安徽省芜湖市沈巷中学2023-2024学年高二上学期12月考试数学试题

这是一份安徽省芜湖市沈巷中学2023-2024学年高二上学期12月考试数学试题，共17页。试卷主要包含了1；考试时间等内容，欢迎下载使用。
（考试范围：选择性必修第一册和第二册4.1；考试时间：120分钟）
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数列，，，，…的第10项是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过分析可知该数列的奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数或分母比分子大1，即可得到通项公式.
【详解】观察数列的前四项可知，该数列奇数项的符号为正号，偶数项的符号为负号；
而分子为偶数2n（n为项数），分母为奇数或分母比分子大1，
故可得通项公式为：，所以.
故选：C.
【点睛】本题考查了根据数列的特点经过分析观察猜想归纳得出数列的通项公式，考查逻辑思维能力和分析能力，属于基础题.
2. 经过点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ）条.
A. 0B. 1C. 2D. 3更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【答案】C
【解析】
【分析】讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0，结合直线的截距式方程求解，即可得答案.
【详解】若直线经过原点，则，在坐标轴上的截距均为0，符合题意，
若截距均不为0，则设直线方程为，将代入得，
此时直线方程为，符合题意；
即经过点，并且在两坐标轴上截距相等的直线有2条
故选：C.
:
3. 已知数列{an}中，，，则的值为
A. 49B. 50C. 51D. 52
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：∵，∴an+1−an＝，
则数列{an}构成以为公差的等差数列，又a1=2，∴a101＝a1+(101−1)×=2+100×＝52．
故选D．
考点：数列递推关系式；等差数列的通项公式．
4. 已知点，，则线段的垂直平分线所在的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两直线垂直的斜率关系和点斜式方程即可求解.
【详解】线段的中点为，
的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
所以由点斜式即，
故选：B.
5. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线方程可得准线为,设圆心为,则,又圆心在抛物线上,可得,即可求得圆心及半径,进而求解.
【详解】由题,抛物线的准线为,
设圆心为,所以且,解得,,
所以,所以圆的方程为,
即,
故选:D
【点睛】本题考查求圆的方程,考查抛物线的几何性质的应用.
6. 过椭圆中心的直线与椭圆交于、两点，右焦点为，则△的最大面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：已知点O为线段已知AB的中点，所以可设A（）、B（），且A、B两点到x轴的距离均为，则．显然，当弦AB与短轴重合，即时，三角形的面积最大，且最大值为．故选C．
考点：直线与椭圆的综合问题．
【思路点睛】（1）求三角形面积的灵活性，①面积公式的选取；②转化法求面积；本题求三角形面积就结合条件转化为的面积的二倍．（2）直线与椭圆的综合问题，常将直线方程与椭圆方程联立求解，但应注意对题中条件从定义、从几何性质方面充分分析，可能会简化运算、降低试题难度．如本题从椭圆的图像可知，当弦AB与短轴重合时，找到了高的最大值，从而得解．
7. 如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论错误的是
A.
B. 直线、所成的角为定值
C. ∥平面
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】B
【解析】
【详解】在A中，∵正方体
∴AC⊥BD，AC⊥，
∵BD∩=B，∴AC⊥平面，
∵BF⊂平面，∴AC⊥BF，故A正确；
在B中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，因为当F与重合时，令上底面顶点为O，点E与O重合，则此时两异面直线所成的角是;当E与重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值.故B错误
在C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；
在D中，∵AC⊥平面，∴A到平面BEF的距离不变，
∵B到EF的距离为1，,∴△BEF的面积不变，
∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故D正确；
点睛：解决此类题型的关键是结合空间点线面的位置关系一一检验.
8. 历时天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中年月日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点，若其近月点(离月球表面最近的点)与月球表面距离为公里，远月点(离月球表面最远的点)与月球表面距离为公里，并且，，在同一直线上．已知月球的半径为公里，则该椭圆形轨道的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为 ，则 ，进而可求解.
【详解】由已知可得卫星的近地点、远地点离地心的距离分别为
设轨道的标准方程为
所以
解得，
所以椭圆形轨道的离心率为
故选：B
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 若数列的前项分别为，，，，则这个数列的通项公式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】把，，，分别代入A、B、C、D四个选项，即可判断.
【详解】对于A，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；
对于B，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；
对于C，当，，，时，分别对应的是，，，，正确；
对于D，，，
，，错误.
所以这个数列的通项公式可能是ABC.
故选：ABC
10. 已知曲线C的方程为则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线C为圆
B. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C. “”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件
D. 存在实数使得曲线C为双曲线，其离心率为
【答案】AC
【解析】
【分析】
对A，代入即可判断；对B，代入即可求出渐近线进行判断；对C，求出曲线C表示椭圆对于的的范围即可判断；对D，可知离心率为的双曲线为等轴双曲线.
【详解】对于A，当时，曲线C的方程为表示圆，故A正确；
对于B，当时，曲线C的方程为表示焦点在y轴上的双曲线，渐近线为，故B错误；
对于C，若曲线C表示椭圆，则，解得的范围为，所以“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，若曲线C为双曲线，则，解得或，若离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即，无解，故不存在这样的实数k.
故选：AC.
【点睛】本题考查对椭圆双曲线标准方程的理解，解题的关键是清晰知道椭圆双曲线标准方程的形式可对应的范围.
11. 已知抛物线：，若直线被抛物线所截弦长为，则（ ）
A. 抛物线的焦点坐标为B. 抛物线的准线方程为
C. 抛物线的方程为D. 抛物线的方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知及抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，两点间的距离公式的计算，得求出的值，求出抛物线方程，求出焦点坐标和准线方程可得答案．
【详解】由，可得或，
所以直线与抛物线的交点坐标为和，
所以，
解得负值舍去，
故抛物线的方程为，焦点坐标为，准线方程为．
故选：AC.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是
A. 异面直线AC与所成的角为60°
B. 直线与平面成角为45°
C. 二面角的正切值为
D. 四面体的外接球的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球.
【详解】如图所示，连接，
对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确；
对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误；
对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确；
对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 数列满足，，则______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由题意，可得数列的最小正周期为，即可求出结果．
【详解】由题意，数列满足，，
所以，得，由，得，
由，得，
所以为，
数列的最小正周期为，
故.
故答案：．
14. 直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由于直线恒过，所以当直线与定点和圆心连线的直线垂直时，取得最小值，从而可求出的值
【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所以定点与圆心的距离为：，
所以则的最小值为：，
此时直线与定点和圆心连线直线垂直．可得．
故答案：．
15. 直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，已知，则线段的中点到准线的距离为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，设点坐标为，进而可得直线方程，把点代入可求得点坐标，进而根据抛物线的定义，即可求得答案．
【详解】由题意，抛物线知，
设点坐标为，由直线过焦点，所以直线的方程为，
把点代入上式得，
解得，所以，
所以线段中点到准线的距离为，
故答案为.
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的关系的应用，其中解答中涉及抛物线的焦点弦的问题时，常常利用抛物线的定义来解决，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.
16. 已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的说法的序号是__________．
【答案】①②③
【解析】
【详解】 由,
在①中，，所以，所以，所以是正确的；
在②中，，所以，所以，所以是正确的；
在③中，由于，，且，可知是平面的法向量，所以是正确的；
在④中，,
假设存在实数使得，则，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到空间向量的数量积的运算，空间向量的坐标表示，平面法向量的概念，同时考查了向量垂直、向量平行等基础知识，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题，解答中熟记向量的坐标运算的基本公式是解答的关键.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线经过点和点，直线的方程为.
（1）直线经过定点吗？若过定点，请求出该定点.
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）直线经过定点；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线过定点的知识即可求解；（2）根据两条直线的位置关系的垂直关系斜率之间的关系和点斜式即可求解.
【小问1详解】
直线经过定点，理由如下：
直线可以化简成，
则有，解得，
直线经过定点；
【小问2详解】
设直线和直线斜率分别是，，
直线经过，两点，
直线的斜率，
又
则直线的斜率，
根据点斜式直线的方程为，
直线的方程为.
18. 已知数列前N项和公式为，
（1）写出通项公式；
（2）当n为何值时，有最小值，并求最小值.
【答案】（1）（2）当n=6时，有最小值，
【解析】
【详解】解:(1)
解得
(2) ，所以是以首项为-23公差为4的等差数列，
当n=6时，有最小值，
即
19. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线的另一个交点为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程.
（2）求得直线的方程，结合弦长公式以及点到直线距离公式求得.
【小问1详解】
由于，根据抛物线的定义可知，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
由，令，得，不妨设，即，
焦点，所以直线的方程为，
到直线的距离为.
由得，，
设，则，
所以，
所以.
20. 已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求弦的中点坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率和短轴的一个端点到右焦点的距离，求出，进而求出，得到椭圆方程；
（2）由点斜式得直线方程，与椭圆方程联立化为，由韦达定理可得，再利用中点坐标公式即可得出．
【小问1详解】
由题意可得：，且，即，
故，，
故椭圆的标准方程为：．
【小问2详解】
由点斜式得直线方程为，设直线与椭圆相交于点，
联立，化为，，
由韦达定理可得，故中点横坐标，
代入直线方程可得中点纵坐标．
弦的中点坐标为．
21. 已知双曲线的渐近线方程为，其右焦点到渐近线的距离为，点为双曲线右支上一动点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)利用给定条件可得，再利用焦点到渐近线距离求出c即可计算作答.
(2)由(1)可得，求出，的坐标，再用数量积的坐标运算结合二次函数性质计算作答.
【小问1详解】
因双曲线的渐近线，则，
而右焦点到的距离为，则，解得：，又，于是得，
所以双曲线C的标准方程为.
【小问2详解】
由(1)知，，，，，
则，
所以当时．取得最小值为.
22. 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E为BB1延长线上的一点,D1E⊥平面D1AC.
(1)求二面角E-AC-D1的大小;
(2)在D1E上是否存在一点P,使A1P∥平面EAC?若存在,求D1P∶PE的值;不存在,说明理由.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）设AC与BD交于O,以O为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，用坐标分别表示有关向量，分别求平面EAC和平面D1AC的法向量，利用数量积公式，可求二面角的平面角或期补角．
（2）设在D1E上存在一点P,使A1P∥平面EAC，则有=λ=λ()，，而，结合（1），有与平面EAC的法向量垂直，建立方程，可求λ，问题得解．
【详解】(1)设AC与BD交于O,如图所示建立空间直角坐标系Oxyz,设AB=2,
则A(,0,0),B(0,1,0),C(-,0,0),D(0,-1,0),D1(0,-1,2),
设E(0,1,2+h),则=(0,2,h),=(2,0,0),=(,1,-2),
∵D1E⊥平面D1AC,∴D1E⊥AC,D1E⊥D1A.
∴2-2h=0,∴h=1,即E(0,1,3).
∴=(0,2,1),=(-,1,3).
设平面EAC的法向量为m=(x,y,z),
则由令z=-1,
∴平面EAC的一个法向量为m=(0,3,-1).
又平面D1AC的法向量为=(0,2,1),
∴cs=,
∴二面角E-AC-D1的大小为45°.
(2)设=λ=λ(),
得,
∴=(-,-1,0)+.
∵A1P∥面EAC,∴⊥m.
∴-×0+3×+(-1)×=0,
∴λ=.
∴存在点P使A1P∥平面EAC,此时D1P∶PE=3∶2.
【点睛】本题考查了二面角的求法，线面平行关系，涉及计算说明，属于中档题．立体几何中“是否存在类问题”的解答有两种方式：一是先根据条件作出判断，再结合问题进行说明；二是借助空间向量计算，先假设情况存在，并设出点的坐标，根据条件建立关系并求出点的坐标（参数表示），再结合问题建立关系（含参数的方程），如果有解，则存在，否则，不存在．