湘教版九年级上册3.6 位似优秀测试题

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一、选择题
1．（2023九上·临渭期末）如图，△ABC中，A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，若D（1，2），△DEF的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵A（2，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小后得到△DEF，D（1，2），
∴位似比为：2：1，
∴面积比为：4：1，
∵△DEF的面积为4，
∴△ABC的面积为：4×4＝16.
故答案为：D.
【分析】根据点A、D的坐标可得位似比为2：1，则面积比为4：1，据此求解.
2．（2023九上·越城期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，OEEA=34，则FGBC的值为（ ）
A．34B．43C．37D．47
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，
∴OEOA=OFOB=37，
∴FGBC=OFOB=37.
故答案为：C.
【分析】由题意可得△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行解答.
3．（2023九上·武义期末）如图，△ABC和△DEF是位似三角形，OD=3OA，△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）
A．4B．6C．16D．18
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，
∴△ABC∽△DEF ，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴ABDE=OAOD=13，
∴S△ABCS△DEF=(13)2=19 ，
∵△ABC的面积为2，
∴△DEF的面积为18，
故答案为：D.
【分析】由题意可得△ABC∽△DEF，AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
4．（2023九上·凤翔期末）△ABO三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到△A′B′O，则点A′的坐标是（ ）
A．(1，2)B．(1，2)或(−1，−2)
C．(2，1)或(−2，−1)D．(−2，−1)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的12，得到△A′B′O，
∵点A的坐标为(2，4)，
∴点A′的坐标为(2×12，4×12)或(−12×2，−12×4)，
即点A′坐标为(1，2)或(−1，−2)，
故答案为：B.
【分析】给点A的横、纵坐标分别乘以12或-12就可得到点A′的坐标.
5．（2023九上·赵县期末）如图，在平面直角坐标系×Oy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD．若点A(1，2)，B(2，0)，D(5，0)，则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5)B．(52，5)C．(3，5)D．(3，6)
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），
∴OBOD=25
∵A（1，2），
∴C(52，5)
故答案为：B
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系
6．（2023九上·通川期末）在平面直角坐标系中，已知点E(−4，2)，F(−2，−2).若△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′：S△OEF=4：1，则点E′的坐标为（ ）
A．(2，−1)B．(8，−4)
C．(−8，4)或(8，−4)D．(2，−1)或(−2，1)
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′：S△OEF=4：1，
∴△OE′F′与△OEF的相似比为2：1，
∵点E的坐标为(−4，2)，
∴点E′的坐标为(−4×2，2×2)或(−4×(−2)，2×(−2))，
即(−8，4)或(8，−4)，
故答案为：C.
【分析】根据位似图形面积之比等于相似比的平方结合题意可得相似比为2：1，给点E的横纵坐标分别乘以2或-2可得点E′的坐标.
7．（2023九上·温州期末）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3．若AB=3，则DE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．6
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE＝2：3．
∵AB＝3，
∴DE＝4.5．
故答案为：B.
【分析】位似图形就是特殊的相似图形，所以位似比等于相似比，进而利用相似三角形的性质即可求解．
8．（2022九上·聊城期末）在平面直角坐标系中，已知点A(−4，2)，B(−6，−4)，以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．(−8，4)B．(8，−4)
C．(−8，4)或(8，−4)D．(−2，1)或(2，−1)
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：点A(−4，2)，相似比为12，
∴点A的对应点A′的坐标是−4×12=−2，2×12=1，即A′(−2，1)，或者−4×(−12)=2，2×(−12)=−1，即A′(2，−1)，
故答案为：D．
【分析】利用位似图形的性质求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·兴化期末）如图，平面直角坐标系中，正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，点F，B，C在x轴上，若AD=6，则点G的坐标为 .
【答案】(6，3)
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵正方形EFBG和正方形ABCD是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：2，
∴BG∥CD，BGCD=12，BC=AD=CD=6，
∴△OBG∽△OCD，
∴OBOC=BGCD=12，即OBOB+6=BG6=12，
解得：OB=6，BG=3，
∴点G的坐标为(6，3)，
故答案为：(6，3).
【分析】根据正方形的性质以及位似图形的性质可得BC=AD=CD=6，BG∥CD，BGCD=12，证明△OBG∽△OCD，根据相似三角形的性质可得OB、BG的值，进而可得点G的坐标.
10．（2022九上·包头期末）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为3：5，点A，B的对应点，分别为点A′，B′．若AB=6，则A′B′的长为 ．
【答案】10
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为3：5，
∴ABA′B′=35，即6A′B′=35，
解得：A′B′=10．
故答案为：10．
【分析】利用位似图形的性质可得ABA′B′=35，即6A′B′=35，再求出A′B′=10即可。
11．（2022九上·汽开区期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为2：3．若△ABC的周长为6，则△DEF的周长是 ．
【答案】9
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴△DEF和△ABC的相似比为3：2，
∴△DEF的周长=32×△ABC的周长=9，
故答案为：9．
【分析】先求出△DEF和△ABC的相似比为3：2，再求出△DEF的周长=32×△ABC的周长=9即可。
12．（2021九上·德惠期末）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A、B、D在x轴上，若等边△BDE的边长为6，则点C的坐标为 ．
【答案】(2，3)
【知识点】点的坐标；勾股定理；相似三角形的判定与性质；位似变换
【解析】【解答】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴BCDE=OBOD，
∵△ABC与△BDE的相似比为13，等边△BDE边长为6，
∴BC6=OBOB+6=13，
解得，BC=2，OB=3，
∴OA=1，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=1，
由勾股定理得，CF=AC2−AF2=3，
∴OF=OA+AF=2，
∴点C的坐标为(2，3)
故答案为：(2，3)．
【分析】作CF⊥AB于F，证明△OBC∽△ODE，可得BCDE=OBOD=13，据此求出BC=2，OB=3，从而求出OA=1，AF=1，利用勾股定理求出CF，再利用OF=OA+AF求出OF的长，即得点C坐标.
三、解答题
13．（2021九上·吉林期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD=DA=CB，DC=AB=BE，在点A，E处分别装上画笔．
画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．
原理：
连接OA，OE，可证得以下结论：
①△ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA=12(180°−∠ODA)，∠COE=12（180°-∠ ▲ ）；
②四边形ABCD为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③∠DOA=∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；
④当DCCB=35时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接OA，OE，如图，
①∵OD=DA=CB，DC=AB=BE
∴OC=CE
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠DOA=∠DAO，∠COE=∠CEO
∴∠DOA=12(180°−∠ODA)，∠ COE=12(180°−∠OCE)
②∵BC=AD，CD=AB
∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵∠DOA=∠COE
∴O，A，E三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即：OCOD，
又DCCB=35，且OA=OD=CB
∴OCOD=85
即：当DCCB=35时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的85倍得到的．
故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；85
【知识点】平行四边形的性质；位似变换
【解析】【分析】 ①由等腰三角形的性质即可求解；②平行四边形的判定即可求解；③ 由图形即可直接得出答案；④ 根据图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，求解即可。
14．（2020九上·西城期末）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．
制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A ， B ， C ， D 处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动， O 为固定点， OD=DA=CB ， DC=AB=BE ，在点 A ， E 处分别装上画笔．
画图：现有一图形 M ，画图时固定点 O ，控制点 A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此时点 E 处的画笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N ．
原理：
连接 OA ， OE ，可证得以下结论：
①△ODA 和 △OCE 为等腰三角形，则 ∠DOA=12(180°−∠ODA) ， ∠COE=12 （180°-∠ ▲ ）；
②四边形 ABCD 为平行四边形（理由是 ▲ ）；
③∠DOA=∠COE ，于是可得 O ， A ， E 三点在一条直线上；
④当 DCCB=35 时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 ▲ 倍得到的．
【答案】解：连接 OA ， OE ，如图，
①∵OD=DA=CB ， DC=AB=BE
∴OC=CE
∴△OAD和△OEC是等腰三角形，
∴∠ DOA=∠DAO ，∠ COE=∠CEO
∴∠ DOA=12(180°−∠ODA) ，∠ COE=12(180°−∠OCE)
②∵BC=AD ， CD=AB
∴四边形 ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
③∵∠DOA=∠COE
∴O ， A ， E 三点在一条直线上；
④∵图形M和图形N是以点O为位似中心的位似图形，
∴其倍数比为三角形的边长比即： OCOD ，
又 DCCB=35 ，且 OA=OD=CB
∴OCOD=85
即：当 DCCB=35 时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 85 倍得到的．
故答案为： OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 85
【知识点】位似变换
【解析】【分析】①由等腰三角形的性质可求解；②由平行四边形的判定即可求解；③由图形可直接得到答案；④通过证明△AOD∽△EOC，可得OCOD=85，再将数据代入计算即可。
15．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心P逆时针旋转90°后得到△A1B1C1．
（1）在图中标示出旋转中心P，并写出它的坐标；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2，在图中画出△A2B2C2，并写出C2的坐标．
【答案】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为（3，1）
（2）解：如图，△A2B2C2为所作，C2的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，根据三角形逆时针向左旋转90°即可写出对应的中心点坐标。
（2）根据位似比，C2的坐标在第一象限或第四象限，根据位似中心确定相关的对应点，描点连线即可。
四、作图题
16．（2023九上·西安期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A(1，0)，B(4，−1)，C(3，2).△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1.
【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：△A2B2C2即为所求.
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）连接AA1、BB1并延长，交于一点，该点即为点P，结合点P的位置可得相应的坐标；
（2）连接AO、BO、CO并延长，使AO=A2O，BO=B2O，CO=C2O，然后顺次连接即可.
五、综合题
17．（2023九上·礼泉期末）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(-1，1)，B(2，3)，C(0，3).
（1）以原点O为位似中心，在x轴上方作△ABC的位似图形，△A′B′C′，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′；
（2）在(1)的条件下，写出点A′的坐标.
【答案】（1）解：如图所示，△A'B'C'即为所求.
（2）解：点 A′ 的坐标为(-2，2).
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）利用位似图形的性质及位似比为2：1，以O为位似中心，分别作出点A，B，C的对应点A′，B′，C′，然后画出△A′B′C′即可.
（2）利用（1）中的图形，写出点A′的坐标.
18．（2020九上·惠山月考）（1）在正方形方格纸中，我们把顶点均在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图△ABC是一个格点三角形，点A的坐标为（-2，2）.
（1）点B的坐标为 ，△ABC的面积为 ；
（2）在所给的方格纸中，请你以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半（仅用直尺）；
（3）在（2）中，若P（a，b）为线段AC上的任一点，则缩小后点P的对应点P1的坐标为 .
（4）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图.
①如图2，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F.
②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH.
【答案】（1）(2,2)；4
（2）解：如图，连接OA取，OA中点记作点 A1 ，用同样的方法找到点 B1 和点 C1 ，就得到缩小后的 △A1B1C1 ；
（3）(a2,b2)
（4）解：①如图，连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求，
根据平行四边形的性质，O是BD中点，
∴CO是 △BCD 的中线，
∵E是CD中点，
∴BE也是 △BCD 的中线，
根据三条中线交于一点，所以连接DG并延长，得到 △BCD 的最后一条中线，则F是BC中点；
②如图，分别过点B、C作 2×3 的矩形对角线BD， 3×1 的矩形对角线CE，
BD⊥AC ， CE⊥AB ，则直线BD与CE的交点F就是 △ABC 的高所在直线的交点，
连接AF角BC于点H，线段AH就是所求的 △ABC 的高.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；作图﹣位似变换
【解析】【解答】解：（1）根据图上点B的位置，点B的坐标是 (2,2) ，
S△ABC=12×4×2=4 ，
故答案是： (2,2) ，4；
（ 3 ）根据（2）中的做法，点 P1 就是OP的中点，根据中点坐标公式得 P1(a2,b2) ，
故答案是： (a2,b2) ；
【分析】（1）根据点B在平面直角坐标系中的位置写出点B坐标，三角形ABC的面积，以AB为底，点C到AB的距离为高，求解；
（2）分别连接点O和点A、B、C，取它们的中点，构成 △A1B1C1 ；
（3）根据（2）的做法得到，点 P1 就是QP的中点，用中点坐标公式求出点 P1 的坐标；
（4）①连接AC、BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求；②作 BD⊥AC ， CE⊥AB ，找到高的交点F，连接AF并延长交BC于点H，得到高AH.