湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.5 一元二次方程的应用精品习题

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一、选择题
1．（2022九上·河北期末）某超市购进一批商品，单价40元．经市场调查，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个，因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，超市若将准备获利2000元，则定价为多少元？（ ）
A．50B．60C．50或60D．100
2．（2022九上·江门期末）九（1）班毕业时，每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为留念，全班共送了1560张照片，如果全班有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x(x−1)=1560B．x(x+1)=1560
C．2x(x+1)=1560D．2x(x−1)=1560
3．（2022九上·南山期末）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（ ）
A．15元或20元B．10元或15元C．10元或20元D．5元或10元
4．（2022九上·高陵期中）某产品经过两次连续涨价，销售单价由原来的28元上升到40元，若该产品平均每次涨价的百分率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．28(1+x)=40B．28(1+x)2=40
C．28(1+x2)=40D．28[(1+x)+(1+x)2]=40
5．（2022九上·海珠期中）下列命题：① 若b＝a＋c时，一元二次方程a x2+bx+c=0一定有实数根；② 若方程a x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不相等实数根；③ 若二次函数y=a x2+c，当取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时函数值为0；④ 若b2−4ac>0，则二次函数y=a x2+bx+c的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2020九上·遵化期末）已知 a ， b ， c 是1，3，4中的任意一个数（ a ， b ， c 互不相等），当方程 ax2−bx+c=0 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A．轴对称图形B．中心对称图形
C．轴对称图形或中心对称图形D．非轴对称图形或中心对称图形
7．已知关于x的一元四次方程x4+px2+qx+r=0有三个相等的实根和另一个与之不同的实根，则下列三个命题中真命题有（ ）个
①p+q=r可能成立；②p+r=q可能成立；③q+r=p可能成立．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
8．（2023九上·南宁期末）如图所示，在一幅长50cm、宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图如图所示，如果要使整个矩形挂图的面积是3036cm2，则金色纸边的宽为 cm.
9．（2022九上·晋中期末）如图，李大斧要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留了一扇1m宽的门．若要使羊圈的面积为80m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 m．
10．（2022九上·杨村月考）如图①：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．
结合以上分析完成填空：
如图②：用含x的代数式表示：AB= cm；AD= cm；矩形ABCD的面积为 cm2；列出方程并完成本题解答．
11．（2022九上·章丘期中）梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”．新疆北部某沙漠2020年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2022年达到25万亩，求这两年的平均增长率 ．
12．（2020九上·上思月考）如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成，正方形中黑色、白色小正方形的排列规律如图所示，在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，当偶数n＝ 时，P2＝5P1.
三、解答题
13．（2023九上·西安期末）随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物越来越多.某产品今年开始做线上销售，8月份的销售利润是6万元，10月份的销售利润是13.5万元，求9，10这两个月销售利润的月平均增长率.
14．（2023九上·新邵期末）某小区在绿化工程中有一块长为90m、宽为30m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为1500m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，求人行通道的宽度.
四、综合题
15．（2022九上·莒南期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB=6cm，AC=10cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，P、Q两点同时出发，当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t．
（1）几秒后四边形APQC的面积是19平方厘米；
（2）若用S表示四边形APQC的面积，经过多长时间S取得最小值，并求出S的最小值．
16．（2022九上·南昌期中）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k=169，因为62=4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k=100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”）；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c=0①与cx2+bx+a=0②， 若x=m是方程①的一个根，x=n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n=−2，请直接写出满足条件的所有k的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每个定价为x元，则销售量为180-10（x-52）=（700-10x）个，
依题意得：（x-40）（700-10x）=2000，
整理得：x2-110x+3000=0，
解得：x1=50，x2=60．
当x=50时，700-10x=200＞180，不合题意，舍去；
当x=60时，700-10x=100，符合题意．
答：每个定价为60元．
故答案为：B．
【分析】设每个定价为x元，根据题意列出方程（x-40）（700-10x）=2000，再求解即可。
2．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】∵全班有x名学生
∴每一个同学送出(x−1)张照片
∴x个学生共需要送x(x−1)张
∵全班共送了1560张照片
∴可列方程为x(x−1)=1560
故答案为：A．
【分析】根据“全班共送了1560张照片”直接列出方程x(x−1)=1560即可。
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每千克应该涨价x元，由题意可得：
(10+x)(500−20x)=6000，
解得x=5或x=10
即每千克应该涨价5元或10元．
故答案为：D
【分析】设每千克应该涨价x元，根据“每天盈利6000元”列出方程(10+x)(500−20x)=6000，再求解即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该产品平均每次涨价的百分率为x，根据题意得
28（1+x）2=40.
故答案为：B
【分析】此题的等量关系为：原来的销售单价×（1+涨价的百分率）2=两次连续涨价的销售单价，列方程即可.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵b＝a＋c，∴Δ=b2−4ac=(a+c)2−4ac=(a−c)2≥0
所以，一元二次方程a x2+bx+c=0一定有实数根，①符合题意
方程a x2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴此方程为一元二次方程，且b2−4ac>0，a≠0
当c=0时，方程cx2+bx+a=0为一元一次方程，不含有两个不等实数根，②不符合题意
二次函数y=a x2+c的对称轴为x=0
当取x1、x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1+x2=0
当x取x1+x2时，即x=0，y=c，函数值不一定为0，③不符合题意；
当b2−4ac>0时，二次函数y=a x2+bx+c的图像与x轴的公共点的个数是2
当c=0时，二次函数y=a x2+bx+c的图像过原点，此时与坐标交点个数为2，
当c≠0时，二次函数y=a x2+bx+c的图像与y轴有一个交点，与x轴有两个交点，此时与坐标交点个数为3，④符合题意
正确的个数为2
故答案为：B
【分析】根据真命题的定义，一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的根与系数的关系逐项判断即可。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2- 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
x=4±42
∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解
x=4±42×3
∴x1=1，x2= 13 ，不符合题意，故舍去；
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2- 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则有（x﹣m）3（x﹣n）=0，
展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+3mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0，
∴根据对应项系数相等：3m+n=0(m≠0)，3m2+3mn=p，﹣（m3+3m2n）=q，m3n=r，
把n=﹣3m代入得：p=-6m2，q=8m3，r=﹣3m4，
若p+q=r，即-6m2+8m3=-3m4，整理化简得3m2+8m-6=0，此时由∆=82-4×3×(-6)=136>0有解，故p+q=r可能成立，①符合题意；
若p+r=q，即-6m2-3m4=8m3，整理化简得3m2+8m+6=0，此时由∆=82-4×3×6=-8<0无实数解，故p+r=q不可能成立，②不符合题意；
若q+r=p，即8m3-3m4=-6m2，整理化简得3m2-8m-6=0，此时由∆=(-8)2-4×3×(-6)=136>0有解，故q+r=p可能成立，③符合题意；
故答案为：B．
【分析】设三个相等的根为m，另一个与之不同的根为n，则（x﹣m）3（x﹣n）=0，展开得：x4﹣（3m+n）x3+（3m2+2m+mn）x2﹣（m3+3m2n）x+m3n=0，用m表示p、q、r，假设命题成立，式子化简后判断方程是否有解即可判断．
8．【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，
(50+2x)(30+2x)=3036，
整理得：4x2+160x−1536=0.
解得x1=8，x2=−48（舍）.
答：金色纸边的宽度为8cm.
故答案为：8.
【分析】设金色纸边的宽为xcm，则矩形挂图的长为(50+2x)cm，宽为(30+2x)cm，然后根据矩形的面积公式结合题意建立关于x的方程，求解即可.
9．【答案】8
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x米时，羊圈面积为80平方米，此时所围矩形与墙平行的一边长为(25+1−2x)米，
依题意得：x(25+1−2x)=80，
整理得：x2−13x+40=0，
解得：x1=5，x2=8．
当x=5时，25+1−2x=25+1−2×5=16>12，不符合题意，舍去；
当x=8时，25+1−2x=25+1−2×8=10<12，符合题意．
即：当所围矩形与墙垂直的一边长为8米时，羊圈面积为80平方米．
故答案为：8．
【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为x米，根据题意列出方程x(25+1−2x)=80，再求解即可。
10．【答案】（20-6x）；（30-4x）；(24x2−260x+600)
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】AB=20−2×3x=20−6x，BC=30−2×2x=30−4x
矩形ABCD的面积为：AB⋅BC=(20−6x)(30−4x)=24x2−260x+600，
根据题意，得24x2−260x+600=(1−13)×20×30，
整理，得6x2−65x+50=0，
解方程，得x1=56，x2=10 (不合题意，舍去)，
则2x=53，3x=52，
每个横、竖彩条的宽度分别为53cm，52cm.
故答案为(1). （20-6x） (2). （30-4x） (3). (24x2−260x+600)
【分析】根据图形求出AB和AD的长，再利用矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积即可。
11．【答案】25%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年的平均增长率为x，依题意得：16(1+x)2=25，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝-2.25（不符合题意，舍去），
∴这两年的平均增长率为25%．
故答案为：25%．
【分析】设这两年的平均增长率为x，根据题意列出方程16(1+x)2=25，再求解即可。
12．【答案】12
【知识点】探索图形规律；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图可得：当n为偶数时
P1=2n，P2=n2-2n，
∵P2＝5P1，
∴n2-2n=5×2n，
n2-12n=0,
∴n（n-12）=0,
∴n=0（舍）或n=12.
故答案为：12.
【分析】由图可得，当n为偶数时黑色小正方形个数P1=2n，则白色小正方形个数P2=n2-2n，然后根据P2＝5P1列方程求解即可.
13．【答案】解：设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润6(1+x)万元，10月份获得利润6(1+x)2万元，
依题意得：6(1+x)2=13.5，
整理得：(1+x)2=2.25，
解得：x1=0.5=50%，x2=−2.5（不合题意，舍去）.
答：9，10两个月份销售利润的月均增长率为50%.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设9，10两个月份销售利润的月均增长率为x，则9月份获得利润6(1+x)万元，10月份获得利润6(1+x)2万元，结合10月份的销售利润是13.5万元建立关于x的方程，求解即可.
14．【答案】解：设人行通道的宽度为x米，依题意得
(90−3x)(30−2x)=1500
解得x1=5，x2=40
∵2x2=80>30
∴x=40应舍去
∴x=5
答：人行通道的宽度为5米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设人行通道的宽度为x米，则矩形绿地的长为(90-3x)，宽为(30-2x)，根据矩形的面积公式=长×宽结合题意可建立关于x的方程，求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意得：
S四边形APQC=SΔABC−SΔBPQ=12AB⋅AC−12BP⋅BQ=12×6×8−12×2t(6−t)=t2−6t+24，
令t2−6t+24=19，
解得t=1或t=5（不符合题意，舍去）．
∴1秒后四边形APQC的面积是19平方厘米．
（2）解：由（1）得S=t2−6t+24=(t−3)2+15，
∴t=3时，S取最小值为15平方厘米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设t秒后四边形APQC的面积是19平方厘米 ，可得PB=6-t，BQ=2t，根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△BPQ的面积=19，列出关于t的方程并解之即可；
（2） 由（1）得S=t2−6t+24=(t−3)2+15 ，利用二次函数的性质即可求解.
16．【答案】（1）b2−4ac=0；不是
（2）解：∵x=m是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，x=n是一元二次方程cx2+bx+a=0的一个根，
∴am2+bm+c=0，cn2+bn+a=0，
将cn2+bn+a=0两边同除以n2得：a(1n)2+b(1n)+c=0，
∴将m、1n看成是方程ax2+bx+c=0的两个根，
∵b2−4ac=0，
∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴m=1n，即mn=1；
故答案为：mn=1；
（3）解：121，242，363，484
【知识点】一元二次方程的其他应用；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵k=100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2=4ac，即b2−4ac=0；
∵42=16，4×2×1=8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
故答案为：b2−4ac=0；不是；
（3）∵m+n=−2，mn=1，
∴m=−1，n=−1，
∴a−b+c=0，
∴b=a+c，
∵b2=4ac，
∴(a+c)2=4ac，
解得：a=c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484；
故答案为：121，242，363，484．
【分析】（1）利用“喜鹊数”的定义求解即可；
（2）将m、1n看成是方程ax2+bx+c=0的两个根，结合b2−4ac=0，可得方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，所以m=1n，即mn=1；
（3）先求出m=−1，n=−1，再结合b2=4ac，可得(a+c)2=4ac，求出a=c，最后求出k的值即可。