吉林省吉林市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份吉林省吉林市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 用集合语言表示下图中的阴影部分，正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据阴影部分的元素特征直接判断即可.
【详解】阴影部分的元素 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 阴影部分表示的集合为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2. 下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】分别判断各选项中两个函数的定义域和解析式是否相同即可.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是同一函数，A错误；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是同一函数，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 解析式相同， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一函数，C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不是同一函数，D错误.
故选：C.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD选项，举例判断即可；对于C，结合幂函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，即可判断.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 没有意义，故D错误.
故选：C.
4. 用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积（一般来讲，窗户面积比地板面积小）．显然，比值 SKIPIF 1 < 0 越大，住宅的采光条件越好．当窗户面积和地板面积同时增加 SKIPIF 1 < 0 时，住宅的采光条件会得到改善（单位： SKIPIF 1 < 0 ）．现将这一事实表示为不等式，以下正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】先列出窗户面积和地板面积同时增加前后的比值，通过作差法即可求解.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时
最开始窗户面积和地板面积的比值为 SKIPIF 1 < 0 ，
窗户面积和地板面积同时增加 SKIPIF 1 < 0 后的比值为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时住宅的采光条件会得到改善.
故选：A.
5.
计算 SKIPIF 1 < 0 的结果为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数、对数的运算性质计算可得结果.
详解】原式 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6. 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
7. 将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，则函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得平移后的函数解析式，即得答案.
详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
8. 函数 SKIPIF 1 < 0 图象如图所示，则函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式可能是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性可排除AD，根据 SKIPIF 1 < 0 可排除B；结合指数函数性质可知C正确.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，与已知图象不符，A错误；
对于B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，与已知图象不符，B错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为奇函数，图象关于原点对称；
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的增函数；
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 图象与已知图象符合，C正确.
故选：C.
9. 下列四个函数中，以 SKIPIF 1 < 0 为最小正周期的偶函数是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦、余弦、正切函数的图象结合性质判断即可.
【详解】对于A：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知， SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，且图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，则 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，故A正确；
对于BC：函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小正周期都为 SKIPIF 1 < 0 ，故BC错误；
对于D：函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 不具有周期性，故D错误；
故选：A
10. 已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 和偶函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法错误的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增B. SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C. SKIPIF 1 < 0 无最小值D. SKIPIF 1 < 0 无最小值
【答案】D
【解析】
【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得 SKIPIF 1 < 0 ，由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法可知AB正误；由奇偶性可确定 SKIPIF 1 < 0 单调性，进而确定CD正误.
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
对于A， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，A正确；
对于B，设 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，B正确；
对于C，由A知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 为连续函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 无最小值，C错误；
对于D，由B知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 为连续函数， SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
11. 如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用．如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒 SKIPIF 1 < 0 到水面的距离为 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）（ SKIPIF 1 < 0 在水下则 SKIPIF 1 < 0 为负数）， SKIPIF 1 < 0 与时间 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ）之间的关系是 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 筒车的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，旋转一周用时 SKIPIF 1 < 0
B. 筒车的轴心 SKIPIF 1 < 0 距离水面的高度为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 时，盛水筒 SKIPIF 1 < 0 处于向上运动状态
D. 盛水筒 SKIPIF 1 < 0 出水后至少经过 SKIPIF 1 < 0 才可以达到最高点
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据振幅和最小正周期可确定A正确；利用 SKIPIF 1 < 0 可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知C错误；令 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦型函数的值可构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而得到 SKIPIF 1 < 0 ，知D正确.
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的振幅为筒车的半径， SKIPIF 1 < 0 筒车的半径为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 旋转一周用时 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，筒车的半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 筒车的轴心 SKIPIF 1 < 0 距离水面的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 盛水筒 SKIPIF 1 < 0 处于处于向下运动的状态，C错误；
对于D，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即盛水筒 SKIPIF 1 < 0 出水后至少经过 SKIPIF 1 < 0 才可以达到最高点，D正确.
故选：ABD.
12. 如图，在扇形OPQ中，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，C是扇形弧PQ上的动点，矩形 SKIPIF 1 < 0 内接于扇形，记 SKIPIF 1 < 0 ．则下列说法正确的是（ ）
A. 弧PQ的长为 SKIPIF 1 < 0
B. 扇形OPQ的面积为 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0
D. 矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得 SKIPIF 1 < 0 的长，即可求出矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.
【详解】由题意知，扇形OPQ中，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆心角 SKIPIF 1 < 0 ，
故弧PQ的长为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
扇形OPQ的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
由C的分析可知矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积取最大值 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边 SKIPIF 1 < 0 的长，从而表示出矩形 SKIPIF 1 < 0 的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误.
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
13. 函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由对数真数大于零可解不等式求得结果.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】0或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：0或 SKIPIF 1 < 0
15. 英国数学家泰勒发现了如下公式： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值也就越精确，则 SKIPIF 1 < 0 的近似值为______（精确到 SKIPIF 1 < 0 ）；运用上述思想，可得到函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有______个零点．
【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用诱导公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 计算可得 SKIPIF 1 < 0 的近似值；分析函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性，计算出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的近似值，结合零点存在定理可得出函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内的零点个数.
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均为增函数，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由零点存在定理可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个零点，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有一个零点.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
16. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不相等的实数根 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有四个不同交点，采用数形结合的方式可确定四个根所处的范围，结合对勾函数单调性和正弦型函数的对称性可求得所求范围.
【详解】不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，
方程 SKIPIF 1 < 0 有四个不相等的实数根等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有四个不同交点，
作出 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示，
由图象可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题考查方程根的取值范围的求解问题，解题关键是能够将问题转化为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点的问题，采用数形结合的方式确定交点横坐标的取值范围，进而结合函数单调性和对称性来求解范围.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由对数函数的单调性、一元二次不等式的解法解不等式，再求并集；
（2）由充分必要条件的定义得出 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，再由包含关系得出实数a的取值范围．
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式结合 SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 ，将代数式 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相乘，展开后利用基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【小问1详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ．
19. 已知 SKIPIF 1 < 0 为钝角， SKIPIF 1 < 0 为锐角， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数平方和商数关系可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由两角和差正切公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由同角三角函数平方关系可求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用两角和差正弦公式可求得结果.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且关于 SKIPIF 1 < 0 不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）求关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，先设函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再结合韦达定理和已知条件求解即可；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可化简为 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三种情况讨论即可求解.
【小问1详解】
（法一）设 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
（法二）设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
所以所求解析式为 SKIPIF 1 < 0 ．
小问2详解】
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 可化为： SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，此时不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 将某种药物首次注射进患者的血液中，血液中药物含量 SKIPIF 1 < 0 随时间 SKIPIF 1 < 0 变化的图象如图所示．在注射期间， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成正比；停止注射后，血液中的药物含量以每小时 SKIPIF 1 < 0 的比例衰减．
（1）根据图中提供信息，写出血液中的药物含量 SKIPIF 1 < 0 与时间 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式；
（2）此种药物在病人血液中的量保持在 SKIPIF 1 < 0 以上时才有疗效，而低于 SKIPIF 1 < 0 时病人就有危险，那么停止注射后，应在什么时间范围内再向病人的血液补充这种药物．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 小时至 SKIPIF 1 < 0 小时
【解析】
【分析】（1）分别讨论注射期间和停止注射后的情况，结合图象可确定关系式；
（2）根据题意可构造不等式 SKIPIF 1 < 0 ，根据指数和对数运算法则可求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，即为所求时间范围.
【小问1详解】
在注射期间， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 成正比，
当 SKIPIF 1 < 0 时，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
停止注射后，血液中的药物含量以每小时 SKIPIF 1 < 0 的比例衰减，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述：药物含量 SKIPIF 1 < 0 与时间 SKIPIF 1 < 0 的函数关系式为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由于此种药物在病人血液中的量保持在 SKIPIF 1 < 0 以上时才有疗效，而低于 SKIPIF 1 < 0 时病人就有危险，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 停止注射后，应在 SKIPIF 1 < 0 小时至 SKIPIF 1 < 0 小时范围内再向病人的血液补充这种药物．
22. 如图，角 SKIPIF 1 < 0 的始边与 SKIPIF 1 < 0 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 SKIPIF 1 < 0 ，将射线 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 按逆时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后与单位圆相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若函数 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
（3）在（2）的条件下，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由三角函数定义可得 SKIPIF 1 < 0 ；方法一：将 SKIPIF 1 < 0 直接代入即可求得 SKIPIF 1 < 0 ；方法二：利用两角和差公式和辅助角公式化简得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；
（3）结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将 SKIPIF 1 < 0 转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数的形式，讨论对称轴位置即可利用最小值构造方程求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
方法一： SKIPIF 1 < 0 ；
方法二： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问3详解】
由（2）得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是开口方向向下，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 的抛物线，
①当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数单调区间、与正弦函数有关的复合函数最值的求解问题；本题根据最值求解参数值的关键是能够结合二倍角公式，将问题转化为关于变量 SKIPIF 1 < 0 的二次函数的形式，进而利用含参数二次函数最值的求法来进行讨论.