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初中数学3.2 立方根精品测试题
展开一、选择题
1.(2023七下·瑶海期末)实数a的立方根与4的倒数相等,则a的值为( )
A.8B.−8C.18D.−18
【答案】C
【知识点】有理数的倒数;立方根及开立方
【解析】【解答】解:∵实数a的立方根与4的倒数相等,
∴3a=14,
解得:a=18,
故答案为:C.
【分析】根据立方根和倒数先求出3a=14,再计算求解即可。
2.(2023七下·讷河期末)下列说法正确的有( )
①带根号的数都是无理数;
②立方根等于本身的数是0和1;
③-a一定没有平方根;
④实数与数轴上的点是一一对应的;
⑤两个无理数的差还是无理数
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【知识点】立方根及开立方;无理数的认识
【解析】【解答】解:①如4=2,4不是无理数;不符合题意;
②立方根等于本身的数是0和±1;不符合题意;
③当a≤0时,-a有平方根;不符合题意;
④实数与数轴上的点是一一对应的;符合题意;
⑤π-π=0,3-3=0,……,0是有理数;不符合题意;
故选:A.
【分析】①无理数是指无限不循环小数,而4不是无理数;
②根据立方根的意义可得:立方根等于本身的数是0和±1;
③当a≤0时,-a是非负数,所以-a有平方根;
④实数与数轴上的点是一一对应的;
⑤当两个有理数相同时,其差为0,0是有理数.
3.(2023七下·北京市期中)下列运算中,正确的是( )
A.9=±3B.-4=2C.3−8=2D.(−8)2=−8
【答案】B
【知识点】平方根;算术平方根;立方根及开立方
【解析】【解答】A:9表示9的算术平方根,9=3,A错误;
B:-4=2,B正确;
C:3-8=-2,C错误;
D:(-8)2=64,表示64的算术平方根,(-8)2=8,D错误;
故答案为B.
【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根。(1)一个正数a的平方根表示为±a,其中a是正数a的算术平方根;(2)正数、负数和0都有立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
4.(2023七下·增城期中)下列说法中,错误的是( )
A.4的算术平方根是±2B.81的平方根是±3
C.8的立方根是2D.立方根等于-1的实数是-1
【答案】A
【知识点】平方根;算术平方根;立方根及开立方
【解析】【解答】解:A、 4的算术平方根是2,故A符合题意;
B、∵81=9,
∴81的平方根是±3,故B不符合题意;
C、8的立方根是2,故C不符合题意;
D、立方根等于-1的实数是-1 ,故D不符合题意;
故答案为:A
【分析】利用算术平方根的性质可对A作出判断;利用平方根和算术平方根的性质,可对B作出判断;利用立方根的性质可对C、D作出判断.
5.(2023七下·江夏期中)下列命题是真命题的是( )
A.过一点有且只有一条直线和已知直线平行
B.a2=b2,则a=b
C.a与b互为相反数,则3b与3a互为相反数
D.364的平方根是2
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数;平方根;立方根及开立方;真命题与假命题
【解析】【解答】解:A、同一平面内,过一点有且只有一条直线和已知直线平行,原命题是假命题,故本选项不符合题意;
B、a2=b2,则a=±b,原命题是假命题,故本选项不符合题意;
C、a与b互为相反数,则3b与3a互为相反数,原命题是真命题,故本选项符合题意;
D、因为364=4,则364的平方根是±2,原命题是假命题,故本选项不符合题意;
故答案为:C.
【分析】根据平行的性质可判断A;根据a2=b2可得a=±b,据此判断B;根据立方根的概念可判断C;根据平方根的概念可判断D.
6.(2023七下·韩城期中)已知甲、乙两个立方体,甲的体积是乙体积的8倍,则甲的棱长是乙的棱长的( )
A.8倍B.2倍C.4倍D.12倍
【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解:设甲的棱长为x,乙的棱长为y,根据题意得
x3=8y3,
∴x=2y,
∴甲的棱长是乙的棱长的2倍.
故答案为:B
【分析】设甲的棱长为x,乙的棱长为y,利用已知甲的体积是乙体积的8倍,可得到关于x,y的方程,然后开立方,可求出x=2y,即可求解.
7.(2023七下·淮北月考)若某自然数的立方根为a,则它前面与其相邻的自然数的立方根是( )
A.a−1B.3a−1C.3a3−1D.a3−1
【答案】C
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解:∵某自然数的立方根为a,
∴该自然为a3,
∴它前面与其相邻的自然数的立方根是3a3−1;
故答案为:C.
【分析】先求出该自然为a3,再求解即可。
8.(2023七下·淮北月考)已知,3x−1=x−1,则x2﹣x的值为( )
A.0 或 1B.0 或 2C.0 或 6D.0、2 或 6
【答案】B
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解:∵3x−1=x−1 ,
∴x−1=(x−1)3 ,
∴(x−1)3−(x−1)=0,
(x−1)[(x−1)2−1]=0,
(x−1)(x−1+1)(x−1−1)=0,
x(x−1)(x−2)=0,
x1=0,x2=1,x3=2,
∴x2−x=0或x2−x=12−1=0或x2−x=22−2=2,
∴x2−x=0或2,
故答案为:B.
【分析】根据3x−1=x−1,可得x(x−1)(x−2)=0,求出x1=0,x2=1,x3=2,再将其代入x2﹣x计算即可。
二、填空题
9.(2023七下·宝山期末)已知x3=8,|y|=9,xy<0,那么x2−y= .
【答案】13
【知识点】绝对值及有理数的绝对值;立方根及开立方;有理数的乘法
【解析】【解答】解: 由x3=8得x=2,
∵xy<0 ,x>0,
∴y<0,
由 |y|=9 ,得y=-9,
∴x2−y= 22-(-9)=13;
故答案为:13.
【分析】由x3=8得x=2,结合xy<0,可得y<0,由 |y|=9 ,得y=-9,再代入计算即可.
10.(2023七下·东丽期中)已知31.12≈1.038,311.2≈2.237,3112≈4.820,则3−11200≈ .
【答案】-22.37
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解:由题意得3−11200=-311.2×1000=-311.2×10≈-22.37,
故答案为:-22.37
【分析】先根据立方根进行化简求值,进而即可求解。
11.(2020八上·湛江开学考)数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求59319的立方根.华罗庚脱口而出:39.众人感觉十分惊奇,请华罗庚给大家解读其中的奥秘.
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗?请你按下面的问题试一试:
① ,又 ,
,∴能确定59319的立方根是个两位数.
②∵59319的个位数是9,又 ,∴能确定59319的立方根的个位数是9.
③如果划去59319后面的三位319得到数59,
而 ,则 ,可得 ,
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39.
(1)现在换一个数195112,按这种方法求立方根,请完成下列填空.
①它的立方根是 位数.
②它的立方根的个位数是 .
③它的立方根的十位数是 .
④195112的立方根是 .
(2)请直接填写结果:
① .
② .
【答案】(1)两;8;5;58
(2)24;56
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解:(1)① , ,
∴ ,
∴能确定195112的立方根是一个两位数,
故答案为:两;
②∵195112的个位数字是2,又∵ ,
∴能确定195112的个位数字是8,
故答案为:8;
③如果划去195112后面三位112得到数195,
而 ,
∴ ,
可得 ,
由此能确定195112的立方根的十位数是5,
故答案为:5;
④根据②③可得:195112的立方根是58,
故答案为:58;(2)①13824的立方根是两位数,立方根的个位数是4,十位数是2,
∴13824的立方根是24,
故答案为:24;
②175616的立方根是两位数,立方根的个位数是6,十位数是5,
∴175616的立方根是56,
故答案为:56.
【分析】(1)①根据100<1951112<1000000,即可判断出195112的立方根的位数;②根据83=512确定立方根的个位数字;③④根据3125<3195<3216即可判断出立方根的十位数字;进而判断出这个数的立方根;
(2)仿照上面的方法,先判断立方根是几位数,再分别判断各位上的数字,最后得到结论.
12.(2020七下·朝阳期末)我国数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:求59319的立方根,华罗庚脱口说出答案,众人十分惊奇,忙问计算的奥妙.你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?
下面是小超的探究过程,请补充完整:
(1)求 359319 ;
①由103=1000,1003=1 000 000,可以确定 359319 是 位数;
②由59319的个位上的数是9,可以确定 359319 的个位上的数是 ;
③如果划去59319后面的三位319得到数59,而33=27,43=64,可以确定 359319 的十位上的数是 ;
由此求得 359319 = .
(2)已知103823也是一个整数的立方,用类似的方法可以求得 3103823 = .
【答案】(1)两;9;3;39
(2)47
【知识点】立方根及开立方;探索数与式的规律
【解析】【解答】解:(1)①∵103=1000,1003=1 000 000,而1000<59319<100000,
∴10< 359319 <100,
因此结果为两位数;
②因为只有9的立方的个位数字才是9,因此结果的个位数字为9,
③33<59<43,因此可以确定 359319 的十位上的数是3,
最后得出 359319 =39,
故答案为:两,9,3、39;(2)∵103=1000,1003=1 000 000,而1000<103823<1000000,
∴10< 3103823 <100,
因此结果为两位数;
只有7的立方的个位数字是3,因此结果的个位数字是7;
如果划去103823后面的三位823得到数103,而43=64,53=125,可以确定 3103823 的十位数字为4,
于是可得 3103823 =47;
故答案为:47.
【分析】(1)根据题意,提供的思路和方法,进行推理验证得出答案;(2)根据(1)的方法、步骤,类推出相应的结果即可.
13.1,2,3……,100这100个自然数的算术平方根和立方根中,无理数的个数有 个。
【答案】186
【知识点】算术平方根;立方根及开立方;无理数的认识
【解析】【解答】∵12=1,22=4,32=9,…,102=100,
∴1,2,3…,100这100个自然数的算术平方根中,有理数有10个,
∴无理数有90个;
∵13=1,23=8,33=27,43=64<100,53=125>100,
∴1,2,3…,100这100个自然数的立方根中,有理数有4个,
∴无理数有96个;
∴1,2,3…,100这100个自然数的算术平方根和立方根中,无理数共有90+96=186个.
故答案为:186.
【分析】分别找出1,2,3…,100这100个自然数的算术平方根和立方根中,有理数的个数,然后即可得出无理数的个数.
三、解答题
14.(2020七上·东营月考)已知 2x+y+17 的立方根是3,16的算术平方根是 2x−y+2 ,求: x2+y2 的平方根.
【答案】解:∵2x+y+17 的立方根是3,
∴2x+y+17=27 ,
∵16的算术平方根是 2x−y+2 ,
∴2x−y+2=4 ,
∴2x+y+17=272x−y+2=4 ,
解得: x=3y=4 ,
∴±x2+y2=±9+16=±5 .
【知识点】平方根;算术平方根;立方根及开立方
【解析】【分析】根据立方根可得 ,再根据算术平方根可得 ,最后解方程组求出x和y的值,代入代数式求解即可。
15.已知2a﹣1的平方根是±3,3a+b+9的立方根是3,求2(a+b)的平方根.
【答案】解:由已知得,2a﹣1=9解得:a=5,
又3a+b+9=27
∴b=3,2(a+b)=2×(3+5)=16,
∴2(a+b)的平方根是:± =±4.
【知识点】平方根;立方根及开立方
【解析】【分析】本题考查了平方根、立方根的定义.如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根.
四、综合题
16.(2020八上·郑州月考)观察发现:
(1)表格中x= ,y= .
(2)应用:利用a与 a 数位的规律解决下面两个问题:
①已知 10 ≈ 3.16,则 1 000 ≈ , 0.1 ≈ ;
②已知 2 021 = k, 20.21 = , 202 100 = (用含k的式子表示).
(3)拓展: 32 020 = m, 32.02 = , 32 020 000 = (用含m的式子表示)
【答案】(1)0.1;10
(2)31.6;0.316;110k;10k
(3)110m;10 m
【知识点】算术平方根;立方根及开立方;探索数与式的规律
【解析】【解答】解:(1)x=0.1,y=10,
故答案为:0.1,10;(2)由上表可知,算术平方根的被开方数扩大100倍,算术平方根扩大10倍,①1 000 = 1010 =31.6, 0.1 = 10 ÷10=0.316,
故答案为:31.6,0.316;②20.21 = 2021 ÷10= 110k , 202100 = 2021 ×10= 10k,
故答案为: 110k ,10k;(3)由算术平方根的被开方数扩大100倍,算术平方根扩大10倍,可知立方根的被开方数扩大1000倍,立方根扩大10倍,
32.02 = 32020 ÷10= 110m , 32020000 = 32020 ×10=10 m.
故答案为: 110m ,10 m.
【分析】根据算术平方根的特征“被开方数扩大100倍,算术平方根扩大10倍”可求解.
17.(2023七下·贵州期中)据说我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中,看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题:一个数是59319,希望求出它的立方根.华罗庚脱口而出:39.邻座的乘客十分惊奇,忙问计算的奥妙,华罗庚讲述了计算过程:
第一步:因为103=1000,1003=1000000,1000<59319<1000000,所以10<359319<100.
第二步:因为59319的个位上的数是9,只有个位数字是9的数的立方的个位数字是9,所以359319的个位数字是9.
第三步:如果划去59319后面的三位319得到数59,而33=27,43=64,所以30<359000<40,
所以30<359319<40,即359319的十位数字是3.
所以359319=39.
请根据上述材料解答下列问题:
(1)用上述方法确定4913的立方根的个位数字是 .
(2)用上述方法确定50653的立方根是 .
(3)求3110592的值,要求写出计算过程.
【答案】(1)7
(2)37
(3)解:∵103=1000,1003=1000000,1000<110592<1000000,
∴10<3110592<100,
∵110592的个位上的数是2,只有个位数字是8的数的立方的个位数字是2,
∴3110592的个位数字是8.
如果划去110592后面的三位592得到数110,而43=64,53=125,64<110<125,
∴40<3110000<50,
∴40<3110592<50,即3110592的十位数字是4.
∴3110592=48,
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解:(1)∵4913的个位上的数是3,只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3,
∴4913的个位数字是7,
故答案为:7;
(2)∵103=1000,1003=1000000,1000<50653<1000000,
∴10<350653<100,
∵50653的个位上的数是3,只有个位数字是7的数的立方的个位数字是3,
∴350653的个位数字是7,
如果划去50653后面的三位653得到数50,而33=27,43=64,27<50<64,
∴30<350000<40,
∴30<350653<40,
即350653的十位数字是3.
∴350653=37,
故答案为:37.
【分析】(1)根据上述的方法计算求解即可;
(2)根据题意先求出10<350653<100,再求出350653的个位数字是7,350653的十位数字是3,最后求解即可;
(3)根据题意先求出 10<3110592<100, 再求出 3110592的个位数字是8,3110592的十位数字是4,最后求解即可。a
…
0.0 001
0.01
1
100
10 000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
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