厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测数学试卷(含答案)

这是一份厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期10月阶段性检测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、过,两点的直线的倾斜角是( )
A.B.C.D.
2、如果存在三个不全为零的实数x,y,z,使得,则关于,,( )
A.两两相互垂直B.只有两个向量互相垂直
C.共面D.有两个向量互相平行
3、“”是“直线和直线互相垂直”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4、已知,两点到直线的距离相等,则( )
A.2B.C.2或D.2或
5、已知,,是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
6、已知直线,若直线l与连接,两点的线段总有公共点,则直线l的倾斜角范围为( )
A.B.C.D.
7、如图,圆柱的轴截面为矩形ABCD,点M,N分别在上,下底面圆上,,,,,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为( )
A. B.C.D.
8、斜拉桥是鼗梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥,它由梁,斜拉索和塔柱三部分组成.如图1,这是一座斜拉索大桥,共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列.如图2,已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4m,拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚,满足,,以所在直线为x轴,所在直线为y轴,则最长拉索所在直线的斜率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知空间中三点,,,则( )
A.B.
C.D.A,B,C三点共线
10、如图,在平行六面体中,,,.若,,则( )
A.B.
C.A,P,三点共线D.A,P,M,D四点共面
11、若直线,,不能构成三角形,则m的取值为( )
A.B.C.D.
12、已知正方体的棱长为1,P是空间中任意一点.下列结论正确的是( )
A.若点P在线段上运动,则始终有
B.若点P在线段上运动,则过P,B,三点的正方体截面面积的最小值为
C.若点P在线段上运动,三棱锥体积定值
D.若点P在线段上运动,则的最小值为
三、填空题
13、写出一个截距相等且不过第三象限的直线方程______.
14、已知直线过点,它的一个方向向量为,则点到直线AB的距离为___________.
15、在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,点M,N分别为棱CD,PC的中点,平面AMN交PB于点F,则___________.
16、已知P､Q分别在直线与直线上,且,点,,则的最小值为___________.
四、解答题
17、如图,平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针顺序排列),AB,AD边所在直线的方程分别是,,且对角线AC和BD的交点为.
（1）求点A的坐标
（2）求CD边所在直线方程
18、已知向量,,.
（1）若,求的值;
（2）若,,求的值.
19、在平面直角坐标系xOy中,已知点P,B,C坐标分别为,,,E为线段BC上一点,直线EP与x轴负半轴交于点A.
（1）当E点坐标为时,求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程;
（2）求与面积之和S的最小值.
20、如图所示,直角梯形和三角形所在平面互相垂直,,,,,异面直线DE与AC所成角为,点F,G分别为CE,BC的中点,点H是线段靠近点G的三等分点.
（1）求证:A,B,F,H四点共面;
（2）求二面角的余弦值.
21、如图,在直三棱柱中,,,.M是的中点,P是与的交点,Q是上底面的动点.
（1）是否存在点Q,使得平面?若存在,请确定Q点的位置;若不存在,请说明理由;
（2）在（1）的条件下,当PQ最短时,求平面PQM与平面的夹角的余弦值.
22、已知的三个顶点分别为,,.
（1）若过的直线将分割为面积相等的两部分,求b的值;
（2）一束光线从点出发射到BC上的D点,经BC反射后,再经AC反射到x轴上的F点,最后再经x轴反射,反射光线所在直线为l,证明直线l经过一定点,并求出此定点的坐标.
参考答案
1、答案：D
解析：由已知直线的斜率为,,
所以倾斜角.
故选:D.
2、答案：C
解析：不妨设,因为,
则,故向量,,共面.
故选:C.
3、答案：B
解析：直线和直线的充要条件为即,
可以推出,但推不出,
故“”是“直线和直线互相垂直”的必要而不充分条件,
故选:B.
4、答案：D
解析：（1）若,在的同侧,
则,所以,,
（2）若,在的异侧,
则,的中点在直线上,
所以解得,
故选:D.
5、答案：C
解析：向量,,是不共面的三个向量,
对于A,,则向量,,共面,A不能构成空间基底;
对于B,,则向量,,共面,B不能构成空间基底;
对于D,,则向量,,共面,D不能构成空间基底;
对于C,假定向量,,共面,则存在不全为0的实数,,使得,
整理得,而向量,,不共面,则有,显然不成立,
所以向量,,不共面,能构成空间的一个基底,C能构成空间基底.
故选:C
6、答案：D
解析：直线,由,解得,即直线l过定点,
设直线的斜率为k,直线l的倾斜角为,则,
显然直线PA的斜率为,直线的斜率为,
由于直线l经过点,且与线段AB总有公共点,则,即,
又,于是,因此或,
所以直线l的倾斜角的取值范围是.
故选:D
7、答案：D
解析：连接DM,CM,AN,BN,BM,设,则P是BM的中点,
设Q是AB的中点,连接PQ,则,
则是异面直线AM与CN所成角或其补角.
由于,,
所以,,由于,
而AB是圆柱底面圆的直径,则,
所以,,则,,
,,而,
在三角形PQN中,由余弦定理得.
故选:D
8、答案：B
解析：如图,以O为原点建系,
根据题意,最短拉索的锚,满足,,
且均为4m,拉索下端相邻两个锚的间距均为18m,
则,即点,
同理,
又,即点,
所以,
即最长拉索所在直线的斜率为.
故选:B.
9、答案：AB
解析：易得,,,,A正确;
因为,所以,B正确,D错误;
而,C错误.
故选:AB.
10、答案：BD
解析：,A选项错误.
,B选项正确.
则P是的中点,
,
,
则不存在实数使,所以C选项错误.
,
由于P,直线AD,所以A,P,M,D四点共面,所以D选项正确.
故选:BD
11、答案：ABD
解析：因为直线,,不能构成三角形,
所以存在,,过与的交点三种情况,
当时,有,解得;
当时,有,解得;
当过与的交点,则联立,解得,代入,得,解得;
综上:或或.
故选:ABD.
12、答案：ACD
解析：
对于A:因为为正方体,所以平面,,
因为平面,所以,
因为,AB,平面,所以平面,
因为平面,所以,故A正确;
对于B:过点作,则过P,B,的截面为,
设,,则,四边形为平行四边形,,,
,
所以,
,
所以当时截面面积最小,最小为,故B错;
对于C:因为为正方体,所以,
因为平面,平面,所以平面,
所以点P到平面的距离为定值,三棱锥,即三棱锥的体积为定值,故C正确;
对于D:展开三角形和矩形得到下图:
连接,此时最小,,解得,故D正确.
故选:ACD.
13、答案：(答案不唯一)
解析：当截距相等且为0时,直线过原点,又直线不过第三象限,
则直线方程为;
当截距相等且不为0时,直线截距式方程为,又直线不过第三象限,有,
则直线方程为.
故答案为:(答案不唯一,或).
14、答案：2
解析：因为,,
点到直线AB方向上的投影为,
所以点到直线AB的距离为,
故答案为:2
15、答案：或1:12
解析：延长BC,交AM的延长线于点E,连接EN并延长,交BP于点F,连接AF,
因为M为CD中点,由三角形相似可得:,
即C为BE中点,
设
因为N是PC中点,
所以
,
因为F,N,E三点共线,所以存在a使得,即,
整理得,其中,
所以,解得:,
所以.
故答案为:
16、答案：或
解析：由直线与间的距离为得,过作直线l垂直于,如图,
则直线l的方程为:,将沿着直线l往上平移个单位到点,有,
连接交直线于点P,过P作于Q,连接BQ,有,即四边形为平行四边形,
则,即有,显然是直线上的点与点A,距离和的最小值,
因此的最小值,即的最小值,而,
所以最小值为,
故答案为:
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）AB,AD边所在直线的方程分别是,
联立两直线方程为
解得所以.
（2）解法一:A关于M的对称点为C,
又
边所在的直线方程为
即:
解法二:A关于M的对称点为C,
设CD边所在的直线方程为:
得
边所在的直线方程为
解法三:设为CD边所在的直线上的任一点,
P关于点M的对称点为,
则得
又在直线AB上,
即
边所在的直线方程为
18、答案：（1）7
（2）
解析：（1）由,则存在实数,使,即,
所以,解得,,所以.
则,所以.
（2）由,可得,即,解得,
又由,可得,解得,
当时,,,
所以.
当时,,,
所以
19、答案：（1）或或
（2）
解析：（1）令过点且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l,
当直线l过原点时,直线l在x,y轴上的截距都为0,其方程为,
当直线l不过原点时,设直线l的方程为或,于是得或,
解得或,直线l的方程为或,
所以所求方程为:或或.
（2）依题意,直线,因点E在线段BC上,则设点,,设,
,,由得:,显然,则,有,
,,
,
当且仅当,即时取等号,
所以与面积之和S的最小值.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取中点O,连接OC,OE,因为,故为锐角,
又,故即为异面直线DE与AC所成角,则,
则,即,
因为直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直,,
平面平面,平面ABDE,故平面ABC,
又,,即四边形OBDE为平行四边形,故,
所以平面ABC,
故以O为坐标原点,,,为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
由于,可得,
则,,,
则,故A,B,F,H四点共面;
（2）由于平面ABC,平面ABC,且,
,DB,平面BCD,故平面BCD,
所以可作为平面BCD的一个法向量,
设平面HCD的法向量为,
,,
则,即有,
令,则,
故,
根据原图可知二面角为锐角,
故二面角余弦值为.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为,,故为正三角形,又是的中点,
故,则以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则,,,,,故.
设,平面的法向量,
则,,,
则,即,设,则.
若平面,则,即,故,即.
故Q在中底边的中线上.
.
（2）由（1）,故,
故当时取最小值.
此时,,故,.
设平面PQM的法向量,则,即,
设,则,又平面的法向量,
故平面PQM与平面的夹角的余弦值.
22、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）直线BC的方程为:,
直线只能与BC,AB相交,其与BC的交点为Q点,
由得,,
直线与x轴交点为,,
由,即,
化简得:,又,
,解得:,
而,.
（2）设,直线AC的方程为:,直线BC的方程为:,
设关于直线AC的对称点为,
则,解得,
同理可得关于直线BC的对称点为,
则在直线ED上,所以直线ED的斜率为,
的斜率为,l方程为,即,
过定点.