湖北省黄冈市2022-2023学年高一上学期元月期末数学试题(含答案详解)
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这是一份湖北省黄冈市2022-2023学年高一上学期元月期末数学试题(含答案详解),共19页。试卷主要包含了选择题的作答,非选择题的作答,考试结束后,请将答题卡上交, 下列计算结果为有理数的是等内容,欢迎下载使用。
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 SKIPIF 1 < 0 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将答题卡上交.
一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接写出即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题,
所以命题“ SKIPIF 1 < 0 ”的否定为“ SKIPIF 1 < 0 ”.
故选:D.
2. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式 SKIPIF 1 < 0 得集合 SKIPIF 1 < 0 ,求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域得集合 SKIPIF 1 < 0 ,再求 SKIPIF 1 < 0 即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
函数 SKIPIF 1 < 0 有意义满足 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:D
3. 下列函数中最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 且是奇函数的为( )
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB,根据诱导公式化简CD的解析式,再根据正余弦函数的奇偶性可判断.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ,故A错误;
SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数,故B错误;
SKIPIF 1 < 0 ,易知为奇函数,且最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ,故C正确;
SKIPIF 1 < 0 为偶函数,故D错误.
故选:C.
4. 衡量病毒传播能力的一个指标叫做传播指数 SKIPIF 1 < 0 ,它指的是在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫)一个感染者传染的平均人数.它的计算公式是: SKIPIF 1 < 0 确诊病例增长率 SKIPIF 1 < 0 系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据统计,某种传染病例的平均增长率为 SKIPIF 1 < 0 ,两例连续病例间隔时间平均为4天.根据以上数据计算,若甲感染这种传染病,则经过4轮传播后由甲引起的得病总人数(不含甲)为( )
A. 81人B. 120人C. 243人D. 36人
【答案】B
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 确诊病例增长率 SKIPIF 1 < 0 系列间隔,先求得 SKIPIF 1 < 0 ,然后求经过4轮传播后由甲引起的得病总人数.
【详解】由题意得: SKIPIF 1 < 0 ,
所以经过4轮传播后由甲引起得病的总人数约为:
SKIPIF 1 < 0 .
故选:B.
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 ,则有( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】将 SKIPIF 1 < 0 化到同一个单调区间上的同名函数比大小,再将 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 比大小.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 为增函数,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:C
6. 已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】由三角函数的定义可得: SKIPIF 1 < 0 ,
也即 SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 可得:
SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (舍去),
因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
故选: SKIPIF 1 < 0 .
7. 已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数, SKIPIF 1 < 0 ,对 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,则关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题干条件得到函数 SKIPIF 1 < 0 在R上的单调递增,且 SKIPIF 1 < 0 ,换元后得到 SKIPIF 1 < 0 ,分三种情况,由单调性解不等式得到 SKIPIF 1 < 0 ,从而得到 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为对 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 上, SKIPIF 1 < 0 单调递增,
因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的奇函数,
所以 SKIPIF 1 < 0 在R上的单调递增,
又 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,显然满足 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在R上的单调递增,
所以当 SKIPIF 1 < 0 时,满足 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在R上的单调递增,
所以当 SKIPIF 1 < 0 时,满足 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:B
8. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个不同的实数根,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 ,作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象,分析可知关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不等的实根,令 SKIPIF 1 < 0 ,利用二次函数的零点分布可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式组,解之即可.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ,作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示:
因为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个不同的实数根,
则关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不等的实根,
设 SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有两个不等的零点,
所以, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选:A.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 下列计算结果为有理数的是( )
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数判断A,根据对数的运算性质与换底公式判断BCD.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,不是有理数,故A错误;
SKIPIF 1 < 0 ,是有理数,故B正确;
SKIPIF 1 < 0 ,是有理数,故C正确;
SKIPIF 1 < 0 ,是有理数,故D正确.
故选:BCD.
10. 若 SKIPIF 1 < 0 ,则使“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的一个必要不充分条件是( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件,解指数不等式可判断A;取 SKIPIF 1 < 0 可判断B;C选项中利用 SKIPIF 1 < 0 可判断;D选项中利用指数函数的值域进行判断.
【详解】对于A,由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件,故A正确;
对于B,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,得不到 SKIPIF 1 < 0 ,故B错误;
对于C, SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
故“ SKIPIF 1 < 0 ”不是使“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充分条件.
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时,必有 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是使“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的必要条件.
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是使“ SKIPIF 1 < 0 ”成立必要不充分条件,故C正确;
对于D,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 ,
故“ SKIPIF 1 < 0 ”不是使“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充分条件.
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 中至少有一个正数,
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,又因为 SKIPIF 1 < 0 ,则必有 SKIPIF 1 < 0 ,
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是使“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的必要条件.
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是使“ SKIPIF 1 < 0 ”成立必要不充分条件,故D正确.
故选;ACD.
11. 函数 SKIPIF 1 < 0 ,以下正确的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调且在 SKIPIF 1 < 0 不单调,则 SKIPIF 1 < 0 .
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时,若对任意的 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 成立,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数周期公式可判断A;由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,结合函数周期公式可判断B;
若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调,则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ,结合 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,验证题设条件可判断C;由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,求得 SKIPIF 1 < 0 最小值可判断D.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故A错误;
SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
当 SKIPIF 1 < 0 时,若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调,则 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,此时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调且在 SKIPIF 1 < 0 不单调,故C正确;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,又因为对任意的 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 成立,则 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ,故D正确.
故选:BCD.
12. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中,这类函数的表达式可以为 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 为非零常数),则对于函数 SKIPIF 1 < 0 以下结论正确的是( )
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为0和 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
D. 若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,且 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性定义判断A即可;利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数 SKIPIF 1 < 0 的零点,从而判断B即可;根据 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,讨论 SKIPIF 1 < 0 的符号从而确定函数值域,从而判断C即可;根据含参不等式能成立,利用指数函数的性质进行参变分离,结合基本不等式求得最值,即可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围,从而判断D即可.
【详解】解:对于A,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数,故A正确;
对于B,若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则函数 SKIPIF 1 < 0 ,整理得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点为0和 SKIPIF 1 < 0 ,故B正确;
对于C,若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立;
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故C错误;
对于D,若 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 成立,则 SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 能成立,又 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,即 SKIPIF 1 < 0 时,等号成立,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,故D正确.
故选:ABD.
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13. 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ,求解即可.
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过定点 SKIPIF 1 < 0 ,且点 SKIPIF 1 < 0 在指数函数 SKIPIF 1 < 0 图象上,则 SKIPIF 1 < 0 __________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由对数函数的图象可得 SKIPIF 1 < 0 ,故可求 SKIPIF 1 < 0 的解析式,根据对数的运算即可求解.
【详解】在 SKIPIF 1 < 0 中,令 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ,由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##1.6
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 ,再用“乘1法”即可求最小值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若对 SKIPIF 1 < 0 ,总存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立,则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】分析可知, SKIPIF 1 < 0 ,求出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立,利用参变量分离法可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】若对 SKIPIF 1 < 0 ,总存在 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 成立,则 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,
由对勾函数的单调性可知,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
所以,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
故当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
所以, SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
由对勾函数的单调性可知,函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
所以,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为: SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (1)已知 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)利用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得原式 SKIPIF 1 < 0 ,代值求解即可;
(2)将 SKIPIF 1 < 0 两边平方可求 SKIPIF 1 < 0 ,从而可求 SKIPIF 1 < 0 ,利用平方差公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,故可求解.
【详解】(1)原式= SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
两边平方得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
18. 设函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)根据一元二次不等式的解集即可求解;
(2)根据题意可得函数关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,利用二次函数的对称轴得出 SKIPIF 1 < 0 ,再结合基本不等式即可求解.
【小问1详解】
依题意可知: SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根,
则有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
由 SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称,
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值,并分别写出取最大值与最小值时相应 SKIPIF 1 < 0 的取值集合.
(2)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最大值2;
(2) SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】(1)根据奇函数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ,结合 SKIPIF 1 < 0 可求 SKIPIF 1 < 0 从而可得 SKIPIF 1 < 0 ,根据正弦函数的性质即可求解;
(2) SKIPIF 1 < 0 ,根据正弦函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
依题意有 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,为奇函数,满足题意.
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 取最大值2.
【小问2详解】
依题意 SKIPIF 1 < 0 ,
若 SKIPIF 1 < 0 单调递减,则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 得其减区间为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 .
20. 某儿童玩具厂生产的某一款益智玩具去年年销量为2百万件,每件销售价格为20元,成本16元.今年计划投入适当广告费进行促销.预计该款玩具的年销售量 SKIPIF 1 < 0 百万件与年广告费用 SKIPIF 1 < 0 百万元满足 SKIPIF 1 < 0 ,现已知每件玩具的销售价为年平均每件玩具所占广告费的 SKIPIF 1 < 0 与原销售价之和.
(1)当投入广告费为2百万元时,要使该玩具的年利润不少于12百万元,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)若 SKIPIF 1 < 0 时,则当投入多少百万元广告费该玩具生产厂获得最大利润.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;
(2)当广告费2百万时最大利润为 SKIPIF 1 < 0 万元.
【解析】
【分析】(1)年利润 SKIPIF 1 < 0 ,解 SKIPIF 1 < 0 即可;
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,利用函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ,销售价为 SKIPIF 1 < 0 ,
年利润 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时,
年利润 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
所以当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
综上:当广告费2百万时最大利润为 SKIPIF 1 < 0 万元.
21. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称.
(1)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
(2)不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ,再根据复合函数的单调性可列出不等式,结合二次不等式恒成立求解即可;
(2)把问题转化为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,分离参数,转化为最值比较即可.
【小问1详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称.
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,且 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,符合题意;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,符合题意.
故t的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
依题意有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立,
当 SKIPIF 1 < 0 时不等式成立,所以必须 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立. SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增,
SKIPIF 1 < 0
综上:a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
22. 已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数,当 SKIPIF 1 < 0 时函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 并求 SKIPIF 1 < 0 的解析式;
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 值并求使不等式 SKIPIF 1 < 0 成立实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数,得 SKIPIF 1 < 0 ,可求 SKIPIF 1 < 0 的值;当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 求得当 SKIPIF 1 < 0 时的解析式;
(2)讨论对称轴的位置,确定 SKIPIF 1 < 0 的单调性,根据 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ,根据 SKIPIF 1 < 0 的对称性与单调性解不等式 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【小问1详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 为R上的偶函数,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 关于x=1对称,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 .
小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增, SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,与题意矛盾, SKIPIF 1 < 0
同理当对称轴 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时,则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减,
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,矛盾.
若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,
显然当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上值域为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,符合题目要求.故 SKIPIF 1 < 0 .
不等式 SKIPIF 1 < 0 成立即 SKIPIF 1 < 0 成立,
当 SKIPIF 1 < 0 时函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数,
所以 SKIPIF 1 < 0 在对称轴 SKIPIF 1 < 0 右侧为增函数,左侧为减函数,距离对称轴越远其值越大,
SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
故m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
【点睛】 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性的处理方法:若 SKIPIF 1 < 0 具有奇偶性,则 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 轴或对称中心为原点,可以得到 SKIPIF 1 < 0 也有对称轴或对称中心,方法是通过平移变换与伸缩变换将 SKIPIF 1 < 0 的图象变换到 SKIPIF 1 < 0 的图象,在变换过程中对称轴或中心也跟着作相应的变换.如 SKIPIF 1 < 0 为R上的偶函数,向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位得到 SKIPIF 1 < 0 的图象,则 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称,再将 SKIPIF 1 < 0 的图象横坐标变为原来的2倍,得到 SKIPIF 1 < 0 的图象,则 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 对称.
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