吉林省长春市第一〇八学校2023-2024学年上学期九年级12月考数学试题

这是一份吉林省长春市第一〇八学校2023-2024学年上学期九年级12月考数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）
1. 将一元二次方程化为一般形式后，若常数项是1，则一次项系数为（ ）
A. B. 5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式：的二次项系数，一次项系数，常数项分别为，根据定义解答即可．
【详解】解：
移项得：
∴一次项系数为
故选：A
2. 若函数是二次函数，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．
根据二次函数的定义列出关于的方程，求出的值即可．
【详解】∵函数是二次函数，
∴， 解得，
故选：B．
3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A. B. 更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念及比例的基本性质：内项之积等于外项之积，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 描点法是画函数图象的主要方法，一般有三个步骤：列表、描点、连线．小明同学在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（ ）
A. B. 0C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据表格数据分析，即可求解．
【详解】解：根据表格数据可得当增大1时，函数值增大2，而在时，表格中的函数应为，故这个错误的函数值是；
故选：B．
5. 对于二次函数描述正确的是（ ）
A. 抛物线开口向下B. 函数有最大值是1
C. 对称轴为直线D. 顶点坐标为
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是根据二次函数的顶点式可得出函数的开口方向，对称轴和顶点．
【详解】解：二次函数的解析式为，
该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
该函数有最小值为1，
只有C选项符合题意，
故选：C．
6. 如图，的切线与相切于点和点，点为上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理；先利用切线的性质得，再利用四边形的内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理计算的度数．
【详解】连接、，
、分别与相切于、两点，
，，
，
，
，
．
故选：B．
7. 年杭州第届亚运会的三个吉祥物中谁最“活泼好动”，那一定非“宸宸”莫属． “宸宸”的纪念品销售火爆，每个纪念品的进价为元．销售期间发现，当定价为元时，每天可售出个，销售单价每降1元时，每天的销量增加个．现商家决定降价销售，每个吉祥物降价元．设每天销量为个，每天销售该纪念品获得的利润为元，则下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意正确的列等式是解题的关键．
依题意得，，，然后判断作答即可．
【详解】解：依题意得，，，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，边上有一点在反比例函数的图象上，连结并延长交轴于点，连接．若的面积是6，则的值为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例数的几何意义，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
依题意，∵是矩形，则，
∴，即，
∴，
又，
∴，
∵的面积是6，且反比例函数图象在第一象限，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共6道小题，每小题3分，共18分）
9. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根据“一元二次方程有两等根，则根的判别式”，再建立关于m的方程，求出m的取值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
∴．
故本题答案为：．
10. 将抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移，顶点坐标．熟练掌握抛物线的平移，左加右减；二次函数的顶点坐标为是解题的关键．
由题意知，平移后的抛物线解析式为，然后求顶点坐标即可．
【详解】解：由题意知，平移后的抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
故答案为：．
11. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是____．
【答案】
【解析】
【分析】先利用位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，相似比为，
与的面积之比为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
12. 如图，刻度尺的分度值为．玻璃管的内径正对“30”刻度线，正对“50”刻度线，，量得，则内径长为______．

【答案】6
【解析】
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出进而得出比例式求出答案．
【详解】解：由题意可得：∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵
∴，
解得：，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出正确比例关系是解题关键．
13. 如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理的应用，设半径为r，根据垂径定理可以列方程求解即可．
【详解】解：设圆的半径为r，
由题意可知，，
在中，，，
，
解得．
经检验：是方程的解，
故答案为：．
14. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线的对称轴上一动点，连接和，则的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，，设交抛物线对称轴于点，当与点重合时，取得最小值，最小值为，令分别求得的坐标，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，，设交抛物线对称轴于点，

∵，
∴，
∴当与点重合时，取得最小值，最小值为，
∵，当时，，则
当时，，
解得：,
∴，
∴
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．
先利用完全平方公式，平方差公式计算，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解：
，
将代入，原式．
16. 嘉淇同学解方程的过程如下表表示．
（1）嘉淇同学是用 （“配方法”、“公式法”或“因式分解法”）求解的，从第 步开始出现错误．
（2）请你用不同于（1）中的方法解该方程．
【答案】（1）配方法，二
（2）
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解方程时，注意变形时要保证等式左右两边的值不变；
（2）可使用公式法求解．
【小问1详解】
解：由解方程步骤可知：嘉淇同学是用的配方法求解
第二步等式右边没有加，出现错误
故答案为：配方法，二
【小问2详解】
解：公式法：，，．
，
，
即，．
【点睛】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
17. 中秋假期学校组织到吉林市的“研学”活动，全程千米，学生队伍从学校乘坐大巴车出发，白老师从学校自驾小轿车以大巴车1.5倍的速度追赶，追上大巴车后继续前行，结果比大巴车提前15分钟到达吉林研学基地．求大巴车的平均速度．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，解答本题的关键在于找到题目中所蕴含的等量关系，列出方程求解．根据“大巴车与小轿车行驶的路程一样，而大巴车行驶全程的时间=小轿车行驶的时间+小轿车晚出发的时间+小轿车早到达的时间”根据时间差列方程求解即可．
【详解】解：设大巴车的平均速度为，则小轿车的平均速度为，
由题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴大巴车的平均速度为．
18. 已知菱形的两条对角线交于点，，．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）若，则______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质；
（1）由两组对边平行是平行四边形可证四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，可得结论；
（2）由勾股定理可求的长，即可求解．
【小问1详解】
证明：，．
在菱形中，，
∴，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，四边形是矩形，
，
，
故答案为：．
19. 南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头距水面，水柱喷射水平距离为时，达到最大高度，此时距水面，水柱落在水面点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是．

（1）求抛物线的表达式．
（2）现调整的出水角度，其喷出的水柱高度与水平距离之间的函数关系式是，落点恰好在点右边的点处，求的长．（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用；
（1）根据顶点式求解即可；
（2）先求得的函数表示式，求出抛物线与轴的交点、的坐标，进而求解．
【小问1详解】
解：依题意，抛物线顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为，
【小问2详解】
解：∵过点
∴，
∴，
当时，，
解得：
∴
由，
解得：，
∴，
∴．
20. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

（1）在图①中边上确定一点，连接，使．
（2）在图②中边上确定一点，连接，使．
（3）在图③中确定的外接圆圆心．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查无刻度作垂直平分线，
（1）连接矩形对角线找到线段的中点，再找一点到点A和点B距离相等的点，连接交点交于点D即为所求；
（2）连接矩形对角线找到线段的中点O，再找一点到点A和点C距离相等的点M，连，接交于点D即为所求；
（3）找到中点M，连接，连接与交于点E，再找到一点P到点A和点C距离相等，连接交于点O即为所求；
【小问1详解】
解：如图，
【小问2详解】
如图，
【小问3详解】
如图，

21. 辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南果梨优惠促销活动，南果梨销售金额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．

（1）当时，求销售金额（元）与销售量（千克）的关系式;
（2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更划算．
【答案】（1）
（2）甲超市更划算
【解析】
【分析】（1）设销售金额（元）与销售量（千克）的关系式为，用待定系数法即可求解；
（2）分别计算两个超市所需费用，比较，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，当时，
设销售金额y（元）与销售量x（千克）的关系式为，
将代入得，
解得：
∴
【小问2详解】
解：依题意，甲超市：（元）
乙超市：（元）
∵
∴甲超市更划算．
22. 【问题背景】如图①，在中，，点为上任意一点，．
（1）如图①，当点分别是边上的点时，下列结论正确的是：______．
①；②；③；④．
（2）如图②，当点分别是延长线、边上的点时，与是否相似？说明理由．
（3）如图③，在（2）的条件下，连接．当______时，．
【答案】（1）②③④ （2）与相似，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理和平角的定义得到，即可证明得到，根据现有条件无法证明，据此可得答案；
（2）同（1）证明即可；
（3）根据相似三角形性质得到，，则，推出即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据现有条件无法证明，
∴正确的结论有②③④，
故答案为：②③④；
【小问2详解】
解：与相似，理由如下：
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
23. 如图，在矩形中，，点是的中点．动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，连结，以为邻边作平行四边形，过点作垂直直线，垂足为点．设点的运动时间为秒．
（1）______．（用含的代数式表示）
（2）当平行四边形是矩形时，的值为______．
（3）在的运动过程中线段始终与线段相等，请说明理由．
（4）当平行四边形被矩形某一边所在直线分成两部分的面积比为时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）或
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而根据题意列出代数式，即可求解．
（2）过点作于点，根据题意证明，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程，即可求解；
（3）证明，根据全等三角形的性质，即可求解；
（4）分两种情况同理，分别画出图形，①如图所示，设交的于点，连接，②如图所示，当平分四边形时；根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：依题意，，，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，则，，则，
∵四边形菱形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴,
解得：,
故答案为：．
【小问3详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：①如图所示，设交的于点，连接，
∴
∵平行四边形被矩形某一边所在直线分成两部分的面积比为时
∴，
∴，
∴，则，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得：；
②如图所示，当平分四边形时，如图所示，
同理可得，，
∴，
∴，
解得：,
综上所述，或时，平行四边形被矩形某一边所在直线分成两部分的面积比为．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，列代数式，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线是常数）经过点和点，与轴交于两点（点在点左侧），点在此抛物线上，横坐标为．
（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标．
（2）当点在第四象限时，求的取值范围．
（3）当点在轴下方时，抛物线在点和点之间的部分（包括两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值．
（4）点在轴上，横坐标为，当所在直线不与坐标轴垂直时，以为对角线作矩形，边在轴上．当抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大或函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）0或
（4）或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可；
（2）由题意知，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为；则，，当时，，结合二次函数的图象与性质，求解即可；
（3）由题意知，，当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求解即可；当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，即，计算求出满足要求的解即可；
（4）由以为对角线的矩形可知，轴，则，，由题意知，，即；由题意知，分当矩形在对称轴的同侧，①当矩形在对称轴的左侧时，当在点的左侧时，当在点的右侧时；②当矩形在对称轴的右侧时，当在点的左侧时，当在点的右侧时；当矩形在对称轴的两侧，当在点的左侧时，当在点的右侧时，列不等式组，画图象求解即可．
【小问1详解】
解：将，代入得，，
解得，，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为；
【小问2详解】
解：∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为；
∴，，
由函数图象可知，当点在第四象限时，求的取值范围为；
【小问3详解】
解：由题意知，，
当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，
∴，
解得，；
当时，最高点与最低点的纵坐标之差为，
∴，
解得，或（舍去）；
综上所述，的值为0或．
【小问4详解】
解：由以为对角线的矩形可知，轴，则，，
由题意知，，即；
∵抛物线在矩形内部的部分所对应的函数值随的增大而增大或函数值随的增大而减小，
当矩形在对称轴的同侧，
①当矩形在对称轴的左侧时，
当在点的左侧时，，解得，；
当在点的右侧时，，解得，；
②当矩形在对称轴的右侧时，
当在点的左侧时，，解得，，此时无解；
当在点的右侧时，，解得，，，此时无解；
当矩形在对称轴的两侧，
①当在点的左侧时，关于对称轴对称的点坐标的横坐标为，如图1，
∴，，
解得，；
当时，，如图2，此时不满足要求；
②当在点的右侧时，如图3，
∴，，
解得 ，；
当时，，如图4，此时不满足要求；

综上所述，，或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，无理数的估算，解一元二次方程，二次函数与特殊的平行四边形综合．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与特殊的平行四边形综合是解题的关键．…
0
1
2
…
…
0
3
5
…
解方程：．
解：，……第一步
，……第二步
，．……第三步