初中数学湘教版九年级上册3.3 相似图形精品练习题

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一、选择题
1．（2023·松阳模拟）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，若树离AB=2m，树影AC=3m，树与路灯的水平距离AP=4.5m，则路灯的高度OP是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2022·交城模拟）小孔成像是由于光在均匀介质中沿直线传播而形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是某次小孔成像实验图，其原理可以用图2所示的平面图形表示．若在这次实验中，蜡烛火焰的高度为a，小孔到光屏的距离为b，蜡烛到小孔的距离为c，则蜡烛在光屏上所成实像的高度h=abc．其中根据的数学原理是（ ）
A．图形的旋转 B．图形的轴对称 C．图形的平移 D．图形的相似
3．（2023九上·温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（ ）
A．25mB．26.5mC．50mD．51.5m
4．（2022九上·平遥期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下A处测得影子AM的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米B．15米C．16米D．20米
5．（2022九上·温州月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（ ）
A．1cmB．95cmC．2cmD．125cm
6．（2022九上·东阳月考）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022九上·南山期末）如图，广场上有一盏路灯挂在高9.6m的电线杆顶上，记电线杆的底部为O．把路灯看成一个点光源，一名身高1.6m的女孩站在点P处，OP=2m，则女孩的影子长为（ ）
A．13mB．45mC．14mD．25m
8．（2022九上·江城期末）如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒50cm处准备了一支蜡烛，蜡烛长为15cm，纸筒的长度为10cm，则这支蜡烛所成像的高度为（ ）
A．2.5cmB．3cmC．3.75cmD．5cm
二、填空题
9．（2023·巴中模拟）小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处东600米的B处，测得海中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到环海路的距离PC= 米（用根号表示）．
10．（2023·五华模拟）为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，恰好在镜子里看到树的最高点A，再用皮尺测量BE，DE和观测者目高CD．若BE=8.4m，DE=3.2m，CD=1.6m，则树AB的高度为 m．
11．（2023·本溪）如图，矩形ABCD的边AB平行于x轴，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，D，对角线CA的延长线经过原点O，且AC=2AO，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为 ．
12．（2022·番禺模拟）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为 ．
13．（2022九下·东阳期中）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD=12EF，AB=24cm.如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE=30cm，此时A，B，F三点共线，则EF= cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B′C′⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B′G：E′H=16：11，则B′G= cm.
三、解答题
14．（2019九上·泊头期中）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过点A，问FH多少里？
15．（2019九上·罗湖期中）如图，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
四、综合题
16．（2021·东胜模拟）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：
小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．
小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．
小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．
（1）在横线上直接填写甲树的高度为 米，乙树的高度为 米﹔
（2）请求出丙树的高度．
17．（2021九上·内江期末）如图，在 △ ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△POC，
∴ABOP=ACCP.
∵AB=2，AC=3，AM=4.5，
∴2OP=33+4.5，
∴OP=5m.
故答案为：C.
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABC∽△POC，然后由相似三角形的性质进行计算.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵AB//CD
∴△AEB∽△CED
∴ha=bc
∴h=abc
故答案为：D.
【分析】先证出△AEB∽△CED，可得ha=bc，再求出h=abc，因此利用图形的相似求解即可。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB=1.5m，EF=3m，BF=1.2m，BD=20m，四边形ABFG、四边形ABDH都是矩形，
∴FG=AB=1.5m，BF=AG=1.2m，AB=DH=1.5m，BD=AH=20m，
∴EG=EF-FG=3-1.5=15m
∵CD∥EF∥AB，
∴△AEG∽△ACH，
∴EG∶CH＝AG∶AH，即1.5∶CH＝1.2∶20，
解得：CH＝25m，
∴CD＝CH＋DH＝25＋1.5＝26.5（m）；
答： 楼房的高度是26.5m.
故答案为：B.
【分析】由题意得出CD∥EF∥AB，证出△AEG∽△ACH，得出对应边成比例EG∶CH＝AG∶AH，求出CH，即可得出结果.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥OC，
∴△MBA∽△MCO，
∴ABOC=AMOA+AM，即1.68=5OA+5，
解得OA=20．
则小明和路灯的距离为20米．
故答案为：D．
【分析】由AB∥OC可证△MBA∽△MCO，利用相似三角形的性质即可求解.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CD：AC，
∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，
∴CD=4，AC=6，
∴DE：3=4：6，
∴DE＝2cm，
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：C．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A、160240＝23，
B、120160＝34，
C、96144＝23，
D、6496＝23，
∴160240＝96144＝6496≠120160，
∴B选项不符合标准.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，再进行比较，即可得到符合题意的答案．
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图所示，∵CP∥AO，
∴△BCP∽△BAO，
∴PBOB=PCOA，即PB2+PB=1.69.6，
解得PB=25，
故答案为：D．
【分析】先证明△BCP∽△BAO，再利用相似三角形的性质可得PBOB=PCOA，即PB2+PB=1.69.6，再求出PB的长即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥DC，FO的延长线交AB于点E，
∵AB∥CD，EF⊥CD，
∴EF⊥AB，△OAB∽△ODC，
∴CDAB=OFOE，
∵AB=15cm，OF=10cm，OE=50cm，
∴CD15=1050，
解得：CD=3cm．
答：这支蜡烛所成像的高度为3cm．
故答案为：B．
【分析】过点O作OF⊥DC，FO的延长线交AB于点E，先证明△OAB∽△ODC，可得CDAB=OFOE，再将数据代入可得CD15=1050，最后求出CD=3cm即可。
9．【答案】3003
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得：AB=600，∠PAB=30°，∠PBC=60°，∠BPC=60°
则△PBC~△APC，设PC=x，则BC=PC·tan30°=33x，AC=600+33x
PCAC=BCPC⇒x600+33x=33xx
解得x=300x
故答案为 3003
【分析】判断相似三角形，利用相似比性质即可得出答案。
10．【答案】4.2
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥BD于点E，如图所示：
∵∠FEB=∠FED=90°，
∴∠AEB=∠CED，
∵∠EBA=∠EDC=90°，
∴△EBA∽△EDC，
∴DCBA=EDBE，
∴AB=4.2m，
故答案为：4.2.
【分析】过点E作EF⊥BD于点E，先根据题意得到∠AEB=∠CED，∠EBA=∠EDC=90°，再运用相似三角形的判定与性质即可得到DCBA=EDBE，进而即可求解。
11．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，作CD⊥y轴，交y轴于点E，作DA⊥x轴于点F.
∵DA∥EO，∴△CDA∽△CEO
∴S△CDAS△CEO=(CACO)2
即4S△CEO=(23)2
∴S△CEO=9
∴S四边形ADEO=S△CEO-S△CDA=5
又∵CD∥OF，∴△CDA∽△OFA
∴S△CDAS△OFA=(CAOA)2
即4S△OFA=22
∴S△OFA=1
∴S矩形OFDE=5+1=6
根据k的几何意义，当k＞时，k=S矩形OFDE=6，
因此本题答案为：6.
【分析】利用AC=2OA的数量关系，可以得到CA∶CO=3：1.通过添加辅助线，利用平行关系和面积的已知条件，建立A字全等△CDA∽△CEO，和8字全等△CDA∽△OFA，从而得到矩形OFDE的面积.最后利用k的几何意义求解.
12．【答案】98
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，
∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∵BB′＝1，AM⊥BB′，
∴BM＝B′M=12，
∴AM=AB2−BM2=352，
∵S△ABB′=12⋅AM⋅BB'=12⋅BN⋅AB'，
∴12×352×1=12•BN×3，则BN=356，
∴AN=AB2−BN2=32−(356)2=176，
∵AB//DC，
∴∠ECG＝∠ABC，
∵∠AMB＝∠EGC＝90°，
∴△AMB∽△EGC，
∴AMBM=EGCG=35212=35，
设CG＝a，则EG=35a，
∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，
∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，
又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，
∴∠BAB′＝∠C′B′C，
∵∠ANB＝∠EGC＝90°，
∴△ANB∽△B′GE，
∴ANBN=B'GEG=176356=1735，
∵BC＝4，BB′＝1，
∴B′C＝3，B′G＝3+a，
∴3+a35a=1735，解得a=316．
∴CG=316，EG=31635，
∴EC=CG2+EG2=(316)2+(31635)2=98．
故答案为：98．
【分析】作辅助线，构造三角形。根据旋转的性质得△ABB′是等腰三角形，解得AM及S△ABB′的面积；根据一个三角形的面积相等，不同的底乘以高的结果是相等的，得出AN；根据△ANB∽△B′GE，把每条边表示出来，解得EC。
13．【答案】452；28813
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图：连接BE，BF，过点B′作B′J⊥E′F′于J，
由题意，CE=CF=CB，
∴∠EBC=90°，
∵AB=24cm，AE=30cm，
∴EB=AE2−AB2=302−242=18(cm)，
∵∠AEB+∠FEB=90°，∠F+∠FEB=90°，
∴∠AEB=∠F，
∵∠ABE=∠EBF=90°，
∴△ABE∽△EBF，
∴ABEB=EBFB ，
∴2418=18FB，
∴FB=272，
∴EF=BE2+BF2=182+(272)2=452(cm)，
∵B′G：E′H=16：11，
∴可以假设B′G=16kcm，E′H=11kcm，
∵四边形B′GHJ是矩形，
∴B′G=JH=16k(cm)，
∴JE′=16k−11k=5k(cm)，
∵C′B′=C′E′=12EF=454(cm)，
∴JC'=(454−5k)cm，
∵AB′⊥B′C′，
∴∠AB′C′=∠GB′J=90°，
∴∠AB′G=∠JB′C′，
∵∠AGB′=∠B′JC′=90°，
∴△AB′G∽△C′B′J，
∴B′GB′J=B′AB′C′，
∴16kB′J=24454，
∴B′J=152k(cm)，
在Rt△B′JC′中，B′C′2=C′J2+B′J2，
则有(454)2=(454−5k)2+(152k)2，
解得k=1813，
∴B′G=16×1813=28813(cm)
故答案为：452，28813.
【分析】连接BE、 BF，过点B'作BJ⊥EF于J，利用勾股定理求出EB的长，证明△ABE∽△EBF，求出FB的长 ，则可求得EF，假设B'G=l6kcm，E'H= 1kcm，可得JE'=5kcm，JC'=(454−5k)cm，然后证明△AB'G∽△C'B'J，列比例式求出BJ长，最后在Rt△B′JC′中根据勾股定理建立关于k的方程，从而可解决问题.
14．【答案】解：∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过点A，
∴FA∥EG，EA∥FH，
∴∠AEG＝∠HFA＝90°，∠EAG＝∠FHA，
∴△GEA∽△AFH，
∴GEAF=AEHF ．
∵AB＝9里，AD＝7里，EG＝15里，
∴AF＝3.5里，AE＝4.5里，
∴153.5=4.5HF ，
∴FH＝1.05里．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可．
15．【答案】解：如图，过点D作DM⊥CD，交AE于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
则四边形BDMN为矩形，∴MN＝BD，BN＝DM.
由题意，得 DMDE=1.62 .
∴DM＝DE×1.6÷2＝14.4(m)．
∵MN＝BD＝ 12 CD＝6 m， ANMN=1.61 ，
∴AN＝1.6×6＝9.6(m)，
∴AB＝AN＋BN＝9.6＋14.4＝24(m)．
答：铁塔AB的高度为24 m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点D构造矩形,把塔高的影长分解为平地上的BD斜坡上的DE.然后根据影长的比分別求得AN,GB长,把它们相加即可
16．【答案】（1）5.1；4.2
（2）解：如图3，
假设线段A2B2是丙树，线段B2F为丙树落在地面上的影长，
线段FE2为丙树落在坡面上影长，C2D2为小明，C2E2为小明落在坡面上影长，
则B2F=2.4米，FE2=3.2米，C2D2=1.6米，C2E2=2米，
∵C2D2//FG，∴△C2D2E2∼△FGE2，∴C2D2FG=C2E2FE2，∴1.6FG=23.2，∴FG=2.56m，
又∵△GFH与图1中的△DCE相似，
∴GFDC=FHCE，∴2.561=FH0.8，∴FH=2.048m，
又∵△FGH∼△B2A2H，
∴FGB2A2=FHB2H，∴2.56B2A2=2.048B2F+FH，∴2.56B2A2=，∴B2A2=5.56m，
故丙树的高为5.56米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，
线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，
∴CD=1m，CE=0.8m，BE=4.08m，
∵CD//AB，∴△ABE∼△DCE，
∴CDAB=CEBE，
∴1AB=，
∴AB=5.1米，
故甲树的高为5.1米；
如图2，假设线段 A1B1是乙树，线段 C1D1为乙树在墙壁上的影长，
线段 B1C1为乙树落在地面上的影长，
∴C1D1=1.2m，B1C1=2.4m，
∵△C1D1E1与图1中的 △CDE相似，
∴C1D1CD=C1E1CE，∴1.21=C1E10.8，∴C1E1=0.96m，
又 ∵C1D1//A1B1，
∴△A1B1E1∼△D1C1E1，∴A1B1D1C1=B1E1C1E1，∴A1B11.2=B1C1+C1E10.96，∴A1B11.2=2.4+，∴A1B1=4.2m，
故乙树的高为4.2米；
故答案为：5.1，4.2；
【分析】（1）直接利用相似比求甲数的高度，画出几何图形，把树高分成两个部分，其中一部分等于墙壁上的影长，另外一部分利用相似可求出乙树的高度；
（2）利用两个不同的相似比分别求出对应高，再求和即可。
17．【答案】（1）3；△ ABC∽ △ ACD， △ ABC∽ △ CBD， △ ACD∽ △ CBD
（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝ AB2−AC2 ＝ 52−42 ＝3.
∵△ABC的面积＝ 12 AB•CD＝ 12 AC•BC，
∴CD＝ AC⋅BCAB ＝ 125 .
（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝ 125 ，
∴OB＝ 95 .
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，
∴BPAB ＝ BQBC ，
∴3−t5=t3 ，
解得t＝ 98 ，即 BQ=CP=98 ，
∴BP=BC−CP=3−98=158 .
在△BPQ中，由勾股定理，得 PQ=BP2−BQ2=(158)2−(98)2=32 ，
∴点P的坐标为 (2740,32) ；
②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，
∴BPBC=BQAB ，
∴3−t3=t5 ，
解得t＝ 158 ，即 BQ=cP=158,BP=BC−CP=3−158=98 ，
过点P作PE⊥x轴于点E.
∵△QPB∽△ACB，
∴⋅PECO=BQAB ，即 PE125=1585 ，
∴PE＝ 910 .
在△BPE中， BE=PB2−PE2=(98)2−(910)2=2740 ，
∴OE=OB−BE=95−2740=98 ，
∴点P的坐标为 (98,910) ，
综上可得，点P的坐标为( 2740 ， 32 )；( 98 ， 910 ).
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB
同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD.
（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到 12 AB•CD＝ 12 AC•BC，即可求出CD的长.
（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB.
墨子，名翟，公元前476或480年—公元前390或420年．我国古代教育家、思想家、哲学家．