初中数学湘教版九年级上册2.4 一元二次方程根与系数的关系优秀当堂检测题

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1．（2023八下·深圳期末）若x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，则（ ）
A．x1+x2=6B．x1+x2=−6C．x1⋅x2=76D．x1⋅x2=7
2．（2020九上·南京期中）如果2是方程x²−3x+k=0的一个根，则此方程的另一根为（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
3．（2023八下·岑溪期末）若x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两根，则x1+x2+x1x2的值是（ ）
A．−1B．1C．5D．−5
4．（2023八下·蜀山期末）方程2x2−3x+1=0根的符号是（ ）
A．两根一正一负B．两根都是负数
C．两根都是正数D．无法确定
5．（2023八下·定远期中）下列关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的命题中，真命题有( )
①若a−b+c=0，则b2−4ac>0；
②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为1和−2，则a−b=0；
③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根是−c(c≠0)，则b=ac+1．
A．①②③B．①②C．②③D．①③
6．（2023八下·包河期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该三角形第三边长可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
7．（2023九下·江岸月考）若m，n是方程x2+2x−1=0的两根，如图，表示2mn2m2−n2−mnm−n的值所对应的点落在（ ）
A．第①段B．第②段C．第③段D．第④段
8．（2023八下·拱墅期中）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0无实根；
③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1x1，1x2；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2．
其中正确的（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④
二、填空题
9．（2023·泰州）关于x的一元二次方程x2+2x−1=0的两根之和为 ．
10．（2023·本溪）若关于x的一元二次方程x2−x+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
11．（2023·怀化）已知关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根为−1，则m的值为 ，另一个根为 ．
12．（2023八下·玄武期末）写一个一元二次方程： ，使其满足：二次项系数为2，且两根分别是2，−3.
13．（2023八下·姜堰期末）若a和b是一元二次方程x2−3x−5=0的两个实数根，则a2−2a+b= ．
三、解答题
14．（2023·澄城模拟）已知一元二次方程2x2−3x−8=0的两个根分别为m，n，求m2n+mn2的值．
15．（2023八下·萧山期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)．
①若方程两根为1和2，则2a−c=0；
②若b=2a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立．
判断以上说法是否正确，并说明理由．
四、综合题
16．（2023八下·江州期末）已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x21+x22−x1x2=16，求a的值.
17．（2023八下·红谷滩期末）已知关于x的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2=m2+6，求m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：已知x1x2是方程x2-6x-7=0的两个根，
解方程：（x+1）（x-7）=0，
∴x1=-1，x2=7，
运用韦达定理：
x1+x2=-ba=--61=6，
x1·x2=ca=-71=-7，
故答案为：A.
【分析】先要解出一元二次方程的两个解，运用韦达定理公示求出解.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为x1，
根据题意得：2+x1=3，
∴x1=1.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系：x1+x2=-ba代入即可得另一根.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ∵x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两根，
∴x1+x2=3，x1·x2=-2，
∴x1+x2+x1x2=3+（-2）=1
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系先求出x1+x2、x1·x2的值，再代入计算即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系可得：x1+x2=32x1x2=12，因为12＞0，所以x1，x2同号，再根据32＞0，可得x1，x2均为正数。
故答案为：C。
【分析】根据根与系数之间的关系可得两根之和，与两根之积的值，然后根据它们的正负情况，判断出两根的符号，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①∵a−b+c=0，
∴b=a+c，
∴b2−4ac=a-c2≥0，①为假命题；
②∵ax2+bx+c=0(a≠0)两根为1和−2，
∴-ba=-1，
∴a−b=0，②为真命题；
③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根是−c(c≠0)，
∴ac2-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，
∴b=ac+1，③为真命题；
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系结合一元二次方程根的判别式、真命题和假命题对选项逐一判断即可求解。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意得两边长和为6，
∴三角形第三边长＜6，
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合三角形的三边关系即可求解。
7．【答案】B
【知识点】分式的加减法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，
∴m+n=-2，mn=-1，
∴2mn2m2−n2−mnm−n=2mn2-mn(m+n)(m+n)(m-n)=2mn2-m2n-mn2(m+n)(m-n)=mn2-m2n(m+n)(m-n)=mn(n-m)(m+n)(m-n)=-mnm+n，
∴原式=--1-2=-12，位于②段.
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系可得m+n=-2，mn=-1，对待求式通分，然后化简可得-mnm+n，代入求出相应的值，然后进行判断.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a+b+c=0，
∴当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，
∴x=1是方程的一根，故①正确；
∵方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，
∴-4ac>0，
∴b2-4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故②错误；
若方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，且x1≠x2≠0，
∴x1+x2=-ba，x1x2=ca，
∴-bc=x1+x2x1x2=1x1+1x2，ac=1x1x2=1x1·1x2，
∴方程cx2+bx+a=0必有实根1x1，1x2，故③正确；
∵x0是方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=-b±b2-4ac2a，
∴±b2-4ac=2ax0+b，
∴b2-4ac=(2ax0+b)2，故④正确.
故答案为：D.
【分析】当x=1时，ax2+bx+c=a+b+c=0，据此判断①；由方程ax2+c=0有两个不相等的实数根可得-4ac>0，则b2-4ac>0，据此判断②；根据根与系数的关系可得x1+x2=-ba，x1x2=ca，则-bc=x1+x2x1x2=1x1+1x2，ac=1x1x2=1x1·1x2，据此判断③；根据求根公式可得x0=-b±b2-4ac2a，进而可判断④.
9．【答案】−2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设一元二次方程的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2=-ba=-2，
故答案为：-2.
【分析】如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么x1+x2=-ba，x1·x2=ca，据此直接结算可得答案.
10．【答案】k0
解得：a