【课时练】(湘教版) 2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷

这是一份【课时练】(湘教版) 2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷，文件包含课时练湘教版2023-2024学年初中数学九年级上册41正弦和余弦同步分层训练培优卷教师版docx、课时练湘教版2023-2024学年初中数学九年级上册41正弦和余弦同步分层训练培优卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。

2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷(湘教版)一、选择题1．（2023九上·嵊州期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=6，AC=8，点D是AC上一点，且CDAD=13，则sin∠DBC的值为（　　）.A．25 B．210 C．26 D．15【答案】B【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图：过D作DE⊥BC，垂足为E∵CDAD=13∴AD=3CD∵AC=AD+CD∴8=3CD+CD，即CD=2∴AD=6∵AB=6，∠BAC=90°∴BD=AB2+AD2=62∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，若AB=6，AC=8∴BC=AB2+AC2=10∵sin∠C=ABBC=DECD∴610=DE2，即DE=65∴sin∠DBC=DEBD=6562=6302=210.故答案为：B.【分析】过D作DE⊥BC，垂足为E，由已知条件可得AD=3CD，结合AC=AD+CD=8可得CD、AD的值，由勾股定理可得BD、BC，然后根据三角函数的概念进行计算.2．（2023九上·江北期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，tanA=12，则AB=（　　）A．5 B．25 C．4 D．23【答案】B【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，tanA=12， ∴tanA=BCAC=12，∴2AC=12，解得：AC=4，∴AB=AC2+BC2=42+22=25，故答案为：B. 【分析】根据正切函数的概念可求出AC的值，然后利用勾股定理进行计算.3．（2023九上·徐州期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则∠B的正弦值为(　　)A．34 B．43 C．35 D．45【答案】C【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4， ∴AC=52−42=3∴sinB=ACAB=35故答案为：C. 【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根据三角函数的概念进行计算.4．（2023九上·东阳期末）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）A．52 B．3 C．54 D．103【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】解： 在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，∴AB=AC2+BC2=32+42=5，∵BD=BC=3，∴AD=AB-BD=5-3=2，由题意可得MN是线段AD的垂直平分线，∴AF=12AD=1，∠AFE=90°，∵cosA=AFAE=ACAB，∴1AE=45，∴AE=54.故答案为：C.【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据线段的和差算出AD的长，根据线段垂直平分线的性质得AF=1，∠AFE=90°，进而根据余弦三角函数的定义可得cosA=AFAE=ACAB，代入即可求出AE的长.5．（2022九上·凤阳月考）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，OA2=OB•OC则下列结论正确的是（　　）A．sin∠1=cos∠2 B．tan∠OAB=tan∠1C．cos∠1=cos∠CAB D．sin∠OAB=cos∠1【答案】D【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵OA2=OB•OC， ∴OAOB=OCOA，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠1=∠2，∵∠2+∠OAB=90°，∴∠1+∠OAB=90°，∴sin∠OAB=cos∠1，故答案为：D． 【分析】由OA2=OB•OC，∠AOC=∠BOA=90°，可证△AOC∽△BOA，可得∠1=∠2，从而得出∠1+∠OAB=90°，继而得出sin∠OAB=cos∠1.6．（2022九上·怀宁月考）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示出sinα的值，正确的是（　　）A．BDBC B．ADAC C．ADDC D．CDAC【答案】B【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴∠BAC+α=∠BAC+∠ACD=90°，∴∠ACD=α，∴sinα=ACAB=CDBC=ADAC；故正确的是B选项；故答案为：B． 【分析】根据余角的性质可得∠ACD=α，利用正弦函数的定义得sinα=ACAB=CDBC=ADAC，即可判断.7．（2023九上·义乌期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，AB=4，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG.以下结论：①BF∥ED； ②BH=3FH； ③tan∠GEB=34；④S△BFG=0.3，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：①∵AB=4，E为AB的中点，∴AE=BE=2，∵将△ADE沿DE翻折得到△FDE，∴AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，∴AE=EF=BE，∴∠EBF=∠EFB，∵∠AEF=∠EBF+∠EFB，∴∠AED=∠EBF，∴BF∥ED，故①正确；②∵BF∥ED，∴∠ABF=∠AED，∵∠ABF+∠FBH=90°，∠AED+∠ADE=90°，∴∠FBH=∠ADE，∴tan∠FBH=FHBH=tan∠ADE=AEAD=26=13，∴FHBH=13，∴BH=3FH，故②正确；③过点E作EM⊥BF于点M，如图，∵AE=EF=BE，∴∠FEM=12∠BEF，∵∠DEF=12∠AEF，∴∠FEM+∠DEF=12×180°=90°，∵∠DEF+∠EDF=90°，∴∠FEM=∠EDF，∵∠EMF=∠DFE=90°，∴△EFM∽△DEF，∴FMEF=EFED，∴.FM=105，∴BF=2FM=2105，∵∠HBF+∠EBM=∠EBM+∠BEM=90°，∴∠HBF=∠BEM=∠FEM=∠FDE，∵∠BHF=∠DFE=90°，∴△BHF∽△DFE，∴FHEF=BHDF，∵BH=3FH，∴FH=25，BH=65，设HG=x，∵FH⊥BC，∴FH∥BE，∴△GFH∽△GEB，∴HGBG=HFBE，即xx+65=252，解得，x=310，∴BG=BH+HG=32，∴tan∠GEB=BGEB=34，故③正确；④S△BFG=12BG⋅FH=0.3，故④正确；综上共有4个正确.故答案为：D.【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ED，从而即可判断①；根据等角的余角相等得∠FBH=∠ADE，根据等角的同名三角函数值相等并结合正切函数的定义可得BH=3FH，据此可判断②；过点E作EM⊥BF于点M，根据等腰三角形的三线合一得∠FEM=12∠BEF，根据等角的余角相等得∠FEM=∠EDF，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFM∽△DEF，根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出FM，再判断出△BHF∽△DFE，根据相似三角形对应边成比例可求出FH、BH，接着判断出△GFH∽△GEB，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出HG的长，最后根据正切三角函数的定义可求出tan∠GEB的值，据此可判断③；直接利用三角形面积计算公式算出△BFG的面积，可判断④.8．（2022九上·渠县期末）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论，其中正确结论的个数是（　　）①△BDE∽△DPE；②FPPH=233；③DP2=PH⋅PB；④tan∠DBE=2−3.A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，在正方形ABCD中，∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°∴∠ABE=∠DCF=30°，∴∠CPD=∠CDP=75°，∴∠PDE=15°，∵∠PBD=∠PBC-∠HBC=60°-45°=15°，∴∠EBD=∠EDP，∵∠DEP=∠DEB，∴△BDE∽△DPE；故①正确；∵PC=CD，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP∽△BPH，∴PFPH=DFPB=DFCD=33，故②错误；∵∠PDH=∠PCD=30°，∵∠DPH=∠DPC，∴△DPH∽△CDP，∴PDCD=PHPD ，∴PD2=PH•CD，∵PB=CD，∴PD2=PH•PB，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴CM=PN=PB•sin60°=4×32=23 ，PM=PC•sin30°=2，∵DE∥PM，∴∠EDP=∠DPM，∴∠DBE=∠DPM，∴tan∠DBE=tan∠DPM=DMPM=4−232=2−3 ，故④正确；故答案为：B.【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到∠ABE=∠DCF=30°，于是得到∠CPD＝∠CDP＝75°，证得∠EDP＝∠PBD＝15°，于是得到△BDE∽△DPE，故①正确．②由于∠FDP＝∠PBD，∠DFP＝∠BPC＝60°，推出△DFP∽△BPH，得到PFPH=DFPB=DFCD=33，故②错误；③由于∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到PDCD=PHPD，结合PB＝CP，等量代换得到PD2＝PH•PB，故③正确；④过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，于是得到∠PBC＝∠PCB＝60°，PB＝PC＝BC＝CD＝4，求得∠PCD＝30°，根据三角函数的定义得到CM=PN=PB•sin60°=4×32=23，PM＝PC•sin30°＝2，由平行线的性质得到∠EDP＝∠DPM，等量代换得到∠DBE＝∠DPM，于是求得tan∠DBE=tan∠DPM=DMPM=4−232=2−3故④正确．二、填空题9．（2023九上·海曙期末）如图，已知∠MON=120°，点P、A分别为射线OM、射线ON上的动点，将射线PA绕点P逆时针旋转30°交射线ON于点B，则OAAB的最大值为　 　.【答案】233−1【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质【解析】【解答】解：以BP为底作等腰△BDP且PD=BD，过点B作BH垂直射线PD，过点O作OC⊥PD，如图所示：∵将射线PA绕点P逆时针旋转30°交射线ON于点B，∴∠BPA=∠PBD=30°，∴∠BDP=120°，∠BDH=60°，∴点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC取得最大值，∵∠OCA=∠BHA=90°，∠CAO=∠BAH，∴△AOC∽△ABH，∴OAAB=OCBH，∵∠MON=120°，∠BDP=120°，∴∠PEB=120°，∴∠EPB=∠EBP=30°，∵∠DPB=30°，∴∠EPC=60°，∵OC⊥PD∴PD=2PC，∴PE=PCcos∠EPC=2PC=PD，EC=PC⋅tan∠EPC=3PC=32PD，∴OC=OE−EC=PD−32PD，∵∠BDH=60°，∴BH=BD⋅sin∠BDH=32BD=32PD，∴OCBH=PD−32PD32PD=233−1OAAB的最大值为233−1故答案为：233−1.【分析】以BP为底作等腰△BDP且PD=BD，过点B作BH垂直射线PD，过点O作OC⊥PD，根据旋转的性质可得∠BPA=∠PBD=30°，则∠BDP=120°，∠BDH=60°，推出点P、O、D、B在以点E为圆心的圆上，当OE⊥PD时，OC取得最大值，证明△AOC∽△ABH，得到OAAB=OCBH，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EPB=∠EBP=30°，∠EPC=60°，则PD=2PC，根据三角函数的概念可得PE、EC、BH，据此求解.10．（2023九上·吴兴期末）将一组完全一样的宽1cm，高5cm的多米诺骨牌按图1所示垂直放置在地面上，推动至其全部倒下，最后三块骨牌的位置如图2所示.其中①号骨牌水平倒在地面上，已知②号骨牌与地面夹角α的正切值为12.（1）求DF的长为　 　cm.（2）若③号骨牌与地面的夹角β的正切值为13，则BD的长为　 　cm.【答案】（1）2（2）10+252【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（1）由题意得：在Rt△DE′F中， ∠DFE′=90°，E′F=1，∵tan∠E′DF=tanα=E′FDF=12，∴DE=2E′F=2故答案为：2（2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，如图所示：则∠BNM=90°，∠DC′P=90°，BM=5，∠MPN=α，C′D=1，若③号骨牌与地面的夹角β的正切值为13，则在Rt△BMN中，tan∠MBN=tanβ=MNBN=13，设MN=k(k>0)，则BN=3k，根据勾股定理，得MN2+BN2=BM2，∴k2+(3k)2=52，解得：k=102，∴MN=102，BN=3k=3102，Rt△PMN中，PN=MNtan∠MPN=MNtanα=10212=10，∴BP=BN−PN=3102−10=102，在Rt△PC′D中，PC′=C′Dtan∠MPN=C′Dtanα=112=2，∴PD=C′D2+PC2=12+22=5，∴BD=BP+PD=102+5=10+252，故答案为：10+252. 【分析】（1）由题意得：在Rt△DE′F中，∠DFE′=90°，E′F=1，然后根据三角函数的概念进行计算； （2）设③号骨牌落在②号骨牌上的M点，过M作地面的垂线段MN，延长MC′交地面于点P，则∠BNM=90°，∠DC′P=90°，BM=5，∠MPN=α，C′D=1，设MN=k，BN=3k，由勾股定理可得k的值，据此可得MN、BN，根据三角函数的概念可得PN、PC′，利用勾股定理求出PD，然后根据BD=BP+PD进行计算.11．（2023九上·沭阳期末）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C.将△EDF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则S△PDMS△CDN的值为　 　.【答案】13【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵点D为斜边AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，∵∠EDF=90°，∴∠CPD=60°，∴∠MPD=∠NCD，∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°＜α＜60°），∴∠PDM=∠CDN=α，∴△PDM∽△CDN，∴PMCN=PDCD，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=PDCD，∴PMCN=tan30°=33.∴S△PDMS△CDN=(PMCB)2=13故答案为：13.【分析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=DB，由等腰三角形的性质可得∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，推出∠MPD=∠NCD，由旋转的性质可得∠PDM=∠CDN=α，证明△PDM∽△CDN，然后根据三角函数的概念以及相似三角形的性质进行解答.12．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，E是射线AB上一动点，连结DE交对角线AC于点F，当DE把△ABC分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是△ABC面积的13，则AE的长为　 　.【答案】213−2或213+23【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3， ∴AB∥DC，BC=AD=3，∴AC=AB2+BC2=5，∴sin∠CAB=sin∠FAE=BCAC=35，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，∴AEAB=nBEnBE+BE=nn+1=AECD，∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，∴AECD=AFCF=nn+1， ∵AFAC=AFAF+FC=nn+(n+1)=n2n+1∴AF=n2n+1AC=5n2n+1，∵AE=nBE，AB=AE+BE=AE+1nAE=4，∴AE=41+1n=4nn+1，设△AFC中，AE边上的高为h，则h=AF×sin∠FAE，∴S△AFC=12AE×AF×sin∠FAE=12AE×5n2n+1×35=3n4n+2×4nn+1=12n22(2n+1)(n+1)∵13S△ABC=13×12×AB×BC=16×4×3=2，即当S△AFC=2时，∴12n22(2n+1)(n+1)=2解得：n=13+32（负值舍去）∴AE=4nn+1=213+23；AE=213+23②当E在AB的延长线上时，如图设AE=nBE，∴AEAB=nBEnBE−BE=nn−1=AECD，∵AB∥DC，∴△AEF∽△CDF，∴AECD=AFCF=nn−1， ∵AFAC=AFAF+FC=nn+(n−1)=n2n−1∴AF=n2n−1AC=5n2n−1，∵AE=nBE，AB=AE−BE=AE−1nAE=4，∴AE=41−1n=4nn−1∴BE=1nAE=4n−1∴S△AFC=12AE×AF×sin∠FAE=12AE×5n2n−1×35=3n4n−2×4nn−1=12n22(2n−1)(n−1)∵tan∠DEA=ADAE=3nBE，∴BG=BE×tan∠GEB=BE×3nBE=3n，∴S△GBE=12×BG×BE=12×3n×4n−1∵△CFG的面积为2，∴四边形AFGB的面积为4，即S△AFC−S△GBE=4即12n22(2n−1)(n−1)−12×3n×4n−1=4解得：n=13+52或n=5−132（n>1，不合题意舍去）∴AE=4nn−1=213−2，故答案为：213−2或213+23. 【分析】根据矩形的性质可得AB∥DC，BC=AD=3，利用勾股定理可得AC的值，根据三角函数的概念可得sin∠CAB、sin∠FAE的值，①当E在线段AB上时，设AE=nBE，则AEAB=nn+1=AECD，证明△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质可得AF，然后表示出AE，设△AFC中，AE边上的高为h，然后根据三角形的面积公式可得S△AFC，求出S△ABC，结合题意可得S△AFC=13S△ABC，据此可求出n的值，进而可得AE；②当E在AB的延长线上时，同理求解即可.13．（2023九上·永嘉期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝2.连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ，则12DQ+CQ的最小值为 　 　.【答案】5【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质【解析】【解答】解：如图，连接AC、AQ，∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝BCAC=22，cos∠PCQ＝PCQC=22，∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴AQBP=22∵BP＝2，∴AQ＝2，∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，∵AEAQ=12，AQAD=12，∠QAE＝∠DAQ，∴△QAE∽△DAQ，∴EQQD=12即EQ＝12QD，∴12DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，∴CE=DE2+CD2=5，∴12DQ+CQ的最小值为5.故答案为：5.【分析】连接AC、AQ，根据正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质得∠ACB＝∠PCQ＝45°，推出∠BCP＝∠ACQ，进而根据等角的同名三角函数值相等得∠ACB=∠PCO，则可判断出△BCP∽△ACQ，根据相似三角形的性质可求出AQ=2，故Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，再根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△QAE∽△DAQ，得EQ＝12QD，所以12DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，用勾股定理算出CE，即可得出答案.三、解答题14．（2022九上·潞城月考）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，sinA =45，CD =4，AB =5，求AD的长和tanB的值. 【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=90∘∵sinA=CDAC=45，CD=4，∴AC=5根据勾股定理可得AD=AC2−CD2=3BD=AB−AD=4∴tanB=CDBD=2【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据sinA=CDAC=45，CD=4，求出AC的长，利用勾股定理求出AD的长，再利用正切的定义可得tanB=CDBD=2。15．（2022九上·杨浦期中）如图，已知△ABC中，AB=12，∠B=30°，tanC=247，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E．求线段CE的长． 【答案】解：过A作 AH⊥BC ，垂足为点H． 在 Rt△ABH 中，∵∠B=30° ， AB=12 ，∴AH=6 ， BH=63 ．在 Rt△ACH 中，∵tanC=AHCH=247 ，∴CH=74 ．∴BC=BH+CH=63+74 ．∵DE 垂直平分 AB ，∴BD=12AB=6 ， DE⊥AB ．在 Rt△BDE 中，∵cosB=BDBE=32 ，∴BE=43 ．∴CE=BC−BE=63+74−43=23+74 ．【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；锐角三角函数的定义【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据题意求出AH和BH的长，再根据锐角三角函数定义求出CH的长，从而求出BC的长，再求出BE的长，利用CE=BC-BE，即可得出CE的长.四、作图题16．（2023九上·徐州期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(6，4)，B(4，0)，C(2，0). （1）在y轴左侧，以O为位似中心，画出△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为1：2；（2）根据（1）的作图，tan∠C1A1B1=　 　.【答案】（1）解：在y轴左侧，以O为位似中心，相似比为1：2， ∴如图所示，∴△A1B1C1即为所求图形.（2）13【知识点】勾股定理；作图﹣位似变换；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（2）如图所示，过点B作BD⊥AC于D，∵A(6，4)，B(4，0)，C(2，0)，∴BC=2，点A到BC的距离（高）是4，∴AC=42+42=42，AB=22+42=25且S△ABC=12×2×4=12·AC·BD，∴12×42·BD=4，即BD=2，在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=(25)2−(2)2=32，∴tan∠A=BDAD=232=13，∵△A1B1C1是△ABC的相似图形，∴∠B1A1C1=∠A，∴tan∠C1A1B1=tanA=13，故答案为：13.【分析】（1）连接AO、BO、CO并延长，使AO=2A1O，BO=2B1O，CO=2C1O，然后顺次连接即可；（2）过点B作BD⊥AC于D，求出BC、AC、AB的值，根据等面积法可求出BD的值，由勾股定理可得AD，根据相似图形的性质可得∠B1A1C1=∠A，然后根据三角函数的概念进行计算.五、综合题17．（2023九上·嵊州期末）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E是射线AB上的动点，点F是射线DB上的动点，满足AE=DF.（1）若点E是AB的中点，求BF的长和tan∠BFE的值.（2）若△BEF是等腰三角形，求AE的长.（3）若BF=4，点P是射线AD上的点，满足tan∠BPE=15，直接写出DP的长.【答案】（1）解：∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，∴AD=BC=6，∴BD=AD2+AB2=10，当点E为AB的中点时，AE=BE=12AB=4，∴AE=DF=4，∴BF=10−4=6；过点F作FG⊥AB，EH⊥BD，连接EF，如图所示：∴∠FGB=∠EHB=∠A=90°，∵∠FBG=∠EBH，∴△ABD∽△GBF，△ABD∽△HBE，∴ABBG=BDBF=ADFG，ABBH=BDBE=ADHE，解得：EH=2.4，FG=3.6，∴BH=BE2−EH2=3.2，∴FH=10−4−3.2=2.8，∴tan∠BFE=EHFH=2.42.8=67；（2）解：i当点E在线段AB上时，F在线段BD上时，设AE=x，则BE=8−x，DF=x，BF=10−x，且(08，不符合题意，舍去；③当BE=EF时，过点E作EG⊥BD，如图所示：∴∠EGB=∠A=90°，∵∠FBA=∠DBA，∴△ABD∽△GBE， ∴ABBG=BDBE，810−x2=108−x，解得：x=143；ii同理：当点E在射线AB上时，F在线段BD上时，设AE=x，则BE=x−8，DF=x，BF=10−x，810，①当BE=BF时，如图所示：∴x−8=x−10，无解，不存在；②当BF=EF时，如图所示：过点F作FG⊥AB，∴∠FGB=∠A=90°，∵∠FBG=∠DBA，∴△FGB∽△DAB，∴BFBD=BGAB，即x−1010=x−88，解得：x=0，不符合题意，舍去；③当BE=EF时，过点E作EG⊥BF，如图所示：∴∠EGB=∠A=90°，∵∠FBE=∠DBA，∴△ABD∽△GBE， ∴ABBG=BDBE，8x−102=10x−8，解得：x=143<10，不符合题意；综上可得：当AE=143或9时，△BEF是等腰三角形；（3）解：DP的长为6−23或3.2【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（3）如图所示：当点E、F在点B左侧，点P在点D下方时，过点B作BG⊥PE，∵BF=4，∴DF=AE=6，BE=8−6=2，设AP=x，则 PE=AP2+AE2=x2+36，∵∠EGB=∠A=90°，∠BEG=∠PEA，∴△EBG∽△EPA， ∴EBPE=BGAP=EGAE，即2x2+36=BGx=EG6，解得：BG=2xx2+36，EG=12x2+36∴PG=x2+36+12x2+36∵tan∠BPE=15，∴EGPG=12x2+36x2+36+12x2+36=15，解得：x=23<6，∴DP=6−23；点P在射线点D上方时，过点B作BG⊥PE，同理解得：PA=23<6，故不存在；当点E、F在点B右侧时，点P在点D下方时，过点E作EG⊥BP，∵BF=4，∴DF=AE=14，BE=14−8=6，设AP=x，则 PB=AP2+AB2=x2+64，∵∠EGB=∠A=90°，∠EBG=∠PBA，∴△EBG∽△ABP， ∴PBBE=BGAB=EGAP，即x2+646=BG8=EGx，解得：BG=4x2+643，EG=xx2+646∴PG=x2+64+4x2+643∵tan∠BPE=15，∴EGPG=xx2+646x2+64+4x2+643=15，解得：x=2.8，∴DP=3.2；当点E、F在点B右侧时，点P在点D上方时，过点E作EG⊥BP，同理解得：PA=2.8<6，故不存在；综上可得：DP的长为6−23或3.2.【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC=6，利用勾股定理可得BD，当点E为AB的中点时， AE=BE=4，AE=DF=4，则BF=6，过点F作FG⊥AB，EH⊥BD，连接EF，则△ABD∽△GBF，△ABD∽△HBE，根据相似三角形的性质可得EH、FG，利用勾股定理求出BH，然后求出FH，再根据三角函数的概念进行计算；（2）当点E在线段AB上时，F在线段BD上时，设AE=x，则BE=8-x，DF=x，BF=10-x，①当BE=BF时，无解；②当BF=EF时，过点E作EH⊥AB，证明△FBH∽△DBA，根据相似三角形的性质可得BH，然后表示出BE、AE，据此可求出x的值；③当BE=EF时，过点E作EG⊥BD，证明△ABD∽△GBE，然后根据相似三角形的性质可得x；同理可求出当点E在射线AB上时，F在线段BD上，对应的x的值；当点E在射线AB上时，F在射线BD上时， 同理求解即可；（3）当点E、F在点B左侧，点P在点D下方时，过点B作BG⊥PE，则DF=AE=6，BE=2，设AP=x，则PE=x2+36，证明△EBG∽△EPA，根据相似三角形的性质可得BG、EG，然后表示出PG， 根据三角函数的概念可得x的值，进而可得DP；点P在射线点D上方时，过点B作BG⊥PE，同理可得PA的值；当点E、F在点B右侧时，点P在点D下方时，过点E作EG⊥BP，同理求解即可.当点E、F在点B右侧时，点P在点D上方时，同理求解即可.18．（2023九上·桂平期末）综合与时间问题情境：如图1，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E分别作AC，BE的垂线，分别交直线BC，CD于点F，G.试猜想线段BF和CG的数量关系，并加以证明.（1）数学思考：请解答上述问题.（2）问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，其他条件不变.若AB=6，BC=8，求BFCG的值.（3）问题拓展：在（2）的条件下，当点E为AC的中点时，请直接写出△CEG的面积.【答案】（1）解：BF=CG，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，AB=CB=CD=AD，∴∠BAC=∠ACB=45°，∠ACD=∠DAC=45°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°，∴∠EFC=90°−∠ACF=90°−45°=45°，∴∠EFC=∠ECF=∠ECG，∴EF=EC，∵BE⊥EG，∴∠BEG=90°，∴∠BEG=∠FEC，∴∠BEC+∠CEG=∠BEC+∠FEB，∴∠FEB=∠CEG，在△BEF和△GEC中，∠EFB=∠ECGEF=EC∠FEB=∠CEG∴△BEF≌△GEC(ASA)，∴BF=CG.（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°，∴∠BCE+∠EFB=90°，∠FEB+∠BEC=90°，∴∠EFB=∠ECG，又∵BE⊥EG，∴∠CEG+∠BEC=90°，∴∠FEB=∠CEG，∴△BFE∽△GCE，∴BFCG=EFEC，∵在Rt△ABC中，tan∠ACB=ABBC=68=34，∴在△CEF中，tan∠ECF=34，∴BFCG=EFEC=34.（3）218【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（3）连接BD，交AC于E，过点E作EH⊥BC于H，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形，且对角线AC交BD于E，∴AE=CE=BE=DE，∠ABC=90°，∴BD=BC2+CD2=62+82=10，∴BE=CE=12BD=5，∴∠EBC=∠ECB，又∵BE⊥GE，EF⊥CE，∴∠BEG=∠CEF=90°，∴∠EBC+∠EGB=90°，∠ECB+∠EFC=90°，∴∠EFC=∠EGB，∴EF=EG，∴FH=GH，又∵∠BAC=∠ACB=90°，∴∠BAC=∠EFC，∠ACB=∠FCE，∴△ABC∼△FEC，∴ACFC=BCEC，即10FC=85，ABFE=BCEC，即6FE=85，∴FC=254，FE=154，又∵点E是AC的中点，且EH⊥BC，∴EH是△ABC的中位线，∴EH=12AB=3，∴FH=EF2−EH2=(154)2−32=94，∴GF=2FH=184，∴CG=CF−GF=254−184=74，∴S△CGE=12CG⋅EH=12×74×3=218. 【分析】（1）BF=CG.理由：由正方形的性质可得∠ABC=∠D=90°，AB=CB=CD=AD，从而推出∠FEB=∠CEG，根据ASA证明△BEF≌△GEC，利用全等三角形的性质可得BF=CG； （2）根据两角分别相等证明△BFE∽△GCE，可得BFCG=EFEC，由tan∠ACB=ABBC=34，继而得出结论； （3）连接BD，交AC于E，过点E作EH⊥BC于H，利用勾股定理求出BD=10，根据矩形的性质可得BE=CE=12BD=5，再证△ABC∼△FEC，可得ACFC=BCEC=ABEF，据此求出FC，EF的长，根据三角形中位线定理可得EH=12AB=3，利用勾股定理求出FH的长，从而求出GF的长，根据CG=CF-GF可可求出CG的长，再利用三角形的面积公式即可求解.