD=∠BOD，即OD平分∠AOB．
学习任务：
（1）实践反思：
①请填写出上述材料中的依据1和依据2．
依据1： ▲ ；依据2： ▲ ．
②请根据小亮的作法，证明AC⊥OA．
（2）创新再探
请你根据实践背景问题要求，采用不同于小明和小亮的作法，描出作图过程中的所取得的点，作出∠AOB的角平分线（不写作法，不需要说明理由）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接EC，CD.
在△ODC和△OEC中，
OE=ODOC=OCEC=DC ，
∴△ODC≌△OEC（SSS）.
故答案为：A.
【分析】由作图可知OE=OD，CE=CD，结合OC为公共边，根据SSS可证△ODC≌△OEC.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A、由此作图痕迹可知AD平分∠BAC，故A不符合题意；
B、由此作图痕迹可知AD平分∠BAC，故B不符合题意；
C、由此作图痕迹可知AD不平分∠BAC，故C符合题意；
D、由此作图痕迹可知AD平分∠BAC，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用尺规作图作角平分线的方法可对A，C作出判断；利用全等三角形的判定和性质，可对B作出判断；利用线段垂直平分线的作法及直角三角形全等的判定和性质，可对D作出判断.
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】由作法得BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BCD=12∠ABC
设∠ABD=∠BCD=12∠ABC=x ，
∴∠ABC=2x
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=2x
∵AD=BD
∴∠ABD=∠A=x
∵∠ABC+∠C+∠A=180°
∴2x+2x+x=180°，解得x=36°
∴∠A=36°
故答案为：A
【分析】由作法可知BD平分∠ABC，可得到∠ABD=∠BCD=12∠ABC，设∠ABD=x，可表示出∠ABC的度数，利用等边对等角可表示出∠C，∠ABD的度数；利用三角形的内角和定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠A的度数.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；作图-角；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：如图1，
由甲的作图知PQ垂直平分AB，
则PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
又∠APC=∠PAB+∠PBA，
∴∠APC=2∠ABC，
故甲的作图符合题意；
如图2，
∵AB=BP，
∴∠BAP=∠APB，
∵∠APC=∠BAP+∠ABC，
∴∠APC≠2∠ABC，
∴乙不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据甲乙两人作图的作法利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可证出结论。
5．【答案】D
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：∵AF平分∠BAC，
∴ ∠BAM＝∠CAM，
∴BM=CM，
∴M点即为所求，
则嘉嘉的做法正确；
∵PQ垂直平分弦BC，
∴PQ必过圆心O，
∴OM⊥BC，
∴OM平分BC，
∴BM=CM，
那么M点即为所求，
则琪琪的做法正确，
故嘉嘉和琪琪的作法都正确．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线和线段垂直平分线的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】作图-角
【解析】【解答】解：正确的作图顺序是④①③②.
故答案为：C.
【分析】根据尺规作图-作一个角等于已知角的作图方法，即可得出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；作图-角
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠B，
∴只需要作∠ADE=∠B即可满足∠AED=∠C，
∴只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得∠A=∠A，∠AED=∠C，根据内角和定理可得∠ADE=∠B，据此判断.
8．【答案】72°
【知识点】三角形的外角性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC，
∵∠C=36°，
∴∠B=∠BAC=180∘−36∘2=72∘，
∵根据题意可知AD平分∠BAC，
∴∠DAC=12∠BAC=12×72∘=36∘，
∴∠ADB=∠DAC+∠C=36∘+36∘=72∘，
故答案为：72∘．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得∠B=∠BAC=180∘−36∘2=72∘，再利用角平分线的定义可得∠DAC=12∠BAC=12×72∘=36∘，最后利用角的运算可得∠ADB=∠DAC+∠C=36∘+36∘=72∘。
9．【答案】SSS
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：由作法①知，OM=ON，
由作法②知，CM=CN，
∵OC=OC，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
故答案为：SSS.
【分析】利用基本作图得到OM=ON，CM=CN，加上公共边OC，则可根据SSS证明三角形全等.
10．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：①根据作图的过程可知，作出角平分线AD的依据是SSS； 故①正确；
②如图，∵在 △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD= 12 ∠CAB=30°，
∴∠ADC= 90°−∠CAD =60°，
即∠ADC=60°. 故②正确；
③∵∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确；
④∵如图，在直角 △ACD 中，∠CAD=30°，
∴CD= 12 AD，
∴BC=CD+BD= 12 AD+AD= 32 AD， S△DAC=12AC·CD=14AC·AD.
∴S△ABC=12AC·BC=12AC·32AD=34AC·AD ，
∴S△DAC：S△ABC=(14AC·AD)：(34AC·AD)=1：3，
∴S△DAC：S△ABD=1：2.
故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④.
故答案为：①②③④.
【分析】根据作图的过程可知，作出角平分线AD的依据是SSS；利用三角形的内角和定理求出∠CAB的度数，利用作图可知AD是∠BAC的平分线，由此可求出∠BAD的度数，然后利用三角形的外角的性质求出∠ADC的度数，可对②作出判断；利用等角对等边，可证得AD=DB，由此可对③作出判断；利用三角形中线分得的两三角形的面积相等，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
11．【答案】4
【知识点】三角形的面积；作图-三角形
【解析】【解答】根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点如下图：
故答案为：4.
【分析】利用三角形的面积公式，可得到符合题意的点C的个数.
12．【答案】10
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，
故答案为：10．
【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.
13．【答案】解：如图所示，
作图：①画射线AE，在射线上截取AB＝a，
②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO＝h，
③再连接AC、CB，△ABC即为所求．
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】画线段使它等于a，再作线段a的垂直平分线，然后在垂直平分线上以垂足为端点截取线段使其等于h，然后连接即可.
14．【答案】解：如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等，
再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等，
此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】连接EF，作出线段EF的垂直平分线，再作出∠AOB的角平分线，垂直平分线和角平分线的交点即是点P。
15．【答案】（1）解：由勾股定理可知： BC=32+42=5 ，则 BC=AC=5 ，即 △ABC 为等腰三角形，
∵∠ACD=∠BCD ，
∴CD 平分 ∠ACB ，则 AD=BD ，
即： D 为 AB 的中点，
则，连接以 AB 为对角线的矩形的对角线，交点即为点 D ，如图所示，即为所求；
（2）解：∵BC=AC ，
∴∠A=∠ABC ，
∵∠ABE=∠ACB ， ∠A+∠ABE+∠AEB=∠A+∠ABC+∠ACB=180° ，
∴∠AEB=∠ABC=∠A ，
∴AB=BE ，
如图所示，即为所求；
（3）解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180° ， ∠BAC=∠ABC ，
∴∠ABC+12∠ACB=90° ，
∵∠ACB=2∠BAF ，
∴∠ABC+∠BAF=90° ，即 AF⊥BC ，
由图可知： AP=BG ， QP=CG ， AQ=BC ，则 △AQP≌△BCG ，
∴∠Q=∠C ，
∵∠BHQ=∠CHP ，
∴∠BHQ+∠Q=∠CHP+∠C=90° ，
即 AQ 与 BC 交点即为所求点 F ，如图所示．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】（1）利用勾股定理先求出BC=5，再求出 △ABC 为等腰三角形， 最后结合题意作图即可；
（2）先求出 ∠A=∠ABC ， 再求出 AB=BE ， 最后作图即可；
（3）先求出 ∠ABC+12∠ACB=90° ， 再利用全等三角形的判定与性质求出 ∠Q=∠C ， 最后作图即可。
16．【答案】解：如图，点D即为所求．
【知识点】作图-角
【解析】【分析】如图，先以点C适当长度为半径画弧，交BC和AC与点E、G两点，再以点B为圆心，相等的长度为半径画弧，交BA于点F，最后以点F为圆心，EG长为半径画弧并交FH弧于一点，连接B点于这点并延长，交AC于点D，点D即为所求点.
17．【答案】（1）解：如图1中，点C1，C2，C3，C4即为所求．
（2）2；2
（3）解：满足条件的x的值为0或2 2 ﹣2或2＜x＜2 2 ．
【知识点】等腰三角形的性质；作图-三角形
【解析】【解答】（2）如图一
，
当∠1＝90°时，符合（1）中条件的点C有2个；
如图二，
当∠1＝60°时，符合（1）中条件的点C有2个，
故答案为2，2．
【分析】（1）利用等腰三角形的定义，画出符合题意的点C.
（2）分别画出图形，可确定出点C的位置及符合题意的点C的个数.
（3）分情况进行讨论，可得x的取值范围.
18．【答案】（1）解：如图，线段DE，AE即为所求．
（2）证明：在DA上截取DH＝CD，连接HE，
由（1）知∠HDE＝∠CDE，
在△HDE与△CDE中，
DH=CD∠HDE=∠CDEDE=DE ，
∴△HDE≌△CDE（SAS），
∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，
∴∠AHE＝180°－∠DHE＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AHE＝∠B＝90°，
∵AD＝AH＋DH＝AB＋CD，DH＝CD，
∴AH＝AB，
在Rt△AEG和Rt△AEB中，
AH=ABAE=AE，
∴Rt△AEH≌Rt△AEB（HL），
∴∠AEH＝∠AEB，
∵∠DEG＋∠AEG＋∠DEC＋∠AEB＝180°，
∴2(∠DEG＋∠AEG)＝180°，
∴∠DEG＋∠AEG＝90°，
即∠AED＝90°，
∴AE⊥DE．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】(1)、根据尺规作图步骤作角平分线。（2）、 在DA上截取DH＝CD，连接HE，证明∆HDE≌∆CDE（SAS），得出∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC，再得出AH＝AB ，根据HL证明 Rt△AEH≌Rt△AEB ，最后证明 AE⊥DE 。
19．【答案】（1）解：①矩形的对角线互相平分；HL；②如图，在格点图中取点E，F．
∵AE=OF，∠AFO=∠CEA，AF=CE．
∴△AOF≌△CAE．
∴∠AOF=∠CAE．
∵∠OAF+∠AOF=90°，
∴∠CAE+∠OAF=90°．
∴AC⊥OA．
（2）解：作法不唯一．如下：
【知识点】三角形全等的判定；作图-角的平分线
【解析】【解答】（1）解：实践反思：①（1）矩形的对角线互相平分；HL．
（2）创新再探：作法不唯一．如下：
取格点C，使得AC=BC=OA=OB，
作菱形AOBC，则OC是∠AOB的角平分线
【分析】（1）①利用矩形的性质求解即可；
②先证出△AOF≌△CAE，可得∠AOF=∠CAE，再利用角的运算和等量代换求出∠CAE+∠OAF=90°，即可得到AC⊥OA；
（2）根据要求作出图形即可。