江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共18页。试卷主要包含了02， 我国著名数学家华罗庚先生曾说， 下列结论中正确的有等内容，欢迎下载使用。
2023.02
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共6页，共150分.考试时间120分钟.考试结束后，只要将答题卡交回.
2．答题前，请务必将自己的学校、姓名、考试号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题纸上，并用2B铅笔将答题卡上考试号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确填涂.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符.
4．所有试题的答案全部在答题卡上作答.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】解出集合 SKIPIF 1 < 0 ，根据交集含义即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
2. 命题“ SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ”的否定为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由全称命题的否定为特称命题即可得到结果.
【详解】由题意可得， SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 的否定为 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，若集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.
详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故充分性满足；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，显然必要性不满足；
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A
4. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点．则乙一定去过的景点是（ ）
A. 淮安方特B. 龙宫大白鲸世界
C. 西游乐园D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可求解.
【详解】先从乙说的出发，可以推出乙可能去过淮安方特或西游乐园，
再由甲说的，可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园，
则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个，
再结合丙说的，利用集合交集的思想，即可判断出乙一定去过西游乐园.
故选：C.
5. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则m、n、p的大小关系为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由指数函数与对数函数的单调性，即可判断大小关系.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
6. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出定义域，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，排除CD，在求出当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，B错误，A正确.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，关于原点对称，CD错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确，B错误；
故选：A
7. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有一个零点，且求得 SKIPIF 1 < 0 的部分函数值数据如下表所示：
要使 SKIPIF 1 < 0 零点的近似值精确到0.1，则对区间 SKIPIF 1 < 0 的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A. 6次0.7B. 6次0.6
C. 5次0.7D. 5次0.6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，对区间 SKIPIF 1 < 0 内，需要求解 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的值，然后达到 SKIPIF 1 < 0 零点的近似值精确到 SKIPIF 1 < 0 ，所以零点的近似解为 SKIPIF 1 < 0 ，
共计算 SKIPIF 1 < 0 次.
故选：C
8. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】先求出函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性和单调性，再根据得到的函数性质化简不等式， SKIPIF 1 < 0 ，最后结合基本不等式计算求解即可
【详解】 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数,
SKIPIF 1 < 0 为单调增函数,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 恒成立,
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列结论中正确的有（ ）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A、B，利用不等式的性质进行判断；对于C，利用作差比较法进行判断；对于D，利用基本不等式结合“1”的妙用进行判断.
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 成立，故A正确；
对于B，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 成立，故B正确；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 以及选项A， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立，故C错误；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B. SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根的判别式、作差法逐一判断即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 有两个零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个不等实根，
于是有： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，显然满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选：BD
11. 对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论正确的有（ ）
A. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称
B. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是单调函数
C. 若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2
D. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图象可由 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，由正弦型函数的对称性以及单调性即可判断AB，由正弦型函数的最值列出等式即可判断C，由三角函数的图像变换，即可判断D.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，故A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，区间 SKIPIF 1 < 0 为半个周期长度，而 SKIPIF 1 < 0 时，函数没有取得最值，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上不是单调函数，故B错误；
若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，可知 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得最大值，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的图像向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到
SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：ACD
12. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 成立．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C. 直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴
D. 关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 共有4个不等实根
【答案】AC
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合奇偶性即可判断A选项；由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的偶函数，结合题设画出大致图象，结合图象可判断BC选项；进而画出函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象，即可判断D选项.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
由A知， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的偶函数，结合 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
画出大致图象如下：

结合图象可知，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，直线 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一条对称轴，故B错误，C正确；
对于D，画出函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象如下：

结合图象可知，函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 共有2个不等实根，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于得出函数 SKIPIF 1 < 0 是周期为4的偶函数，然后画出大致图象，结合图象即可求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13 函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据函数解析式代值计算即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：9.
14. 已知a，b为正实数，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 为正实数，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
15. 如图，正六边形 SKIPIF 1 < 0 的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，分别以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径画弧，两弧交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 围成的阴影部分的面积为________．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用圆半径得到 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形得出 SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．
【详解】如图，连接 SKIPIF 1 < 0 .
由题意知，线段 SKIPIF 1 < 0 的长度都等于半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 为正三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
扇形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
由图形的对称性可知，扇形 SKIPIF 1 < 0 的面积与扇形 SKIPIF 1 < 0 的面积相等，
所以阴影部分的面积 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .

16. 近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 SKIPIF 1 < 0 ，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为________，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为________秒．

【答案】 ①. SKIPIF 1 < 0 ②. 4
【解析】
【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得 SKIPIF 1 < 0 ，待定系数即可；
（2）解不等式 SKIPIF 1 < 0 即得.
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度 SKIPIF 1 < 0 ，风车半径 SKIPIF 1 < 0 ，
风车转动一圈为 SKIPIF 1 < 0 秒，则角速度 SKIPIF 1 < 0 ，
如图，以风车中心 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以与地面平行的直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，建立直角坐标系，
设 SKIPIF 1 < 0 时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设 SKIPIF 1 < 0 ，
以 SKIPIF 1 < 0 为始边， SKIPIF 1 < 0 为终边的角不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，
那么经过 SKIPIF 1 < 0 （秒）后，运动到点 SKIPIF 1 < 0 ，
于是，以 SKIPIF 1 < 0 为始边， SKIPIF 1 < 0 为终边的角为 SKIPIF 1 < 0 ，
由三角函数定义知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求值 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）0
【解析】
【分析】（1）根据弦化切公式以及平方关系式进行求解；
（2）根据对数换底公式以及对数恒等式求得结果
【详解】（1）由题意有 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 .
（2）原式 SKIPIF 1 < 0 .
18. 设全集为 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求图中阴影部分表示的集合C；
（2）在① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）解对数不等式求集合A，根据韦恩图及集合的交、补运算求集合C；
（2）根据所选的条件均可得 SKIPIF 1 < 0 ，讨论 SKIPIF 1 < 0 是否为空集列不等式组求参数范围即可.
【小问1详解】
由集合A知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
选择①②③，均可得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示．

（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向左平移 SKIPIF 1 < 0 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】（1）根根据余弦型函数的周期性质，结合特殊点进行求解即可；
（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
代入 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由题意知变换后 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时单调递减，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时单调递增，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 有两解．
所以当 SKIPIF 1 < 0 时符合题意，即a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
20. 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过 SKIPIF 1 < 0 个单位时间T的关系有两个函数模型 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可供选择．
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2）11个
【解析】
【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；
（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.
【小问1详解】
若选 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意．
若选 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．代入 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意．
【小问2详解】
设至少需要x个单位时间，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴x最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．
21. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）判断并证明 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性；
（3）若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得不等式 SKIPIF 1 < 0 有解，求实数m的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，证明见解析
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质求出函数的解析式，再利用奇函数的定义进行验证即可；
（2）利用函数单调性的定义进行判断证明即可；
（3）利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
任取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
【小问3详解】
由（2）知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
令 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二次函数的性质是解题的关键.
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若函数 SKIPIF 1 < 0 的零点在区间 SKIPIF 1 < 0 上，求正整数k的值；
（2）记 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 对任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果；
（2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果.
小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
任取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由零点存在定理知 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
由已知得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，首先 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
其次， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式知， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 有最大值1，∴ SKIPIF 1 < 0
综上，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
SKIPIF 1 < 0
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
SKIPIF 1 < 0
1
2
3
4
5
6
…
SKIPIF 1 < 0 (人数)
…
6
…
36
…
216
…