初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.3 一元二次方程根的判别式精品达标测试

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一、选择题
1．（2022九上·翁源期末）方程2x2−5x+3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．只有一个实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：b2-4ac=-52-4×2×3=25-24=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】对于ax2+bx+c=0，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵x=a为方程的根，
∴a2-ab+b-a=0，
∴a(a-b)-(a-b)=0，
∴(a-b)(a-1)=0.
∵a>1，
∴a=b>1，
∴△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2-4b+4b=b2>0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①正确，④错误；
∵a=b，
∴a=b=t+1，故②错误；
∵a=b，a为方程的一个根，
∴b为方程的根。故③正确.
故答案为：C.
【分析】将x=a代入方程中并化简可得(a-b)(a-1)=0，由a>1可得a=b>1，则△=(-b)2-4(b-a)=b2-4b+4a=b2，据此判断①④；根据a=b可判断②③.
5．（2023·兰州）关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，则b2−2(1+2c)=（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个相等的实数根，
∴b2-4c=0，
∴b2−2(1+2c)=b2-4c-2=-2，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到b2-4c=0，进而代入即可求解。
6．（2023八下·界首期末）如果关于x的一元二次方程x2+2(m−1)x+16=0有两个相等的实数根，那么m的值可为（ ）
A．5B．−3C．−5或3D．5或−3
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程，如果有2个相等的实数根，则∆=0，即4（m+1）2-4×1×16=0 ，化简得（m+1）2=16，解得m1=+4-1=3 m2=-4-1=-5 故选D。
【分析】依据根的判别式，求出关于m的一元二次方程，再次求解。
7．（2022九上·子洲月考）已知关于x的一元二次方程(p+1)x2+2qx+(p+1)=0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程x2+qx+p=0的根B．-1可能是方程x2+qx+p=0的根
C．0可能是方程x2+qx+p=0的根D．1和-1都是方程x2+qx+p=0的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 (p+1)x2+2qx+(p+1)=0 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴Δ=(2q)2−4(p+1)2=0 且 p+1≠0 ，
∴q=±(p+1) ，
当 q=p+1 ，即 1+p−q=0 时，
∴x=−1 是 x2+qx+p=0 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 q=−(p+1) ，即 1+p+q=0 时，
∴x=1 是 x2+qx+p=0 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵p+1≠0 ，
∴p+1≠−(p+1) ，
∴x=−1 和 x=1 不能同时是方程 x2+qx+p=0 的根，故D选项错误，符合题意；
当 x=0 时， p=0 ，
∴q=±1 ，
∴当 p=0 ， q=±1 时， x=0 是方程 x2+qx+p=0 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D
【分析】由于方程有两个相等的实数根，可得Δ=(2q)2−4(p+1)2=0且p+1≠0，从而得出q=±(p+1)，可知x=0、x=-1可能但不能同时是方程x2+qx+p=0 的根；当x=0时，可知p、q的值且都符合题意，继而判断.
8．（2022九上·西安月考）已知关于x的一元二次方程(p+1)x2+2qx+(p+1)=0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（ ）．
A．1可能是方程x2+qx+p=0的根B．−1可能是方程x2+qx+p=0的根
C．0可能是方程x2+qx+p=0的根D．1和-1都是方程x2+qx+p=0的根
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 (p+1)x2+2qx+(p+1)=0 （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，
∴Δ=(2q)2−4(p+1)2=0 且 p+1≠0 ，
∴q=±(p+1) ，
当 q=p+1 ，即 1+p−q=0 时，
∴x=−1 是 x2+qx+p=0 的根，故A选项正确，不符合题意；
当 q=−(p+1) ，即 1+p+q=0 时，
∴x=1 是 x2+qx+p=0 的根，故B选项正确，不符合题意；
∵p+1≠0 ，
∴p+1≠−(p+1) ，
∴x=−1 和 x=1 不能同时是方程 x2+qx+p=0 的根，故D选项错误，符合题意；
当 x=0 时， p=0 ，
∴q=±1 ，
∴当 p=0 ， q=±1 时， x=0 是方程 x2+qx+p=0 的根，故C选项正确，不符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=(2q)2-4(p+1)2=0且p+1≠0，化简可得q=±(p+1)，当q=p+1时，有1+p-q=0，此时x=-1，据此判断A；当q=-(p+1)时，有1+p+q=0，此时x=1，据此判断B；根据p+1≠0可得p+1≠-(p+1)，据此判断D；当x=0时，p=0，q=±1，据此判断C.
二、填空题
9．（2023·内江）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3= ．
【答案】−2
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵a、b是方程x2+3x−4=0的两根，
∴a+b=-3，a2+3a−4=0，
∴a2+4a+b−3=-2，
故答案为：-2
【分析】先根据一元二次方程的定义结合一元二次方程根与系数的关系即可得到a+b=-3，a2+3a−4=0，进而代入即可求解。
10．（2023·武威）关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根，则c= （写出一个满足条件的值）．
【答案】−2（答案不唯一，合理即可）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个不相等的实数根 ，
∴△=22-4×4c＞0，
解得：c＜14，
∴c可以是-2（答案不唯一）；
故答案为：-2（答案不唯一）.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此求出c的范围，即可得解.
11．（2023八下·温州期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝t2﹣2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【答案】y≤4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+3m＝0有实数根 ，
∴Δ=b2-4ac=4-12m≥0，解得m≤3，
设此方程的一个实数根为t ，
∴t2-2t+3m=0，
∴t2-2t=-3m，
∴y＝t2﹣2t+4m+1 =-3m+4m+1=m+1，
∵m≤3，
∴m+1≤4，
∴y≤4.
故答案为：y≤4.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式，先求出m≤3，再根据一元二次方程的解的定义得出t2-2t=-3m，代入y＝t2﹣2t+4m+1，进而得出y的取值范围。
12．（2023八下·拱墅期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，则a的值为 ；
（2）若方程有实数根，则满足条件的正整数a的值为 ．
【答案】（1）-14
（2）4，2，1
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，
∴a-3≠0且a-3+8+9=0，
解得a=-14.
故答案为：-14.
（2）∵方程没有实数根，
∴(-8)2-4(a-3)×9