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广东省佛山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）
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这是一份广东省佛山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由集合并集的定义即可求.
【详解】由集合并集的定义可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2. 已知命题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是无理数．则 SKIPIF 1 < 0 的否定是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定知，命题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是无理数的否定是： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数.
故选：D.
3. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在第一或三象限，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在第一或三象限，
若点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内”的必要不充分条件.
故选：B
4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以 SKIPIF 1 < 0 的增长率呈指数增长，已知经过 SKIPIF 1 < 0 天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，那么经过 SKIPIF 1 < 0 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ）
A. 18倍B. SKIPIF 1 < 0 倍C. SKIPIF 1 < 0 倍D. SKIPIF 1 < 0 倍
【答案】C
【解析】
【分析】构造指数函数模型，计算即可.
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以 SKIPIF 1 < 0 的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 经过60天后该湖泊的蓝藻数量为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故选：C.
5. 函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性，再判断 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 时函数值的大小.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
故函数为奇函数，故排除A、C;
当 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 趋近于0，则 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在趋于 SKIPIF 1 < 0 时增速远比 SKIPIF 1 < 0 快，故 SKIPIF 1 < 0 趋近于0，
故当 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 趋近于0，故排除D;
故选：B
6. 甲、乙分别解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．甲抄错了常数b，得到解集为 SKIPIF 1 < 0 ；乙抄错了常数c，得到解集为 SKIPIF 1 < 0 ．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7. 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像共有n个交点： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 0B. nC. 2nD. 4n
【答案】C
【解析】
【分析】观察解析式得两个函数对称轴均为 SKIPIF 1 < 0 ，则交点也对称.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
又 SKIPIF 1 < 0 也关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
则两个函数的交点两两关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C.
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】对对数同步升幂，利用 SKIPIF 1 < 0 将对数变形，再利用中间值比较大小.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C. ab的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案;
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故A选项正确，B选项错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，ab的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
10. 在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】对ABC，由三角函数定义即可列式求解；
对D，由正切倍角公式可求解判断.
【详解】对A，由终边经过点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对BC，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B对C错；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：AB
11. 取整函数 SKIPIF 1 < 0 的函数值表示不超过x的最大整数，例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据取整函数，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B选项，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C选项，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：ABD
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】对C，由零点存在定理判断端点；
对AB，由函数单调性判断不等式；
对D，由对数运算形式分别得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），结合函数单调性即可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断.
【详解】对C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理得，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 ，C对.
对AB，由解析式知， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A错B对；
对D， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 是增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】运用指数、对数运算法则计算即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 用一根长度为4m的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角为______弧度．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，代入面积方程可计算 面积的最大值，结合取等情况可得圆心角大小.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取最大值1，
圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2.
15. 写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： SKIPIF 1 < 0 ______．
①定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；②值域为 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数三个性质，写出符合条件的函数即可.
【详解】如 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
16. 若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变形得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
详解】由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合 SKIPIF 1 < 0 ；根据交集结果可知 SKIPIF 1 < 0 ，分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下解不等式求得结果；
（2）分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下，求得 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的范围，取补集即可得到结果.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
18. 从① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知 SKIPIF 1 < 0 ，且满足______．
（1）判断 SKIPIF 1 < 0 是第几象限角；
（2）求值： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 是第二象限角
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）选择①②由平方关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可知 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，选择③利用诱导公式结合正切值的符号求解即可；
（2）选择①②由平方关系求解 SKIPIF 1 < 0 的值即可求解；选择③利用同角三角函数关系及齐次式即可求解.
【小问1详解】
选择①：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由此可知 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角．
选择②：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由此可知 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角．
选择③因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是第二象限．
【小问2详解】
选择①：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选择②：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择③：因为 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下解方程即可求得结果；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 单调性可知 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式恒成立，可知 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，分离变量可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合指数函数单调性可知 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 无解；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
（1）求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，再检验 SKIPIF 1 < 0 成立即可；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，进而根据函数单调性的定义证明即可；
【小问1详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，理由如下：
证法一： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
进而有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
证法二： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
进而有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
21. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 SKIPIF 1 < 0 ，x为道路密度，q为车辆密度， SKIPIF 1 < 0 已知当道路密度 SKIPIF 1 < 0 时，交通流量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求a的值；
（2）若交通流量 SKIPIF 1 < 0 ，求道路密度x的取值范围；
（3）求车辆密度q的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题，待定系数解方程 SKIPIF 1 < 0 即可得答案；
（2）根据题意，解不等式 SKIPIF 1 < 0 即可得答案；
（3）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，进而分段研究最值即可得答案；
【小问1详解】
解：依题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故正数 SKIPIF 1 < 0 ,所以，a的值为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，F最大为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的解集为空集；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以，交通流量 SKIPIF 1 < 0 ，道路密度x的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
解：依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，q取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以车辆密度q的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
22. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 中的最大者，设 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 零点个数．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数值域可知 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 可得结果；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 无零点；当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时，结合零点存在定理可确定 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
①若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则由（1）知： SKIPIF 1 < 0 恒成立，此时 SKIPIF 1 < 0 无零点；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点．
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】思路点睛：本题考查含参数函数零点个数的讨论，解题的基本思路是根据二次函数和对数函数的单调性，通过对参数范围的讨论，结合零点存在定理确定零点的个数.
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由集合并集的定义即可求.
【详解】由集合并集的定义可得， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
2. 已知命题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是无理数．则 SKIPIF 1 < 0 的否定是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定知，命题 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是无理数的否定是： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是有理数.
故选：D.
3. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在第一或三象限，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 在第一或三象限，
若点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内”的必要不充分条件.
故选：B
4. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以 SKIPIF 1 < 0 的增长率呈指数增长，已知经过 SKIPIF 1 < 0 天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的 SKIPIF 1 < 0 倍，那么经过 SKIPIF 1 < 0 天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（ ）
A. 18倍B. SKIPIF 1 < 0 倍C. SKIPIF 1 < 0 倍D. SKIPIF 1 < 0 倍
【答案】C
【解析】
【分析】构造指数函数模型，计算即可.
【详解】某湖泊中的蓝藻每天以 SKIPIF 1 < 0 的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，
设湖泊中原来蓝藻数量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 经过60天后该湖泊的蓝藻数量为： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.
故选：C.
5. 函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数奇偶性，再判断 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 时函数值的大小.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
故函数为奇函数，故排除A、C;
当 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 趋近于0，则 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在趋于 SKIPIF 1 < 0 时增速远比 SKIPIF 1 < 0 快，故 SKIPIF 1 < 0 趋近于0，
故当 SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 趋近于0，故排除D;
故选：B
6. 甲、乙分别解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 ．甲抄错了常数b，得到解集为 SKIPIF 1 < 0 ；乙抄错了常数c，得到解集为 SKIPIF 1 < 0 ．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式解集应为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据韦达定理求得参数b、c，解不等式即可.
【详解】由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7. 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 是偶函数，且函数 SKIPIF 1 < 0 的图像与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像共有n个交点： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 0B. nC. 2nD. 4n
【答案】C
【解析】
【分析】观察解析式得两个函数对称轴均为 SKIPIF 1 < 0 ，则交点也对称.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
又 SKIPIF 1 < 0 也关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
则两个函数的交点两两关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：C.
8. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】对对数同步升幂，利用 SKIPIF 1 < 0 将对数变形，再利用中间值比较大小.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C. ab的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案;
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故A选项正确，B选项错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，ab的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故C选项正确，D选项错误.
故选：AC
10. 在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】对ABC，由三角函数定义即可列式求解；
对D，由正切倍角公式可求解判断.
【详解】对A，由终边经过点 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对BC，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，B对C错；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：AB
11. 取整函数 SKIPIF 1 < 0 的函数值表示不超过x的最大整数，例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据取整函数，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B选项，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C选项，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D选项，设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．
故选：ABD
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】对C，由零点存在定理判断端点；
对AB，由函数单调性判断不等式；
对D，由对数运算形式分别得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 ），结合函数单调性即可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可判断.
【详解】对C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理得，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 ，C对.
对AB，由解析式知， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为增函数，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A错B对；
对D， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 是增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】运用指数、对数运算法则计算即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 用一根长度为4m的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角为______弧度．
【答案】2
【解析】
【分析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，结合基本不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，代入面积方程可计算 面积的最大值，结合取等情况可得圆心角大小.
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取最大值1，
圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2.
15. 写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式： SKIPIF 1 < 0 ______．
①定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；②值域为 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据函数三个性质，写出符合条件的函数即可.
【详解】如 SKIPIF 1 < 0 ，定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
16. 若实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由基本不等式求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 变形得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
详解】由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得： SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式可求得集合 SKIPIF 1 < 0 ；根据交集结果可知 SKIPIF 1 < 0 ，分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下解不等式求得结果；
（2）分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下，求得 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 的范围，取补集即可得到结果.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
18. 从① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面两个小问．
已知 SKIPIF 1 < 0 ，且满足______．
（1）判断 SKIPIF 1 < 0 是第几象限角；
（2）求值： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 是第二象限角
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）选择①②由平方关系可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可知 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，选择③利用诱导公式结合正切值的符号求解即可；
（2）选择①②由平方关系求解 SKIPIF 1 < 0 的值即可求解；选择③利用同角三角函数关系及齐次式即可求解.
【小问1详解】
选择①：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由此可知 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角．
选择②：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由此可知 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角．
选择③因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是第二象限．
【小问2详解】
选择①：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 联立解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
选择②：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 联立解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
选择③：因为 SKIPIF 1 < 0 是第二象限角，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）分别在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的情况下解方程即可求得结果；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 单调性可知 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式恒成立，可知 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，分离变量可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合指数函数单调性可知 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 无解；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
（1）求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，再检验 SKIPIF 1 < 0 成立即可；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，进而根据函数单调性的定义证明即可；
【小问1详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
由于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，理由如下：
证法一： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
进而有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
证法二： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
进而有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
21. 党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 SKIPIF 1 < 0 ，x为道路密度，q为车辆密度， SKIPIF 1 < 0 已知当道路密度 SKIPIF 1 < 0 时，交通流量 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求a的值；
（2）若交通流量 SKIPIF 1 < 0 ，求道路密度x的取值范围；
（3）求车辆密度q的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由题，待定系数解方程 SKIPIF 1 < 0 即可得答案；
（2）根据题意，解不等式 SKIPIF 1 < 0 即可得答案；
（3）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，进而分段研究最值即可得答案；
【小问1详解】
解：依题意， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故正数 SKIPIF 1 < 0 ,所以，a的值为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减，F最大为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的解集为空集；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以，交通流量 SKIPIF 1 < 0 ，道路密度x的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
解：依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以，当 SKIPIF 1 < 0 时，q取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以车辆密度q的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．
22. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 中的最大者，设 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 零点个数．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数值域可知 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 可得结果；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 无零点；当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时，结合零点存在定理可确定 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
①若 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则由（1）知： SKIPIF 1 < 0 恒成立，此时 SKIPIF 1 < 0 无零点；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点，则 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恰有 SKIPIF 1 < 0 个零点．
综上所述：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的零点个数为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】思路点睛：本题考查含参数函数零点个数的讨论，解题的基本思路是根据二次函数和对数函数的单调性，通过对参数范围的讨论，结合零点存在定理确定零点的个数.
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