海南省华侨中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（含答案详解）

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这是一份海南省华侨中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（含答案详解），共19页。试卷主要包含了王之涣《登鹳雀楼》，下列命题中错误的是，下列不等式中成立的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.回
3.答非选择题时，将答案写在答题卡上.
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而即可得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
2. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，根据解的范围与 SKIPIF 1 < 0 的范围的大小关系，即可得出答案.
【详解】解 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 ，显然该范围小于 SKIPIF 1 < 0 的范围.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】求得集合 SKIPIF 1 < 0 ，结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合 SKIPIF 1 < 0 ，所以集合 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
4. 已知偶函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的解集是（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 及函数单调性即可得到答案.
【详解】偶函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的解集是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
5. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】首先可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，将其转化为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，数形结合即可判断.
【详解】解：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .
在同一平面直角坐标系中画出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象，
由图象知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.
6. 若 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可推出 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得出 SKIPIF 1 < 0 .然后根据 SKIPIF 1 < 0 的范围，开方即可求出.
【详解】因为， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7. 王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远”的哲理，因此成为千古名句.我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径 SKIPIF 1 < 0 ，如图，设 SKIPIF 1 < 0 为地球球心，人的初始位置为点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是人登高后的位置（人的高度忽略不计），按每层楼高 SKIPIF 1 < 0 计算，“欲穷千里目”即弧 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，则需要登上楼的层数约为（）
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A. 5800B. 6000C. 6600D. 70000
【答案】C
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 .由已知可推得， SKIPIF 1 < 0 ，进而在 SKIPIF 1 < 0 中，得出 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，弧 SKIPIF 1 < 0 的长为 SKIPIF 1 < 0 .
由题意可得， SKIPIF 1 < 0 .
显然， SKIPIF 1 < 0 ，则在 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 .
所以，需要登上楼的层数约为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上所有根的和为（）
A. 32B. 48C. 64D. 80
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的性质判断出函数的周期，利用函数的对称性、数形结合思想进行求解即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以由
SKIPIF 1 < 0 ，
因此函数的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
于是当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，该函数关于点 SKIPIF 1 < 0 对称，而函数 SKIPIF 1 < 0 也关于该点对称，在同一直角坐标系内图象如下图所示：
由数形结合思想可知：这两个函数图象有8个交点，即共有四对关于 SKIPIF 1 < 0 对称的点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上所有根的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
【点睛】关键点睛：方程根的问题转化为两个函数图象交点问题是解题的关键.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列命题中错误的是（）
A. 命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ”
B. 若幂函数图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则解析式为 SKIPIF 1 < 0
C. 若两个角的终边相同，则这两个角相等
D. 满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】写出命题否定，即可判断A项；待定系数法设出幂函数的解析式，代入坐标，求解，即可判断B项；取特殊值，即可说明C项；根据 SKIPIF 1 < 0 的图象，即可得出不等式在 SKIPIF 1 < 0 上的解集，然后根据周期性，即可得出结果.
【详解】对于A项，根据全称量词命题的否定可知，命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定是“ SKIPIF 1 < 0 ”，故A项错误；
对于B项，设幂函数解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 终边相同，显然 SKIPIF 1 < 0 ，故C项错误；
对于D项，作出 SKIPIF 1 < 0 的图象.
由图可知，在 SKIPIF 1 < 0 上，满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦函数的周期性可知，满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，故D项正确.
故选：AC.
10. 下列不等式中成立的是（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】根据函数的单调性，即可判断A、B项；根据诱导公式将角化到同一单调区间，进而根据函数的单调性，即可判断C项；根据诱导公式化为同一三角函数，进而根据函数的单调性，即可判断D项.
【详解】对于A项，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A项错误；
对于B项，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B项错误；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C项正确；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D项正确.
故选：CD.
11. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴，则（）
A. SKIPIF 1 < 0 是偶函数B. SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴
C. SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D. 当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最小值
【答案】AC
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 为图象的对称轴，求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到A正确；整体法求解函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；代入 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 图象的一条对称轴，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，是偶函数，故A正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得: SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 图象的对称轴方程为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 不能满足上式，故B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，故C正确；
显然函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．
故选：AC．
12. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则下列选项中正确的有（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .根据不等式的性质，即可判断A项；根据基本不等式及其等号成立的条件即可判断B、C项；作差后，令 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数的性质，得出函数的单调性.易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得出D项.
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
对于A项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B项，由基本不等式可知， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，故C项错误；
对于D项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数的性质可知， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得， SKIPIF 1 < 0 ，故D项正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.6
【解析】
【分析】由已知可推得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根据诱导公式化简，即可得出答案.
【详解】由三角函数的定义可得， SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】7
【解析】
【分析】根据分段函数求出 SKIPIF 1 < 0 ，代入根据对数的运算性质即可得出答案.
【详解】由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：7.
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 过定点P，且P点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值=______________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ，代入直线得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是____.
【答案】4
【解析】
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】由函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：4
四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，全集 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）代入 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据补集的运算求出 SKIPIF 1 < 0 .然后解 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据交集的运算，即可得出结果；
（2）显然 SKIPIF 1 < 0 成立. SKIPIF 1 < 0 时，解 SKIPIF 1 < 0 即可得出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 以及指数函数的单调性，可解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时满足 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的对称中心和单调增区间；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值和最大值.
【答案】（1）对称中心为 SKIPIF 1 < 0 ，单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值0.
【解析】
【分析】（1）结合正弦函数的性质，整体代入即可求出函数的对称中心以及单调递增区间；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，由已知可得， SKIPIF 1 < 0 . 根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性，即可得出函数的最值.
【小问1详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的对称中心为 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
令 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减.
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值为 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
所以，函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为0，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）判断函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性并证明；
（3）解不等式： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）减函数，证明见解析
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由若 SKIPIF 1 < 0 在区间D SKIPIF 1 < 0 上为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 可得a的值，再由奇函数的定义检验即可.
（2）由函数单调性的性质判断其单调性，再由单调性的定义法证明（任取、作差、变形、断号、写结论）即可.
（3）由函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数处理原不等式得 SKIPIF 1 < 0 ，再由函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，比较两个括号中式子的大小，解不等式即可.
【小问1详解】
∵函数的定义域为R，函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
检验，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，定义域为R，
对于任意实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
【小问2详解】
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在R上为单调递减函数.
证明：设 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域R上单调递减.
【小问3详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 在R上为奇函数， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵函数 SKIPIF 1 < 0 在R上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0
20. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，求此函数的最大值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）应用同角三角函数关系及定义域化简 SKIPIF 1 < 0 ，结合函数值及正切函数值确定角的大小即可；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，结合二次函数性质求函数的最大值.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 .
21. 学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 SKIPIF 1 < 0 与当天锻炼时间 SKIPIF 1 < 0 （单位：分）的函数关系.要求及图示如下：
（i）函数是区间 SKIPIF 1 < 0 上的增函数；
（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天运动时间为20分钟时，当天得分为3分；
（iiii）每天最多得分不超过6分.
现有以下三个函数模型供选择：
① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 .
（1）请你根据条件及图像从中选择一个合适的函数模型，并求出函数的解析式；
（2）求每天得分不少于 SKIPIF 1 < 0 分，至少需要锻炼多少分钟.（注： SKIPIF 1 < 0 ，结果保留整数）.
【答案】（1）模型③， SKIPIF 1 < 0
（2）至少需要锻炼37分钟.
【解析】
【分析】（1）根据已知图象的增长特征，结合模型中函数所过的点，以及函数的增长速度，即可确定模型，将对应的点代入，求得参数，可得解析式，并验证，即可求解；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，即可得出答案．
【小问1详解】
解：对于模型①， SKIPIF 1 < 0 ，当满足同时过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
由图可知，该函数的增长速度较慢，对于模型② SKIPIF 1 < 0 ，是指数型的函数，其增长是爆炸型增长，故②不合适；
对于模型③ SKIPIF 1 < 0 ，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型③，此时，所求函数过点 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求函数为 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意
综上所述，函数的解析式为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为每天得分不少于 SKIPIF 1 < 0 分，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼37分钟.
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有最大值2和最小值1.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 且方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实数解，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；
（2）由已知可转化为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.根据基本不等式即可求出实数 SKIPIF 1 < 0 取值范围；
（3）由已知可推得 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实数解.令 SKIPIF 1 < 0 ，作出 SKIPIF 1 < 0 的函数图象，可得 SKIPIF 1 < 0 .结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令 SKIPIF 1 < 0 ，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以求实数 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
方程 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，
化为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，则方程化为 SKIPIF 1 < 0 .
作出 SKIPIF 1 < 0 的函数图象
因为方程 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的实数解，
所以 SKIPIF 1 < 0 有两个根 SKIPIF 1 < 0 ，
且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.
设 SKIPIF 1 < 0 ，
记 SKIPIF 1 < 0 ，
根据二次函数的图象与性质可得
SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况.