初中数学湘教版九年级上册3.2 平行线分线段成比例优秀课后测评

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1．（2023八下·朝阳期末）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1，l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=12，那么CE等于（ ）
A．9B．4C．6D．3
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由题意可得：AF=BE=12
∵AD：DF=3：1，AD+DF=AF=12
∴DF=14AF=3
∴CE=DF=3
故答案为：3
【分析】根据直线平行性质，以及线段比性质即可求出答案。
2．（2023九下·鹿城月考）如图，在矩形ABCD中，AB>BC，延长DC至点E，使得CE=BC，以DE为直径的半圆O交BC延长线于点F.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论：矩形ABCD的面积等于CF的平方（即S矩形ABCD=CF2）.现连接FO并延长交AB于点G，若OF=2OG，则△OCF与矩形ABCD的面积之比为（ ）
A．35B．38C．25D．49
【答案】B
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，∵OF=2OG，
∴OFOG=2OGOG=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴OFOG=CFBC=2，
∴CF=2BC，
设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，
∵DE是半圆O的直径，
∴DE=2OE=2（a+b），
∴DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，
∴S矩形ABCD=DC·BC=（a+2b）a，
∵S矩形ABCD=CF2=（2a）2=4a2，
∴4a2=a(a+2b），
∴b=32a，
∵S△OCF=12OC·CF=12b·2a=12×32a×2a=32a2，
∴S△OCF∶S矩形ABCD=32a2∶4a2=38.
故答案为：B.
【分析】由矩形对边平行得CD∥AB，由平行线分线段成比例及已知得OFOG=CFBC=2，则CF=2BC，设BC=CE=a，则CF=2a，设OC=b，则OE=OC+CE=a+b，DE=2OE=2（a+b），由线段的和差得DC=DE-CE=2（a+b）-a=a+2b，由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b），则b=32a，然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积，从而此题得解了.
3．（2023·福田模拟）小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示(注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内)，若点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则ABAC的值为（ ）
A．12B．23C．35D．2
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵点A、B、C均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴ABAC=200300=23.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
4．（2023·香坊模拟）如图，MN是△ABC的中位线，点F在线段BC上，CF=2BF，连接AF交MN于点E，下列说法错误的是（ ）
A．AEAF=12B．MEMN=13C．AMBM=AEAFD．MEBF=ANAC
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：A．∵MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，AM=MB=12AB，AN=NC=12AC，
∴AEAF=AMAB=12，故A不符合题意；
B．∵AEAF=12，
∴点E为AF的中点，
∴ME=12BF，MN=12BC，
∵CF=2BF，
∴BFBC=13，
∴MEMN=12BF12BC=BFBC=13，故B不符合题意；
C．∵M为AB的中点，
∴AMBM=1，
∵AEAF=12，
∴AMBM≠AEAF，故C符合题意；
D．∵ME=12BF，AN=12AC，
∴MEBF=ANAC=12，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据 MN是△ABC的中位线 ， CF=2BF， 再结合图形，对每个选项一一判断即可。
5．（2022九上·晋中期末）如图AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，则CE：BC＝（ ）
A．5：3B．1：3C．3：5D．2：3
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=AG+GD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴CEBC=DFAD=53．
故答案为：A．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得CEBC=DFAD=53。
6．（2023九上·亳州期末）如图，直线a∥b∥c，则下列结论错误的为（ ）
A．ABBC=DEEFB．ACAB=DFDEC．BCEF=ACDFD．BECF=ABAC
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】A、∵a∥b∥c，
∴ABBC=DEEF，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵a∥b∥c，
∴ACAB=DFDE，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵a∥b∥c，
∴BCEF=ACDF，本选项结论正确，不符合题意；
D、连接AF，交BE于H，
∵b∥c，
∴△ABH∽△ACF，
∴BHCF=ABAC≠BECF，本选项结论不正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。
7．（2023八下·镇海区期中）如图，在矩形ABCD的外部有四个全等的直角三角形，分别为△AEB，△BFG，△CGD，△DHE，连结EC，DF交于点O，若S△DEOS△FCO=53，则AEAB的值为（ ）
A．14B．13C．25D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，设EC、AF交于点I，连接DI，
∵△AEB≅△BFG≅△CGQ≅△DHE，
∴DE=DC=AB=BG，AE=BF=DH=CG，
由DE=DC，得到△CDE为等腰直角三角形，
∴∠AEI=45°，
∵EA⊥AI，
∴△AEI为等腰直角三角形，
∴AE=AI，
∵AE=BF，
∴AI=BF，
∵AB=IF，AB∥IF，
∴四边形DIFC为平行四边形，
∴OI=OC，OD=OF，
∴S△OID=S△OCD=S△OCF，
∵ S△DEOS△FCO=53，
∴S△DEOS△ODI=53，
S△DEIS△ODE=25，
S△DEIS△ODE=28，
∴EI：EC=2：8=1：4，
∵AI∥DC，
∴AI：DC=1：4，
∴AE：AB=1：4.
故答案为：A.
【分析】如图，设EC、AF交于点I，连接DI，证明出四边形DIFC为平行四边形，得到S△OID=S△OCD=S△OCF，再根据 S△DEOS△FCO=53，推出EI与EC的比，即得出AI与DC的比，即可得出结果.
8．（2023八上·鄞州期末）如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M.若AH=GH，则CM的长为（ ）
A．12B．34C．1D．54
【答案】D
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE=HG=GF=EF，AH∥GF，
∵AH=GH，
∴AH=HE=GF=EF.
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG.
∴BE=EF=GF=FC.
∵AE⊥BF，
∴AB=AF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠DCG=∠FAE，
∵AH∥GF，
∴∠FAE=∠GFK.
∵∠GFK=∠CFM，
∴∠CFM=∠DCG，
∴MF=MC，
∵MN⊥FC，
∴CN=NF=12CF，
∴CN=14CG.
∵MN⊥CG，DG⊥CG，
∴MN∥DG，
∴CMCD=CNCG=14，
∵CD=5，
∴CM=54.
故答案为：D.
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交与点K，根据正方形的性质可得HE=HG=GF=EF，AH∥GF，由已知条件可知AH=GH，则AH=HE=GF=EF，由题意得△ABE≌△BCF≌△ADH≌△CDG，则BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG，推出BE=EF=GF=FC，根据等腰三角形的性质可得∠BAE=∠FAE，则∠DCG=∠FAE，由平行线的性质可得∠FAE=∠GFK，进而推出MF=MC，由等腰三角形的性质可得CN=NF，则CN=14CG，然后根据平行线分线段成比例的性质进行计算.
二、填空题
9．（2023·山西）如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC，BD相交于点O．若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，则AD的长为 ．
【答案】973
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，
∵AB=AC=5，BC=6
∴BH=CH=3，
∴AH=AB2-BH2=52-32=4，
∵∠ADB=∠E+∠CBD=2∠CBD，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE，
∵∠BCD=90°，BC=6，
∴CE=BC=6，
∴EH=CE+CH=6+3=9，
∴AE=AH2+EH2=97，
∵AH⊥BC，∠BCD=90°，
∴CD∥AH，
∴DEAD=CECH=63=2，
∴AD=13AE= 973；
故答案为：973.
【分析】分别延长BC、AD交于一点H，过点A作AH⊥BC，由等腰三角形的性质可得BH=CH=3，由勾股定理求出AH=4，利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可推出CE=BC=6，EH=9，根据勾股定理再求AE=97，利用平行线分线段成比例可得DEAD=CECH=2，即得AD=13AE，据此即得结论.
10．（2023·十堰）如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE=BF=CG=AH，若菱形的面积等于24，BD=8，则EF+GH= ．
【答案】6
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD.
∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，
∴12AC·BD=24，
∴AC=6，
∴AO=3，BO=3，
∴AB=5.
∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，
∴AE=DH=DG=FC，
∴EF∥AC∥HG，
∴BEAB=EFAC，DHAD=HGAC.
设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，
∴x5=EF6，5-x5=HG6，
∴EF+HG6=x+5-x5，
∴EF+HG=6.
故答案为：6.
【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.
11．（2023·南开模拟）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°，延长FC、AE交于点M，连接BM，若C为FM中点，BM=10，则FG的长为 ．
【答案】45
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过C点作CH⊥BF于H点，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB=∠BHC=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，∠FBE+∠ABG=90°，
∴∠BAG=∠FBE，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC，AB=BC，
∴△AGB≌△BHC(AAS)，
∴BG=CH，
∵C为FM的中点，
∴CF=12MF，
∵CH⊥GF，AG⊥BF，
∴CH∥GM，
∴CHGM=CFFM=12，
∴CH=12GM，
∴BG=12GM，
∵BM=10，∠BGM=90°，
∴BG2+GM2=BM2，
∴BG2+(2BG)2=102，
解得：BG=25，负值舍去，
∴GM=45，
∵∠FGM=90°，∠GFM=45°，
∴∠GMF=90°−45°=45°，
∴∠GFM=∠GMF，
∴FG=GM=45．
故答案为：45．
【分析】过C点作CH⊥BF于H点，证明△AGB≌△BHC(AAS)，可得BG=CH，易得CH∥GM，根据平行线分线段成比例可得CHGM=CFFM=12，从而求出BG=CH=12GM，由勾股定理可得BG2+GM2=BM2，据此求出BG=25，即得GM=45，易求∠GFM=∠GMF=45°，根据等角对等边即可求解.
12．（2023九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD中，点B，C在x轴上，AD交y轴于点E，点F在AB上，AFBF=12，连接CF交y轴于点G，过点F作FP∥x轴交CD于点P，点P在函数y=kx(k<0，x<0)的图象上.若△BCG的面积为2，则k的值为 ；△DEG的面积与△BOG的面积差为 .
【答案】-4；1
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设C(c，0)，B(b，0)，则BC=b−c，
∵△BCG的面积为2，
∴12(b−c)⋅OG=2，
∴OG=4b−c，
∵OG∥BF，
∴OGBF=OCBC，
∴BF=OG⋅BCOC=−4c，
∴PC=BF=−4c，
∴P(c，−4c)，
把P(c，−4c)代入y=kx，得k=−4；
∵AFBF=12，
∴CD=AB=32BF=−6c，
∴DE=c，EG=−6c−4b−c=2c−6bc(b−c)，
∴12(−c)⋅2c−6bc(b−c)=3b−cb−c，
∵SΔBOG=12b⋅4b−c=2bb−c，
∴SΔDEG−SΔBOG=3b−cb−c−2bb−c=1，
故答案为：-4；1.
【分析】设C（c，0），B（b，0），则BC＝b−c，根据△BCG的面积为2，求得OG，再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF＝OC∶BC，求得BF，进而得出P（c，−4c），再用待定系数法求得k；由AFBF=12，求得AB，再求得△DEG的面积，进而求得结果．
13．（2022九上·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝25，则大正方形的边长为 ．
【答案】322
【知识点】勾股定理；正方形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴ADEM＝5，
∴AD＝5EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝5a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（5a）2，
∴2b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝12DM＝12a，
∵PN∥BG，
∴FNBF=PNBG=FPGF=12a2a=14，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴CPBG=PHGH， 即 2x4x=PH25，
∴PH＝PG＝5，
∵FPFG=14，
∴EF＝2a＝35GP＝355，
∴a＝31010，
∴AD＝5a＝322．
故答案为：322.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD＝5EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝5a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化简得AE＝DM＝a，延长BF交CD于N，则EN＝12DM＝12a，根据平行线分线段成比例的性质可得CPBG=PHGH，FNBF=PNBG=FPGF=14，设PN＝x，则BG＝4x，易证△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，则DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝5，
EF＝2a＝35GP，据此求出a的值，进而可得AD.
三、解答题
14．（2023九上·西安期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AB=5cm，AD=2cm，AC=4cm，求EC的长.
【答案】解：∵DE∥BC，且AB=5cm，AD=2cm，AC=4cm，
∴ADAB=AEAC，即25=AE4，
解得：AE=85，
∴EC=AC−AE=4−85=125(cm)
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得ADAB=AEAC，代入数据可得AE的值，然后根据EC=AC-AE进行计算.
15．（2022九上·杨浦期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，联结BE并延长交CD的延长线于点F，交AC于点G．求证：EF⋅GB=BF⋅GE．
【答案】证明：∵AD∥BC ，∴AEBC=GEGB ， DEBC=EFBF ．
∵点E是边 AD 的中点，∴AE=DE ．
∴GEGB=EFBF ．∴EF⋅GB=BF⋅GE ．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AEBC=GEGB，DEBC=EFBF，根据线段中点定义得出AE=DE，从而得出GEGB=EFBF，即可证出EF·GB=BF·GE.
四、综合题
16．（2023·江西）课本再现
（1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证：▱ABCD是菱形．
（2）知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．
①求证：▱ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO， AB=CD，
∵BD⊥AC
∴∠AOB=∠COB=90°，
在△AOB，△COB中，
AO=CO∠AOB=∠COBBO=BO
∴△AOB≌△COB
∴AB=CB，
同理可得△DOA≌△ODC，则DA=DC，
又∵AB=CD
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=5，AC=8，BD=6．
∴DO=BO=12BD=3，AO=CO=12AC=4
在△AOD中，AD2=25，AO2+OD2=32+42=25，
∴AD2=AO2+OD2，
∴△AOD是直角三角形，且∠AOD=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是菱形；
∴∠ACB=∠ACD
∵∠E=12∠ACD，
∴∠E=12∠ACB，
∵∠ACB=∠E+∠COE，
∴∠E=∠COE，
∴OC=CE=12AC=4，
如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G，
∴BGGC=BOOD=1，
∴CG=12BC=12AD=52，
∴OFEF=GCCE=524=58．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA，从而判定四边形ABCD是菱形；
（2）①在△AOD中，利用三边长度，根据勾股定理的逆定理，得出∠AOD=90°，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论；②如图所示，过点O作OG∥CD交BC于点G， 可得：OFEF=GCCE，所以，要求OFEF只需求GCCE即可，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD，结合已知∠E=12∠ACD，可得∠E=∠CDE，所以CE=CO=12AC=4，再根据三角形中位线定理的推论，得出CG=12BC=12AD=52，从而得出GCCE=524=58，所以OFEF=58。
17．（2023·文成模拟）如图，在7×5的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合.
（1）在图1中画一条格点线段GH，使G，H分别落在边AD，BC上，且GH与EF互相平分.
（2）在图2上画一条格点线段MN，使M，N分别落在边AB，CD上，且要求MN分EF为1：2两部分.
【答案】（1）解：如图1或图2，GH即为所求.
如图1：根据勾股定理可得：GE=FH=12+12=2，
∵GE=FH=2，GF=EH=4，
∴四边形GFHE为平行四边形，
∴GH与EF互相平分.
如图2：根据勾股定理可得：GE=FH=12+22=5，GF=EH=12+42=17，
∴四边形GFHE为平行四边形，
∴GH与EF互相平分.
（2）解：如图∶
∵EG=GH=HI=1，
∴点G、H、为EI的三等分点，
∵JG∥KH∥FI，
∴点J、K为EF的三点等分点，
过EF的三等分点画出MN即可.
如图，M1N1、M2N2、M3N3即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）答案不唯一，将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H，点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G，连接GE、FG、FH、HE、GH，易得四边形EGFH是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段；
（2）易得JG∥KH∥FI，由平行线等分线段定理得 点J、K为EF的三点等分点， 过EF的三等分点画出MN即可.思考
我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
可以发现并证明菱形的一个判定定理；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．