2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n，则a3＝（ ）
A．3B．7C．8D．9
2．（5分）设a∈R，直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：x+（a+1）y﹣a2＝0，若l1⊥l2，则a＝（ ）
A．1B．﹣2C．D．1或﹣2
3．（5分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1an＝an﹣1，则a2023＝（ ）
A．B．C．D．3
4．（5分）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）已知直线ln：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N*）与圆∁n：（x﹣2）2+y2（an＞0），给出下面三个结论：
①直线ln与直线ln+1平行且两直线距离为1；
②若直线l，与圆∁n相切，则an＝n；
③若直线ln与圆∁n相切，圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积最小值为3π．
其中正确的是 （ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
6．（5分）设椭圆0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直线l交椭圆于M，N两点，若|MN|＝2c，|MF2|：|NF2|，则C的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
7．（5分）关于x的方程有唯一解，则实数k的取值范围是 （ ）
A．k≤﹣2或k≥2B．k≤﹣2或k≥2或k＝±
C．k＜﹣2或k＞2或k＝±D．k＜﹣2或k＞2
8．（5分）已知曲线C：x2+y2＝1﹣|x|y，则的最大值为 （ ）
A．B．C．1D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）设{，，}是空间一个基底，则下列选项中正确的是 （ ）
A．若⊥，⊥，则⊥
B．，，一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使xyz
D．存在有序实数对，使得xy
（多选）10．（5分）已知直线l：x﹣y+5＝0，过直线上任意一点M作圆C：（x﹣3）2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．|MA|长度的最小值为
B．不存在点M使得∠AMB为60°
C．当|MC|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0
D．若圆C与x轴交点为P，Q，则的最小值为28
（多选）11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0），若圆x2+（y﹣2）2＝1 与双曲线C的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线C的实轴长为
B．双曲线C的离心率e＝2
C．点P为双曲线C上任意一点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1d2，则d1d2
D．直线y＝k1x+m与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2＝3
（多选）12．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{an}满足a1＝0，an+1，则（ ）
A．a4＝6
B．an+2＝an+2（n+1）
C．an
D．数列{（﹣1）nan}的前2n项和为n（n+1）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为 ．
14．（5分）设点A（3，5），点B和C分别为直线l：x﹣2y+2＝0和y轴上的两个动点，则△ABC的周长的最小值为 ．
15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则|A1G|＝ ．
16．（5分）在数列{an}中，如果对任意n∈N*，都有λ（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：
①若数列{cn}满足c1＝1，c2＝1，cn＝cn﹣1+cn﹣2（n≥3，n∈N*），则该数列不是比等差数列；
②若数列满足an＝3•2n﹣1，则该数列是比等差数列，且比公差λ＝0；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．
其中所有正确的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知圆C的圆心在直线l1：y＝﹣x﹣1 上，且经过A（0，﹣1），B（2，﹣1）两点．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点P（0，2）的直线l2与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线l2的方程．
18．（12分）已知函数f（x）＝2cs2x．
（1）求函数f（x）的单调增区间与值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝1，△ABC的面积为，求tanB的值．
19．（12分）设首项为的数列{an}的前n项积为Tn，且满足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Sn，求证：．
参考公式：12+22+32+•s+n2n（n+1）（2n+1）．
20．（12分）已知双曲线．
（1）过点N（1，4）的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；
（2）直线l：y＝kx+m（k≠±2）与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A（x0，0），B（0，y0）两点．当点M运动时，求点P（x0，y0）的轨迹方程，
21．（12分）已知：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点M为PD中点，PA＝AD＝1．
（1）求证：平面MAC⊥平面PCD；
（2）求点P到平面MAC的距离．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点 A（，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OMPN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年广东省深圳外国语学校高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n，则a3＝（ ）
A．3B．7C．8D．9
【解答】解：∵数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an+n，
∴a2＝2a1+1＝3，
a3＝2a2+2＝8，
故选：C．
2．（5分）设a∈R，直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：x+（a+1）y﹣a2＝0，若l1⊥l2，则a＝（ ）
A．1B．﹣2C．D．1或﹣2
【解答】解：∵a∈R，直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线 l2：x+（a+1）y﹣a2＝0，l1⊥l2，
∴a×1+2×（a+1）＝0，求得a，
故选：C．
3．（5分）已知数列{an}满足a1＝3，an+1an＝an﹣1，则a2023＝（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：∵数列{an}满足a1＝3，an+1an＝an﹣1，
∴a2a1＝a1﹣1，可得a2，
a2a3＝a2﹣1，可得a3，
a3a4＝a3﹣1，可得a4＝3，
．
可得数列{an}是周期为3的数列，且前三项为：3，，，
∴a2023＝a1＝3．
故选：D．
4．（5分）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：E是AC的中点，F是PB上靠近P点的四等分点，
则．
故选：B．
5．（5分）已知直线ln：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N*）与圆∁n：（x﹣2）2+y2（an＞0），给出下面三个结论：
①直线ln与直线ln+1平行且两直线距离为1；
②若直线l，与圆∁n相切，则an＝n；
③若直线ln与圆∁n相切，圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积最小值为3π．
其中正确的是 （ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【解答】解：由直线ln：3x﹣4y+5n﹣6＝0（n∈N*），可得直线ln+1：3x﹣4y+5（n+1）﹣6＝0，即3x﹣4y+5n﹣1＝0，
∴直线ln与直线ln+1平行，直线ln与直线ln+1的距离为1，故①正确．
由圆∁n（x﹣2）2+y2（an＞0），得圆心∁n（2，0），半径为an，
若直线ln与圆∁n相切，∴an，∴an＝n，故②正确．
圆Cn+1与圆∁n是同心圆，故圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积为π（an+1）2﹣π（an）2＝π（2n+1）≥3π，
当且仅当n＝1时取等号，故圆Cn+1与圆∁n构成的圆环面积最小值为3π，故③正确．
故选：D．
6．（5分）设椭圆0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O的直线l交椭圆于M，N两点，若|MN|＝2c，|MF2|：|NF2|，则C的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵过原点O的直线l交椭圆于M，N两点，∴MN被O平分，
又F1F2被O平分，∴四边形MF1NF2是平行四边形，
又|MN|＝2c＝|F1F2|，∴四边形MF1NF2是矩形，
∵|MF2|：|NF2|，
由对称性可得|MF1|＝|NF2|，∴设|MF2|＝m，|MF1|＝2m，
∴|F1F2|3m，∴m，
∴|MF2|+|MF1|2a，
∴．
故选：B．
7．（5分）关于x的方程有唯一解，则实数k的取值范围是 （ ）
A．k≤﹣2或k≥2B．k≤﹣2或k≥2或k＝±
C．k＜﹣2或k＞2或k＝±D．k＜﹣2或k＞2
【解答】解：分别画出曲线y，y＝kx+4，
由y，化为x2+y2＝4（0≤y≤2），可得次曲线是以原点O为圆心，2为半径的半圆，与x轴相交于点A（﹣2，0），B（2，0）．
直线y＝kx+4经过定点P（0，4）．
分类讨论：
①直线与半圆相切时，圆心O到直线的距离d2，解得k＝±，此时直线与半圆有且只有一个公共点，即关于x的方程有唯一解．
②直线y＝kx+4经过点A（﹣2，0）是满足0＝﹣2k+4，解得k＝2，可得k＞2时，直线与半圆有且只有一个公共点，即关于x的方程有唯一解．
③直线y＝kx+4经过点B（2，0）是满足0＝2k+4，解得k＝﹣2，可得k＜﹣2时，直线与半圆有且只有一个公共点，即关于x的方程有唯一解．
综上①②③可得：实数k的取值范围是k＞2或k＜﹣2或k＝±，
故选：C．
8．（5分）已知曲线C：x2+y2＝1﹣|x|y，则的最大值为 （ ）
A．B．C．1D．
【解答】解：∵曲线C：x2+y2＝1﹣|x|y，∴|x|y＝1﹣（x2+y2），
又|x|y，
∴1﹣（x2+y2），
∴1，∴x2+y2≤2，
∴，
当且仅当x＝y＝1时取等号，
∴的最大值为．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）设{，，}是空间一个基底，则下列选项中正确的是 （ ）
A．若⊥，⊥，则⊥
B．，，一定能构成空间的一个基底
C．对空间中的任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使xyz
D．存在有序实数对，使得xy
【解答】解：对于A，⊥，⊥，不能得出⊥，也可能是、相交不一定垂直，选项A错误；
对于B，假设向量，，共面，则x（）+y（），x、y∈R，
化简得（x+y）（1﹣x）（1﹣y），所以、、共面，这与已知矛盾，所以选项B正确；
对于C，根据空间向量基本定理知，对空间任一向量，总存在有序实数组（x，y，z），使xyz，选项C正确；
对于D，因为{，，}是空间一个基底，所以与、不共面，选项D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知直线l：x﹣y+5＝0，过直线上任意一点M作圆C：（x﹣3）2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则有（ ）
A．|MA|长度的最小值为
B．不存在点M使得∠AMB为60°
C．当|MC|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为x﹣2y﹣1＝0
D．若圆C与x轴交点为P，Q，则的最小值为28
【解答】解：由题知圆C的圆心为（3，0），半径为r＝2，
对于A：因为圆心（3，0）到直线l：x﹣y+5＝0的距离为d4，所以|MC|min＝4，
所以|MA|min2，
对于B：假设存在点M使得∠AMB为60°，如图，则∠AMC＝30°，
故在Rt△AMC中，|MC|＝2r＝4，
由A知|MC|min＝44，故矛盾，即不存在点M使得∠AMB为60°，故B正确；
对于C：由于MC⊥AB，故四边形MACB的面积为SMACB|MC|•|AB|＝2S△MAC＝|MA|•r＝2|MA|，
所以|MC|•|AB|＝4|MA|，故当|MC|•|AB|最小时，|MA|最小，由A选项知|MA|min2，
此时MC⊥l，l∥AB，即直线AB的斜率为1，由于直线x﹣2y﹣1＝0的斜率为，故C错误；
对于D：由题知P（1，0），Q（5，0），设M（x，x+5），
（1﹣x，﹣x﹣5）•（5﹣x，﹣x﹣5）＝（5﹣x）（1﹣x）+（x+5）2＝2x2+4x+30＝2（x+1）2+28≥28，
当且仅当x＝﹣1时等号，故的最小值为28，故D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知双曲线C：1（a＞0），若圆x2+（y﹣2）2＝1 与双曲线C的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线C的实轴长为
B．双曲线C的离心率e＝2
C．点P为双曲线C上任意一点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1d2，则d1d2
D．直线y＝k1x+m与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2＝3
【解答】解：根据题意可得：双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±ay＝0，
又圆x2+（y﹣2）2＝1 与双曲线C的渐近线相切，
∴圆心（0，2）到渐近线x±ay＝0的距离dr，
∴，又a＞0，
∴a，又b＝1，∴c，
对A选项，∵双曲线C的实轴长为2a，∴A正确；
对B选项，∵双曲线C的离心率e2，∴B选项正确；
对C选项，设P为（m，n），又P在双曲线上，
∴，∴b2m2﹣a2n2＝a2b2，
又P为（m，n）到双曲线的渐近线bx±ay＝0的距离分别为：
，，
∴，∴C选项错误；
对D选项，设A（x1，y1），B（x2，y2），又A，B在双曲线上，
∴，两式相减可得：
，
∴，又，b2＝1，
∴3﹣k1k2＝0，∴k1k2＝3，∴D选项正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列{an}满足a1＝0，an+1，则（ ）
A．a4＝6
B．an+2＝an+2（n+1）
C．an
D．数列{（﹣1）nan}的前2n项和为n（n+1）
【解答】解：∵a1＝0，an+1，
∴a2＝a1+2＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+4＝8，故A错误，
当n为奇数时，an+1＝an+n+1，an+2＝an+1+n+1，∴an+1+an+2＝an+1+an+2（n+1），∴an+2＝an+2（n+1），
当n为偶数时，an+1＝an+n，an+2＝an+1+n+2，∴an+1+an+2＝an+1+an+2（n+1），∴an+2＝an+2（n+1），故B正确；
当n为奇数时，an+2＝an+2（n+1），可得an+2﹣an＝2（n+1），an＝（an﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣4）+⋯⋯+（a3﹣a1）+a1
＝2（n﹣1）+2（n﹣3）⋯⋯+2（1+1）+0，
当n为偶数时，an+2＝an+2（n+1），可得an+2﹣an＝2（n+1），an＝（an﹣an﹣2）+（an﹣2﹣an﹣4）+⋯⋯+（a4﹣a2）+a2
＝2（n﹣1）+2（n﹣3）+⋯⋯+2（2+1）+2，故C正确；
数列{（﹣1）nan}的前2n项和S2n＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+⋯⋯+（﹣a2n﹣1+a2n）＝2+4+6+⋯⋯+2n＝n（n+1）．故D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标为 （0，） ．
【解答】解：抛物线的方程为y＝2x2，
则抛物线的标准方程为x2y，
即抛物线的焦点坐标为（0，），
故答案为：（0，）．
14．（5分）设点A（3，5），点B和C分别为直线l：x﹣2y+2＝0和y轴上的两个动点，则△ABC的周长的最小值为 ．
【解答】解：∵点A（3，5），
∴点A关于y轴的对称点为M（﹣3，5），
设A（3，5）关于l的对称点为D（a，b），
则，解得a＝5，b＝1，
故D（5，1），
∴|MC|＝|CA|，|AB|＝|BD|，
∴△ABC的周长为|MC|+|CB|+|BD|，
当M，C，B，D共线时，△ABC的周长的值最小，此时△ABC的周长为|DM|．
故答案为：．
15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2AB＝4，E是BB1的中点，F是A1C1的中点，若过A，E，F三点的平面与B1C1交于点G，则|A1G|＝ ．
【解答】解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，
则A（，1，0），A1（，1，4），E（0，2，2），F（，，4），
由题可设G（0，a，4），
则（，1，2），（，，4），（，a﹣1，4），
设平面AEF的一个法向量（x，y，z），
则，令x，解得，
故（，，），
由30，解得a，
则（，，0），
∴||．
故答案为：．
16．（5分）在数列{an}中，如果对任意n∈N*，都有λ（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差，现给出以下命题：
①若数列{cn}满足c1＝1，c2＝1，cn＝cn﹣1+cn﹣2（n≥3，n∈N*），则该数列不是比等差数列；
②若数列满足an＝3•2n﹣1，则该数列是比等差数列，且比公差λ＝0；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．
其中所有正确的序号是 ①② ．
【解答】解：①，∵cn＝cn﹣1+cn﹣2，∴常数，∴该数列不是比等差数列，故①正确；
②，若an＝3•2n﹣1，则2﹣2＝0，故②正确；
③，∵等比数列都有q﹣q＝0，∴等比数列一定是比等差数列，
若等差数列为常数列且不为0，则1﹣1＝0，∴此等差数列是比等差数列，故③错误；
④，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，设an＝n，bn＝3n，
则常数，不是比等差数列，故④错误；
故答案为：①②．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知圆C的圆心在直线l1：y＝﹣x﹣1 上，且经过A（0，﹣1），B（2，﹣1）两点．
（1）求圆C的方程；
（2）已知过点P（0，2）的直线l2与圆C相交，被圆C截得的弦长为2，求直线l2的方程．
【解答】解：（1）线段AB的中点为（1，﹣1），直线AB的斜率为kAB0，
所以线段AB的垂直平分线为x＝1，
由，解得，
所以圆心为C（1，﹣2），半径为|AC|，
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2．
（2）当直线l2的斜率不存在时，由，得y＝﹣1，或y＝﹣3，
即直线x＝0与圆C相交所得弦长为﹣1﹣（﹣3）＝2，符合题意．
当直线l2的斜率存在时，设直线l2的方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0，
由于圆C到l2的距离1，所以1，解得k，
所以yx+2，即15x+8y﹣16＝0，
综上所述，直线l2的方程为x＝0或15x+8y﹣16＝0．
18．（12分）已知函数f（x）＝2cs2x．
（1）求函数f（x）的单调增区间与值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知f（A）＝0，b＝1，△ABC的面积为，求tanB的值．
【解答】解：（1）f（x）＝2cs2xcs2x，
令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，∴kπx≤kπ，k∈Z，
则f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z，
当2x＝2kπ，即x＝kπ，k∈Z时，f（x）max＝1，
当2x＝2kπ+π，即x＝kπ，k∈Z时，f（x）min＝﹣1，
则f（x）的值域为[，]；
（2）f（A）＝0，∴cs2A0，∴cs2A，
∵0＜A＜π，∴0＜2A＜2π，∴2A＝120°或240°，
∴A＝60°或120°，
又∵△ABC的面积为，∴bcsinA，∵b＝1，∴c＝2，
当A＝60°时，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝1+4﹣2，∴a，
则△ABC为直角三角形，则tanB，
当A＝120°时，a2＝b2+c2﹣2bccsA＝1+4+2，∴a，
在△ABC中，，∴sinB，则tanB．
19．（12分）设首项为的数列{an}的前n项积为Tn，且满足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Sn，求证：．
参考公式：12+22+32+•s+n2n（n+1）（2n+1）．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项积为Tn，且满足anan+1＝（n+1）an﹣nan+1．
则，
又∴，
∴，
即数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，
则，
则；
（2）由（1）可得，
则，
则，
则，
则．
20．（12分）已知双曲线．
（1）过点N（1，4）的直线与双曲线交于S，T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；
（2）直线l：y＝kx+m（k≠±2）与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A（x0，0），B（0，y0）两点．当点M运动时，求点P（x0，y0）的轨迹方程，
【解答】解：（1）设S（x1，y1），T（x2，y2），则，
两式相减得，即，
因为点N（1，4）是线段ST的中点，所以4，
即直线ST的斜率为1，
所以直线ST的方程为y﹣4＝x﹣15，即y＝x+3．
联立方程组得3x2﹣6x﹣25＝0，满足Δ＞0，
故直线ST的方程为x﹣y+3＝0．
（2）联立方程组得（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣（m2+16）＝0，
因为直线l：y＝kx+m（k≠±2）与双曲线有唯一的公共点M，
∴，得m2＝4（k2﹣4），
所以M的坐标为（，），其中km≠0，
因为过点M且与l垂直的直线为y（x），
令y＝0，得x0，令x＝0，y0，
所以x02（4）＝100100+4y02，
故点P（x0，y0）的轨迹方程为：（y≠0），
P的轨迹时焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10且不包含两个定点的双曲线．
21．（12分）已知：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，点M为PD中点，PA＝AD＝1．
（1）求证：平面MAC⊥平面PCD；
（2）求点P到平面MAC的距离．
【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，以AP所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系．
由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
∵M为PD的中点，∴，
所以，
所以，所以AM⊥CD，
又点M为PD中点，PA＝AD＝1，所以AM⊥PD，
∵PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PCD，
又因为AM⊂平面MAC，故平面MAC⊥平面PCD；
（2）解：设平面MAC的法向量为，则，∴，
令x＝1，则y＝﹣1，z＝1，∴，
，设点P到平面MAC的距离为d，
∴，∴点P到平面MAC的距禽为．
22．（12分）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，且过点 A（，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C交于不同的M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列．椭圆C上是否存在一点P，使得四边形OMPN为平行四边形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由离心率e，可得a2＝2b2，所以椭圆的方程为：1，
将点A（，）代入椭圆的方程可得：1，
解得b2＝1，
所以椭圆的方程为y2＝1；
（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：x＝my+t，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理可得：（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0，
Δ＝4m2t2﹣4（2+m2）（t2﹣2）＞0，即t2＜2+m2，且y1+y2，y1y2，x1+x2＝m（y1+y2）+2t，
因为四边形OMPN为平行四边，OP与MN互相平分，所以P（，），
因为P在椭圆上，则（）2＝1，
整理可得：4t2＝2+m2，①
又因为直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，即•，即m2，
而m2+mt•m2，
可得2t2＝m2t2，②
由①②可得：m2＝2，t2＝1，符合Δ＞0，
可得m＝±，t＝±1，
所以直线l的方程为：x±y﹣1＝0或x±1＝0．