辽宁省沈阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份辽宁省沈阳市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合间的交集运算求解.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2. 设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别解不等式 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，根据小范围推大范围，分析判断即可.
详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即解集；
若 SKIPIF 1 < 0 ，注意到 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】先求出向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后利用向量共线坐标公式计算即可.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 平行，则 SKIPIF 1 < 0 ，得x＝2.
故选：C.
4. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算.
【详解】有三件正品（用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示）和一件次品（用 SKIPIF 1 < 0 表示）的产品中任取两件的样本空间 SKIPIF 1 < 0 ，恰有一件次品 SKIPIF 1 < 0 ，
由古典概型得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
5. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6. 设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的一点， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的减法运算求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
7. 已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据已知条件求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再根据 SKIPIF 1 < 0 的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，易知， SKIPIF 1 < 0 为偶函数且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
8. 设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象有且仅有三个不同的公共点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列判断正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象可判断BD，将方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，根据不等式性质可判断A，然后可判断C.
【详解】如图，在同个坐标系中画出函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得 SKIPIF 1 < 0 的三个解满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故BD错误；
方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，且由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．A错误，C正确.
故选：C
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 某厂家对其新购进的4000件原料产品的长度（单位：mm）进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，低于60视为不合格，则下列说法中正确的是（ ）
A. 长度在 SKIPIF 1 < 0 的产品数最多B. SKIPIF 1 < 0
C. 不合格的产品数为100件D. 产品长度的平均值约为70.5
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1、频数及平均数公式计算即可.
【详解】对于A项，因为频率分布直方图中 SKIPIF 1 < 0 的矩形的高度最高，所以长度在 SKIPIF 1 < 0 的产品数最多，故A项正确；
对于B项，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确；
对于C项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以不合格产品数为1000件，故C项错误；
对于D项， SKIPIF 1 < 0 ，故D项正确.
故选：ABD.
10. 设集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则x的值可以为（ ）
A. 3B. SKIPIF 1 < 0 C. 5D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，则有：
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，故舍去；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
11. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项中正确的有（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称B. SKIPIF 1 < 0 的图象关于y轴对称
C. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于x轴对称D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对称性的定义逐项分析判断.
【详解】对A：∵ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，图象关于y轴对称，
例如 SKIPIF 1 < 0 ，不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的图象不关于原点对称，A错误；
对B：∵ SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
对C： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于x轴对称，C正确；
对D： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称，D正确；
故选：BCD.
12. 若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的解集中只含有一个元素，则满足条件的实数k可以为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. 0D. 1
【答案】ABD
【解析】
【分析】将方程变形为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）分别讨论 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的情况即可求解，或者根据函数图象的交点情况进行求解.
【详解】法一：显然 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，原方程变形得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，方程的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，方程的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，方程的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
法二：原方程等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
在平面直角坐标系中做出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图，
当 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0
此图象和直线 SKIPIF 1 < 0 的交点只有一个，所以满足条件的实数 SKIPIF 1 < 0 可以为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，1．
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______．
【答案】15
【解析】
【分析】根据分层抽样原则直接计算即可
【详解】由题意，从全校2000人中抽取50人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽 SKIPIF 1 < 0 人.
故答案为：15
14. 已知实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，若对于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用基本不等式“1”的代换求 SKIPIF 1 < 0 最小值，结合已知不等式恒成立求参数范围即可.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为27，
又 SKIPIF 1 < 0 恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 同时满足下列两个条件：① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 无零点．写出一个符合题意的函数 SKIPIF 1 < 0 ______．（结果不能写成分段函数的形式）
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）
【解析】
【分析】写出满足两个条件的一个函数即可.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 同时满足下列两个条件：
① SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 无零点．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）.
16. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用两根之和及对数运算得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两个根，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）解关于x的方程： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求关于x不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）方法一：化分式为整式解分式方程；方法二：整理得 SKIPIF 1 < 0 ，分析求解；
（2）分类讨论两根的大小关系解一元二次不等式.
【详解】（1）（方法一）方程两边同乘 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
（方法二）原方程可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）证明：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
（2）讨论关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解的个数（直接写出结论即可）．
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义分析证明；
（2）原题意等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与常函数 SKIPIF 1 < 0 的交点个数，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，数形结合处理问题.
小问1详解】
任取 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
【小问2详解】
关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解的个数，等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与常函数 SKIPIF 1 < 0 的交点个数，
由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
结合（1）可得：函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
可得函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
对于函数 SKIPIF 1 < 0 与常函数 SKIPIF 1 < 0 的交点个数，
则有：当 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为0个；
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为2个；
当 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为3个；
当 SKIPIF 1 < 0 时，交点个数为4个．
19. 新能源汽车具有节约燃油能源､减少废气排放､有效保护环境等优点.据统计，截至2022年9月底，我国新能源汽车保有量为1149万辆，占汽车总保有量的3.65%.小杨哥准备以9万元的价格买一辆新能源汽车作为出租车（不作它用），根据市场调查，此汽车使用 SKIPIF 1 < 0 年的总支出为 SKIPIF 1 < 0 万元，每年的收入为5.25万元.
（1）此汽车从第几年起开始实现盈利？
（2）此汽车使用多少年报废最合算？
（①利润=收入-支出；②出租车最合算的报废年限一般指使年平均利润最大时的使用年数）
【答案】（1）第3年起开始盈利
（2）使用6年报废最合算
【解析】
【分析】（1）表达出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解出答案；
（2）设汽车使用n年的年平均利润为z万元，表达出 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式求出最值，得到此汽车使用6年报废最合算.
【小问1详解】
设此汽车使用n年的总利润为y万元，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以从第3年起开始盈利；
【小问2详解】
设此汽车使用n年的年平均利润为z万元，
则 SKIPIF 1 < 0
因 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
答：所以此汽车使用6年报废最合算.
20. 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 延长线与交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）用向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用向量的加减法则及数乘向量运算求解即可；
（2）根据E，F，A三点共线，得 SKIPIF 1 < 0 ，再设 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，通过平面向量基本定理求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出向量 SKIPIF 1 < 0 .
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D为AB的中点，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由ED＝2EC，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，……①
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ……②
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线，由①②得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 足球号称世界第一大体育运动， SKIPIF 1 < 0 卡塔尔世界杯刚刚落下帷幕．主办方为了调查球迷对本次世界杯的满意度，从来自本地（ SKIPIF 1 < 0 地区）和外地（ SKIPIF 1 < 0 地区）的球迷中，分别随机调查了 SKIPIF 1 < 0 名球迷，得到他们对本届世界杯的满意度评分，如茎叶图所示：
（1）设 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 地区 SKIPIF 1 < 0 名球迷满意度的方差， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 地区 SKIPIF 1 < 0 名球迷满意度的方差，则 SKIPIF 1 < 0 _____ SKIPIF 1 < 0 ；（用“ SKIPIF 1 < 0 ”或“ SKIPIF 1 < 0 ”填空，不要求写出计算过程）；
（2）计算 SKIPIF 1 < 0 地区的 SKIPIF 1 < 0 分位数；
（3）根据满意度评分，将满意度从低到高分为三个等级：
从 SKIPIF 1 < 0 地区和 SKIPIF 1 < 0 地区分别随机抽取 SKIPIF 1 < 0 名球迷，记事件 SKIPIF 1 < 0 ：“ SKIPIF 1 < 0 地区球迷的满意度等级高于 SKIPIF 1 < 0 地区球迷的满意度等级”，根据所给数据，用调查样本的频率估计地区总体概率，求 SKIPIF 1 < 0 的概率.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据样本数据的集中程度可得出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小关系；
（2）利用百分位数的定义可计算出 SKIPIF 1 < 0 地区 SKIPIF 1 < 0 分位数；
（3）设事件 SKIPIF 1 < 0 分别表示抽取 SKIPIF 1 < 0 地区 SKIPIF 1 < 0 名球迷的满意度为 SKIPIF 1 < 0 级，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两两互斥，设事件 SKIPIF 1 < 0 分别表示抽取 SKIPIF 1 < 0 地区 SKIPIF 1 < 0 名球迷的满意度为 SKIPIF 1 < 0 级，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两两互斥，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 地区的数据更集中，则 SKIPIF 1 < 0 地区的方差越小，则 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 地区的 SKIPIF 1 < 0 个数据由小到大依次为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 分位数等于 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
解：设事件 SKIPIF 1 < 0 分别表示抽取 SKIPIF 1 < 0 地区 SKIPIF 1 < 0 名球迷的满意度为 SKIPIF 1 < 0 级，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两两互斥，
设事件 SKIPIF 1 < 0 分别表示抽取 SKIPIF 1 < 0 地区 SKIPIF 1 < 0 名球迷的满意度为 SKIPIF 1 < 0 级，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两两互斥，
且有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相互独立，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互斥，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
22. 指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当 SKIPIF 1 < 0 时，指数函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率随t的增大而增大．
已知实数a，b，满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）比较 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，比较 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，判断 SKIPIF 1 < 0 的符号．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）分析可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合对数函数单调性分析运算，注意讨论 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）方法一：利用反证法证明；方法二：构建函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合单调性分析运算；方法三：构建 SKIPIF 1 < 0 ，结合单调性分析运算；
（3）构建 SKIPIF 1 < 0 ，结合单调性分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据题意结论分析可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得结果.
【小问1详解】
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递减，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
（方法一）①假设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾，故假设不成立；
②假设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，与已知矛盾，假设不成立；
③当 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
由①②③可得： SKIPIF 1 < 0 ．
（方法二）设 SKIPIF 1 < 0 ，则b是 SKIPIF 1 < 0 的零点，
对 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 有唯一的零点b，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数零点存在性定理知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 存在唯一的零点 SKIPIF 1 < 0 ，
则满足 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的零点 SKIPIF 1 < 0 即为 SKIPIF 1 < 0 的零点b，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（方法三）两边除以b可得： SKIPIF 1 < 0 ，变形得： SKIPIF 1 < 0 ，
构建 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问3详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
对 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（2）得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
由指数函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上平均变化率，随t的增大而增大，
所以指数函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率小于在区间 SKIPIF 1 < 0 上的平均变化率，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】关键点点睛：在处理方程、不等式问题时，我们常常构建函数，利用函数单调性结合零点存在性定理分析运算.这是问题函数化的关键．
满意度评分
低于 SKIPIF 1 < 0 分
SKIPIF 1 < 0 分到 SKIPIF 1 < 0 分
不低于 SKIPIF 1 < 0 分
满意度等级
SKIPIF 1 < 0 级（不满意）
SKIPIF 1 < 0 级（满意）
SKIPIF 1 < 0 级（非常满意）