湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.2 正切优秀课后作业题

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一、选择题
1．（2023八下·鄠邑期末）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠B=15°，CD是腰AB上的高，则CD的长（ ）
A．4B．2C．12D．1
2．（2023·包头）下图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则csα的值为（ ）
A．34B．43C．35D．45
3．（2023·农安模拟）如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.4米，则铁塔的高BC为（ ）
A．(1.4+100tanα)米B．(1.4+100tanα)米
C．(1.4+100sinα)米D．(1.4+100sinα)米
4．（2023·九台模拟）已知，如图，点A是直线y=2x(x>0)上一点，过点A作x轴平行线，与反比例函数y=kx(x>0)交于点B，以AB为边向下作△ABC，点C恰好在x轴上，且∠ACO=30°，∠ABC=45°，若△ABC的面积为23+2，则k的值为（ ）
A．43+6B．2C．2D．42+8
5．（2023·嘉兴）如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB=3，BC=4，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．
则DH的长为（ ）
A．32B．85C．53D．95
6．（2023八下·海南期中）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点A，B，C都在网格的格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．AB=5B．AC=5C．BC=25D．∠ACB=30°
7．（2023八下·深圳期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED′′，使得EA′恰好经过BD′的中点F.设A′D′′交AB于点G，连接AA′.有如下结论：①α=75°；②A′F的长度是6−2；③∠A′AF=7.5°；④△AA′F~△EGF.上述结论中，正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2023·黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，BD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧交于点P，作射线BP，过点C作BP的垂线分别交BD，AD于点M，N，则CN的长为（ ）
A．10B．11C．23D．4
二、填空题
9．（2023·牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A(1，0)，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 ．
10．（2023·菏泽）计算：|3−2|+2sin60°−20230= ．
11．（2023·山西）如图，在▱ABCD中，∠D=60°．以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A，E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点F，则OFOE的值为 ．
12．（2023八下·金平期末）如图，在Rt△ABC中，斜边AB=4，∠BAC=30°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、点D，连接BD，点M，N分别是BD和BC上的动点，则CM+MN的最小值是 ．
13．（2023八下·上虞期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点E在边AC上，AE=BC=2，将△BCE沿BE折叠至△BC′E，当C′E∥CD时，则BE= ．
三、解答题
14．（2023·广东模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC ，垂足是点D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值．
15．（2023·松北模拟）先化简，再求代数式(1x+1−1x−1)÷x+1x2+2x+1的值，其中x=3tan30°+2cs45°．
四、综合题
16．（2023八下·德清期末）已知菱形ABCD和等边△CEF，∠ABC=60°，
（1）当E，F分别在CA，CB的延长线上时(如图1)，连结AF，DE.
①求证：AF=DE：
②连结DF，交AB于点N(如图2)，取AE的中点M，连结MN.若AE=4C=3，求MN的长：
（2）当点F在DA的延长线上时(如图3)，连结AE，DE，分别取AE，DF的中点M，N，连结MN.若AC=2，CE=19，求MN的长，
17．（2023八下·龙岗月考）数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个30°，45°的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=30°，AD=2．
（1）如图1，将一个与△ABD全等的△CDB沿较长的直角边重合，拼成一个四边形ABCD．
①求证：四边形ABCD是平行四边形；
②连接AC交BD于点O，求△AOD的面积；
（2）在（1）的条件下，将一条直角边与AC重合的等腰直角三角形卡片ACE(∠ACE=90∘)与四边形ABCD拼成如图2所示的平面图形，请求出点E到AB的距离；
（3）一个斜边长度与AD相等的30°三角板ADE（∠E=90°，∠ADE=30°）如图3摆放，将△ADE绕点Ａ顺时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，△ADE旋转后的三角形记为△AD′E′．在旋转过程中，直线D′E′所在的直线与直线BD，AB交于P，Q两点，当△BPQ为等腰三角形时，请直接写出E′Q的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=15°，
∴∠B=∠BCA=15°，
∴∠CAD=∠B+∠BCA=30°，
∴CD=12AC=2.
故答案为：B.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠BCA=15°，根据三角形外角的性质可得∠CAD=∠B+∠BCA=30°，由含30°角的直角三角形的性质就可求出CD的长.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵小正方形的面积为1， 大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长是1，大正方形的边长是5，
设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，
由勾股定理得，a2+（a+1）2=52，
解得，a1=3，a2=-4（舍去），
∴a=3，
∴csα=45.
故答案为：D.
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为ā+1，利用勾股定理得到关于a的方程，解方程求出直角三角形的两个直角边的长，最后根据锐角三角函数的定义可求出csα的值.
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
由矩形的性质得AD=CE=1.4，AE=CD=100，
∴tanα=BEAE，
∴BE=100tanα，
∴BC=(1.4+100tanα)，
故答案为：A
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，先根据矩形的性质得到AD=CE=1.4，AE=CD=100，再根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作DC⊥AB于点D，设DC=m，
∵∠ACO=30°，AB平行x轴，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∴tan∠CAB=CDAD，
∵∠ABC=45°，
∴CD=BD=m，
∴BA=3+1m，S△ABC=12×3+1m×m=23+2，
∴m=2，
∴A（1，2），B（23+3，2），
∴k=43+6，
故答案为：A
【分析】过点C作DC⊥AB于点D，设DC=m，先根据平行线的性质得到∠OCA=∠BAC=30°，再根据锐角三角函数的定义结合等腰三角形的性质、三角形的面积公式即可得到BA=3+1m，S△ABC=12×3+1m×m=23+2，进而即可得到m的值，再而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点E作EG⊥BD于点G，
由折叠可得BE=EC=EH=12BC=2，
∴△BEH为等腰三角形，
∴BG=GH.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AB=CD=3，
∴tan∠DBC=CDBC=EGBG=34，
设EG=3x，则BG=4x.
∵在Rt△BEG中，EG2+BG2=BE2，
∴9x2+16x2=4，
解得x=25，
∴BG=4x=85，
∴BH=2BG=165.
∵BC=4，CD=3，
∴BD=BC2+CD2=5，
∴DH=BD-BH=5-165=95.
故答案为：D.
【分析】过点E作EG⊥BD于点G，由折叠可得BE=EC=EH=12BC=2，则△BEH为等腰三角形，BG=GH，根据矩形的性质可得∠C=90°，AB=CD=3，利用勾股定理可得BD的值，根据锐角三角函数的概念可得tan∠DBC=CDBC=EGBG=34，设EG=3x，则BG=4x，在Rt△BEG中，由勾股定理可得x的值，据此可得BG，然后求出BH，再根据DH=BD-BH进行计算.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：AB=22+12=5，AC=32+42=5，BC=22+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°，
∴sin∠ACB=ABAC=55.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可得AB、AC、BC的值，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠B=90°，利用三角函数的概念求出sin∠ACB的值，据此判断.
7．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】 【解答】解：由折叠可知∠D=∠ADE'=90°，AD=AD'. ∴四边形ABCD为正方形，得到：AD'=AD=DE'=DE=3，AE=2AD=6，∠EAD'=AED'=45°，∠AEA'=45°.
tan∠FED=D'ED'F=13=33.
∴∠AEF=45°+30°=75°，故①正确.
∵D'B=2，∴点F为BD'的中点，DF'=BF=1，得到EF=2.
将△AED′绕点E顺时针旋转α.
∴AE＝A'E＝6，∠D'ED''＝a，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，A'F=6-2，故②正确.
∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°.
∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°.
∴∠A'AF＝7.5°，故③正确.
∵D'E＝D''E，EG＝EG.
∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL）.
∴∠D'GE＝∠D''GE.
∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝=75°+30°=105°.
∴∠D'GE＝12∠AGD'=52.5°＝∠AA'F.
又∵∠AFA'＝∠EFG.
∴△AFA'∽△EFG，故④正确.
故答案为：D.
【分析】①选项运用图形的折叠知道角相等、线段相等，由题意可知能够得到∠FED的正切值，计算出角AEF的度数，②根据翻折得到线段AE的长度，利用正方形的性质得到AF的长度，③利用正方形的性质与判定，求出其他各个角度，再用角的转化，求出∠A'AF度数④需要证明两个Rt△ED'G≌Rt△ED''G直角三角形全等，角相等，再利用相似三角形的性质得出△AFA'∽△EFG相似.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过R作RK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，∠BCD=90°.
∵CN⊥BM，
∴∠CMB=∠CDN=90°，
∴∠CBM+∠BCM=90°，∠BCM+∠DCN=90°，
∴∠CBM=∠DCN，
∴△BMC∽△CDN，
∴BMCD=BCCN，
∴BM·CN=CD·CB=12.
∵∠BCD=90°，CD=3，BC=4，
∴BD=5.
由作图可得BP平分∠CBD.
∵RK⊥BD，RC⊥BC，
∴RK=RC.
∵S△BCD=S△BDR+S△BCR，
∴12×3×4=12×5·RK+12×4×RC，
∴RC=RK=43，
∴BR=BC2+RC2=4103.
∵cs∠CBR=BMBC=BCBR，
∴BM4=44103，
∴BM=6105，
∴CN·BM=12，
∴CN=10.
故答案为：A.
【分析】过R作RK⊥BD于点K，由矩形的性质可得​​​​​AB=CD=3，∠BCD=90°，根据同角的余角相等可得∠CBM=∠DCN，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BMC∽△CDN，根据相似三角形的性质可得BM·CN=CD·CB=12，由勾股定理可得BD=5，由作图可得BP平分∠CBD，则RK=RC，根据S△BCD=S△BDR+S△BCR结合三角形的面积公式可得RC=RK=43，由勾股定理可得BR，利用三角函数的概念可得BM，据此求解.
9．【答案】(1−3，3)或(1+3，−3)
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，AB=2，A（1，0），∠DAB=60°，
∴AD=AB=BC=CD=2，AB边上的高为2×sin60°=3，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±3，
∴C1的坐标为（1-3，3）或（1+3，-3）.
故答案为：（1-3，3）或（1+3，-3）.
【分析】由菱形的性质可得AD=AB=BC=CD=2，根据三角函数的概念可得AB边上的高为2×sin60°=3，据此不难得到点C1的坐标.
10．【答案】1
【知识点】零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得|3−2|+2sin60°−20230=2-3+2×32-1=1，
故答案为：1
【分析】根据绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂进行运算，进而即可求解。
11．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义；作图-角的平分线
【解析】【解答】解： 在▱ABCD中，∠D=60° ，AD∥BC，
∴∠ABC=∠D=60°，
由作图知AB=BE，BP平分∠ABE，
∴△ABE是等边三角形，∠ABO=∠EBO=30°，
∴AO=BO，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBO=30°，
在Rt△FAO中，∠AFO=30°，
∴tan∠AFO=tan30°=AOOF=33，
∴OF：OE=OF：OA=3；
故答案为：3.
【分析】由平行四边形的性质可得∠ABC=∠D=60°，AD∥BC，结合作图可得∠ABO=∠EBO=30°，AO=BO，由平行线的性质可得∠AFB=∠EBO=30°，根据tan∠AFO=tan30°=AOOF=33即可求解.
12．【答案】3
【知识点】垂线段最短；三角形全等的判定；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接EM，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°.
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=30°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
∴BD为∠ABC的平分线，
∴DE=DC.
∵DE=DC，∠ABD=∠DBC=30°，∠DEB=∠C=90°，
∴△BED≌△BCD（AAS），
∴BC=BE.
∵BC=BE，∠EBD=∠DBC，BM=BM，
∴△BEM≌△BCM（SAS），
∴CM=EM，
∴CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，
∴EN=BE·sin60°=2×32=3.
故答案为：3.
【分析】连接EM，由内角和定理可得∠ABC=60°，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，则∠ABD=∠A=30°，∠ABD=∠DBC=30°，推出BD为∠ABC的平分线，得到DE=DC，利用AAS证明△BED≌△BCD，得到BC=BE，然后利用SAS证明△BEM≌△BCM，得到CM=EM，则CM+MN=EM+MN，故当E、M、N共线，且EN⊥BC时，取得最小值EN，接下来根据三角函数的概念计算即可.
13．【答案】2103
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长C′E交BC的延长线于点F，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠DCB=∠DBC.
∵C′E∥CD，
∴∠F=∠DCB，
∴∠F=∠DBC.
设CE=x，则AC=x+2.
由折叠得BC′=BC=2，C′E=CE=x，
∵tanF=tan∠ABC，
∴CECF=ACBC，
∴xCF=x+22，
∴CF=2xx+2，
∴BF=BC+CF=4x+4x+2.
∵sinF=CEEF=BC′BF，
∴xEF=24x+4x+2，
∴EF=2x2+2xx+2.
∵CE2+CF2=EF2，
∴x2+(2xx+2)2=(2x2+2xx+2)2，
∴x=23，
∴BE=BC2+CE2=(23)2+22=409=2103.
故答案为：2103.
【分析】延长C′E交BC的延长线于点F，由直角三角形斜边上中线的性质可得CD=AD=BD，则∠DCB=∠DBC，由平行线的性质可得∠F=∠DCB，则∠F=∠DBC，设CE=x，则AC=x+2，由折叠得BC′=BC=2，C′E=CE=x，根据三角函数的概念可得CF、EF，然后在Rt△CEF中，根据勾股定理可得x的值，接下来在Rt△BCE中，利用勾股定理就可求出BE的值.
14．【答案】解：在Rt△ABD中，tan∠BAD=BDAD=34
∴BD=AD·tan∠BAD=12×34=9
∴AC=AD2+CD2=122+52=13，
∴sinC=ADAC=1213
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义，直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值；直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与直角三角形斜边的比值；直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方的和。
15．【答案】解：(1x+1−1x−1)÷x+1x2+2x+1
=[x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)]⋅(x+1)2x+1
=−2(x+1)(x−1)⋅(x+1)2x+1
=−2x−1，
∵x=3tan30°+2cs45°=3×33+2×22=3+1，
∴原式=−23+1−1=−233．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法化简，再求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
16．【答案】（1）解：①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC
∵∠ABC=60°
∴△ABC是等边三角形
∴AC=BC=CD=AD
∵△CEF是等边三角形，
∴∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC .
∴△FCA≌△ECD
∴AF=ED
②连结EB，
∵AE=AC=3，CE=CF， CA=CB=AD
∴AD=BF=BC=3， CE=6
∵AD// BC
∴∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN
∴△AND≌△BNF
∴AN=BN
∵M是AE中点
∴MN是△EAB的中位线
∴MN=12EB，
∵△CEF是等边三角形，BF=BC
∴BE⊥FC，
∴EB=CE2−BC2=33
∴MN=332
（2）解：过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，
∵△ACD是等边三角形，
∴CG=32AC=3，AG=12AD=1
∴FG=CF2−CG2=(19)2−(3)2=4
∵∠FCE=∠ACD=60°
∴∠FCA=∠ECD
又∵CA=CD，CF=CE，
∴△FCA≌△ECD
∴AF= DE
∵QM是△EFA的中位线，QN是△EFD的中位线
∴QM=12AF， QN=12DE
∴QM=QN
∵∠F4C=∠EDC=180°-∠CAD=120°
∴∠FDE= 120°-∠ADC=60°
∵QN// DE
∴∠FNQ=∠FDE=60°
∵QM// AF
∴∠MQN=∠FNQ=60°
∴△QMN是等边三角形，
∴MN=QM=12AF=32
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）①由菱形的性质可得AB=BC，则△ABC是等边三角形，AC=BC=CD=AD，∠FCA=∠ECD=60°，FC=EC ，利用SAS证明△FCA≌△ECD，据此可得结论；
②连结EB，易得AD=BF=BC=3， CE=6，由平行线的性质可得∠DAN=∠FBN，∠ADN=∠BFN，利用ASA证明△AND≌△BNF，得到AN=BN，由题意可得MN是△EAB的中位线，则MN=12EB，由等边三角形的性质可得BE⊥FC，利用勾股定理可得EB，据此解答；
（2）过点C作CG⊥AD于点G，取EF的中点Q，连结QM，QN，由三角函数的概念可得CG、AG，由勾股定理可得FG，利用SAS证明△FCA≌△ECD，得到AF= DE，根据中位线的性质可推出QM=QN，由平行线的性质可得∠FNQ=∠FDE=60°，∠MQN=∠FNQ=60°，推出△QMN是等边三角形，据此求解.
17．【答案】（1）解：①由题意可知：△ABD≌△CDB，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
②∵∠ADB=90°，∠ABD=30°，AD=2，
∴BD=23，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=12BD=3，
∴S△AOD=12×2×3=3
（2）解：过点C作CM⊥AB交AB于点M，作EN⊥CM，交MC延长线于点N，如图，
∵等腰Rt△ACE，
∴AC=CE，∠ACE=90°=∠M=∠N ，
∵∠1+∠2=∠1+∠ACM=90°，
∴∠2=∠ACM，
∴△ACM≌△CEN(AAS)，
∴AM=CN
∵四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ADB=90°，∠ABD=30°，AD=2，
∴∠DCB=∠DAB=60°，AD=BC=2，
∴∠BCM=90°−60°=30°，
∴BM=1，CM=3，
又∵AB=2AD=4，
∴AM=CN=4+1=5，
即点E到AB的距离为：5+3．
（3）解：33，2+3或2−3
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（3）33，2+3或2−3．
①当QP=QB时，
∵∠QPB=∠B=30°，
∴∠AQP=60°，
∵AD=2，∠E=90°，∠ADE=30°，
∴AE=1，
由旋转性质可得：AE'=AE=1，
即E’Q=AE'3=13=33；
②当BQ=BP时，
∵∠ABD=30°，
∴∠2=∠BQP=∠BPQ=12∠ABD=15°，
∵∠E′D′A=30°，
∴∠1=30°−15°=15°=∠2，
∵AD=2，
∴AD′=QD′=2，
∴E′Q=3+2．
③当BQ=BP时，
∵∠ADE=30°，∠ABD=30°，
∴∠B=∠AD'E'，
∵∠BQP=∠AQD'，
∴△BQP∼△AQD'，
∴∠BPQ=∠BQP=∠D'QA=∠D'AQ，
∵AD=2，
∴D'A=D'Q=2，
∴E'Q=2−3．
④当PB=PQ时，此时α=180°，所以不需要讨论．
【分析】）（1）①由题意可知△ABD≌△CDB，则AD=BC，AB=CD，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
②易得BD=23，根据平行四边形的性质可得OD=12BD=3，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，作EN⊥CM，交MC延长线于点N，由等腰直角三角形的性质可得AC=CE，∠ACE=90°=∠M=∠N，利用AAS证明△ACM≌△CEN，得到AM=CN，易得BM、CM的值，然后求出AB，据此解答；
（3）①当QP=QB时，∠QPB=∠B=30°，∠AQP=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得AE=1，由旋转性质可得AE′=AE=1，然后根据三角函数的概念可得E′Q；②当BQ=BP时，∠2=∠BQP=∠BPQ=15°，∠1=∠2，AD′=QD′=2，据此求解；③当BQ=BP时，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BQP∽△AQD′，则∠BPQ=∠BQP=∠D′QA=∠D′AQ，据此求解.