2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）数列{an}满足an+1，a1＝3，则a2021＝（ ）
A．B．C．D．3
2．（5分）直线xcsαy+2＝0的倾斜角范围是（ ）
A．[，）∪（，]B．[0，]∪[，π）
C．[0，]D．[，]
3．（5分）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝14，，则a5＝（ ）
A．2B．C．4D．
5．（5分）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝（ ）
A．B．1C．D．2
6．（5分）若M，N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为直线3x+4y﹣4＝0上一个动点，则∠MPN的最大值是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
7．（5分）在平面直角坐标系中，定义|x|+|y|称为点P（x，y）的“δ和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点P（x，y）的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P是直线2x﹣y﹣4＝0上任意一点，则点P（x，y）的“δ和”的最小值为2；（3）设P是直线ax﹣y+b＝0上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是a＝1；（4）设P是椭圆x21上任意一点，则“δ和”的最大值为．其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
8．（5分）若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，）B．[﹣2，）C．[﹣2，）D．[﹣1，）
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件A与B互斥D．事件A与B相互独立
（多选）10．（5分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{an}为等差数列
B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，则数列{an}为等差数列
C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等差数列
D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等比数列
（多选）11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆
C．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线
（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左，右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c．直线l：y＝k（x+c）（k∈R）过左焦点F1与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若存在△ABF2，则△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设点M在直线x+y﹣1＝0上，⊙M与y轴相切，且经过点（﹣2，2），则⊙M的半径为 ．
14．（5分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知{an}是“和差等比数列”，a1＝2，a2＝3，则使得不等式an＞10的n的最小值是 ．
15．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为 ．
16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直，当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积的最小值是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知线段AB的端点B（4，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2＝4上运动．
（1）点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程；
（2）若直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，求实数k的取值范围．
18．（12分）甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个．现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：
（1）估计这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球的个数；
（2）以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为﹣0.2mm的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；
（3）你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由．
19．（12分）已知双曲线C的焦点F（2，0）和离心率e．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围．
20．（12分）已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝2an﹣2（n∈N*），数列{bn}的前n项积为n!．（n!＝1×2×3×…×n）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn＝anbn，求数列的前n项和．
21．（12分）图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且，如图2．
（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED；
（2）在棱DC1上是否存在点P，使得P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，A，B为椭圆上不同两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段AB的中点为M，当△AOB面积取最大值时，是否存在两定点G，H，使|GM|+|HM|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
2022-2023学年湖北省重点高中智学联盟高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）数列{an}满足an+1，a1＝3，则a2021＝（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：由题意，可得an+1，
则a2，
a3，
a43，
•••
∴数列{an}是以3为最小正周期的周期数列，
∵2021÷3＝673••••••2，
∴a2021＝a2．
故选：A．
2．（5分）直线xcsαy+2＝0的倾斜角范围是（ ）
A．[，）∪（，]B．[0，]∪[，π）
C．[0，]D．[，]
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，
则tanθcsα．
又﹣1≤csα≤1，
∴tanθ．
∴θ∈[0，]∪[，π）．
故选：B．
3．（5分）与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：双曲线，得，它的焦点（0，±），
由短半轴长为，得b＝2，a，
∴所求椭圆方程为：．
故选：B．
4．（5分）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝14，，则a5＝（ ）
A．2B．C．4D．
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若S3＝14，，则q≠1，
则有1+q3，解可得q，
又由S3＝14，即S3＝a1+a2+a3a1＝14，解可得a1＝8，
则a5＝a1q4＝8，
故选：B．
5．（5分）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝（ ）
A．B．1C．D．2
【解答】解：由题意知的方程为，代入C的方程，得，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则；
因为，且|FA|⋅|FB|＝3，
所以，整理得，
所以，结合p＞0，解得．
故选：C．
6．（5分）若M，N为圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝1上任意两点，P为直线3x+4y﹣4＝0上一个动点，则∠MPN的最大值是（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：如图，PA，PB为两切线，P为直线3x+4y﹣4＝0上一个点，
所以∠MPN≤∠APB当PM，PN为两切线是取等号；
又∠APB＝2∠APC，故只需求（sin∠APC）max，，
又，，
∴，
∴．
故选：B．
7．（5分）在平面直角坐标系中，定义|x|+|y|称为点P（x，y）的“δ和”，其中O为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点P（x，y）的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P是直线2x﹣y﹣4＝0上任意一点，则点P（x，y）的“δ和”的最小值为2；（3）设P是直线ax﹣y+b＝0上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是a＝1；（4）设P是椭圆x21上任意一点，则“δ和”的最大值为．其中正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4）D．（2）（3）（4）
【解答】解：（1）由“δ和”的定义得：|x|+|y|＝1，
画出图象如图所示：
根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，面积等于2，故（1）正确；
（2）∵点P是直线：2x﹣y﹣4＝0上任意一点，则y＝﹣2x﹣4，
|x|+|y|＝|x|+|2x﹣4|，
可知x≤0，0＜x＜2时递减，x≥2时递增，故|x|+|y|的最小值在x＝2时取得，（|x|+|y|）min＝2，故（2）正确；
（3）同（2），|x|+|y|＝|x|+|ax+b|，可知当a＝±1时，都满足，“δ和”最小的点有无数个，故（3）错误；
（4）可设椭圆参数方程为，|x|+|y|＝|csθ|+|sinθ|，易知其最大值为，故（4）正确．
故选：B．
8．（5分）若数列{an}，{bn}的通项公式分别是，，且an＜bn对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，）B．[﹣2，）C．[﹣2，）D．[﹣1，）
【解答】解：∵an＜bn对任意n∈N*恒成立，
∴当n为偶数时，可得a＜2，解得．
当n为奇数时，可得﹣a＜2，解得．∴a≥﹣2．
∴．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件A与B互斥D．事件A与B相互独立
【解答】解：对于AB，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，
其中满足事件A的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A和事件B同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况，
∴，，A正确，B正确；
∵事件A与事件B可以同时发生，
∴事件A与事件B不互斥，C错误；
∵事件A的发生不影响事件B的发生，
∴事件A与事件B相互独立，D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（5分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c（a，b，c为常数）则数列{an}为等差数列
B．若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，则数列{an}为等差数列
C．数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等差数列
D．数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…仍为等比数列
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c，
若c＝0，由等差数列的性质可得数列{an}为等差数列，
若c≠0，则数列{an}从第二项起为等差数列，故A不正确；
对于B，若数列{an}的前n项和Sn＝2n+1﹣2，
可得a1＝4﹣2＝2，a2＝S2﹣S1＝8﹣2﹣2＝4，a3＝S3﹣S2＝16﹣2﹣6＝8，
则a1，a2，a3成等比数列，则数列{an}不为等差数列，故B不正确；
对于C，数列{an}是等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，即为a1+a2+…+an，an+1+…+a2n，a2n+1+…+a3n，…，
即为S2n﹣Sn﹣Sn＝S3n﹣S2n﹣S2n﹣Sn＝n2d为常数，仍为等差数列，
故C正确；
对于D，数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…不一定为等比数列，
比如公比q＝﹣1，n为偶数，Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…，均为0，不为等比数列．故D不正确．
故选：ABD．
（多选）11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B．若MN与平面ABCD所成的角为，则N的轨迹为圆
C．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
D．若D1N与AB所成的角为，则N的轨迹为双曲线
【解答】解：A中，记MN中点为P，DM中点为Q，连接PQ，易知PQ∥DN，且PQDN，如图，若MN＝2，则DN，则PQ，所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为的圆，面积S＝πR2，故A不正确；
B中，若MN与平面ABCD所成的角为，是以MN为母线的圆锥，则N的轨迹为圆，故B正确；
C中，点N到直线BB1的距离为NB，所以点N到定点B和直线DC的距离相等，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确；
D中，过点N向AD作垂线，垂足为R，易知NR∥AB，所以∠RND1＝60°，所以D1N＝2NR，在平面ABCD中，以DA、DC所在直线分别为 x 轴、 y 轴，则2|y|，整理得，故D正确．

故选：BCD．
（多选）12．（5分）已知椭圆C：的左，右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c．直线l：y＝k（x+c）（k∈R）过左焦点F1与椭圆交于A，B两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若存在△ABF2，则△ABF2的周长为4a
B．若AB的中点为M，则
C．若，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若|AB|的最小值为3c，则椭圆的离心率
【解答】解：A中，由题意可得△ABF2的周长为4a，所以A正确；
B中，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得AB的中点M（，），A，B的坐标代入椭圆方程可得，作差可得，
所以•，即kOM•kAB，所以B不正确；
C中，设A（x1，y1），可得1，可得•（﹣c﹣x1，﹣y1）•（c﹣x1，﹣y1）＝x12﹣c2+y12＝x12+b2（1）+c2x12+a2﹣2c2∈[a2﹣2c2，a2﹣c2]，
所以a2﹣2c2≤3c2≤a2﹣c2，可得e∈[，]，所以C正确；
D中，|AB|的最小值为通径，由题意可得c，即2（a2﹣c2）﹣ac＝0，整理可得：a＝2c或ac（舍），可得椭圆的离心率为：e，所以D不正确；
故选：AC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设点M在直线x+y﹣1＝0上，⊙M与y轴相切，且经过点（﹣2，2），则⊙M的半径为 5或1 ．
【解答】解：由点M在直线x+y﹣1＝0上，设M（a，1﹣a）．
又⊙M与y轴相切，且经过点（﹣2，2），
∴半径，且a＜0．
解得a＝﹣1或a＝﹣5．则⊙M的半径为1或5．
故答案为：1或5．
14．（5分）如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”．已知{an}是“和差等比数列”，a1＝2，a2＝3，则使得不等式an＞10的n的最小值是 5 ．
【解答】解：依题意，，，
解得，，
解得，，
解得，
所以使得不等式an＞10的n的最小值是5．
故答案为：5．
15．（5分）已知圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为C右支上任意一点，则的取值范围为 ．
【解答】解：因为（x﹣2）2+y2＝9与x轴交点的坐标分别为（﹣1，0），（5，0），
又圆（x﹣2）2+y2＝9与x轴的交点分别为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的顶点和焦点，
所以a＝1，c＝5，
因为P为C右支上任意一点，根据双曲线的定义有|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2，
即|PF1|＝|PF2|+2，令t＝|PF2|∈[4，+∞），
则，
因为y在[4，+∞）上为增函数，所以，
所以，所以，即．
故答案为：．
16．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直，当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积的最小值是 ．
【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：1是最大值．
当P在C1点时，DC1⊥平面A1D1CB，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：1是最大值．
当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图：
此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF），
A1E＝CE，AC，EF，四边形A1ECF是菱形，
所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为：是最小值．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）已知线段AB的端点B（4，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2＝4上运动．
（1）点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程；
（2）若直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）设点A（x0，y0）、M（x，y），
由题意可得，即，可得，
因为点A在圆C上，所以，
即（）2+（）2＝4，化简可得（x）2+（y﹣1）2，
故点M的轨迹方程为（x）2+（y﹣1）2．
（2）由（1）得点M的轨迹方程为（x）2+（y﹣1）2，
此圆圆心坐标为（，1），半径为，
由直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，可得，
解之得k，则实数k的取值范围为k∈（﹣∞，）．
18．（12分）甲、乙两人加工一批标准直径为50mm的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个．现分别从甲、乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：
（1）估计这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球的个数；
（2）以甲、乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为﹣0.2mm的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率；
（3）你认为甲、乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由．
【解答】解：（1）由题意知，加工直径误差不超过±0.1mm的钢球中，
甲：396个，乙：666 个，
所以这批钢球中直径误差不超过±0.1mm的钢球一共有396+666＝1062个；
（2）甲、乙加工钢球的总数之比为600：900＝2：3，
所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A，B，，乙占3个，记为a，b，c，
从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10个，
则全是乙加工的基本事件为：ab，ac，bc，共3个；
所以所求概率为P；
（3）乙加工的钢球更符合标准．
理由：甲、乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm的个数：甲有20个，乙有24个，20＜24；甲生产的钢球中误差达到±0.3的个数较多．
19．（12分）已知双曲线C的焦点F（2，0）和离心率e．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx与曲线C恒有两个不同的交点A和B，且2，求k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为：1，（a＞0，b＞0）
由题意可得c＝2，e，可得a，所以b2＝c2﹣a2＝4﹣3＝1，
所以双曲线C的方程为：y2＝1；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得：（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9＝0，
显然，即k2＜1，且x1+x2，x1x2，
y1y2＝（kx1）（kx2）＝k2x1x2k（x1+x2）+22，
因为•x1x2+y1y22，
整理可得：0，即k2＜3，而k2＜1，
解得：﹣1＜k或k＜1，
即k的取值范围为：（﹣1，）∪（，1）．
20．（12分）已知正项数列{an}的前n项和Sn，满足Sn＝2an﹣2（n∈N*），数列{bn}的前n项积为n!．（n!＝1×2×3×…×n）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令cn＝anbn，求数列的前n项和．
【解答】解：（1）∵Sn＝2an﹣2①，
∴当n＝1时，S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，
当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2②，
由①﹣②得an＝2an﹣2an﹣1，即an＝2an﹣1，
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an＝2n；
（2）由（1）得an＝2n，
∵数列{bn}的前n项积为n!，记数列{bn}的前n项积为Tn，
∴Tn＝n!，当n＝1时，b1＝T1＝1，
当n≥2时，Tn﹣1＝（n﹣1）！，
∴bn＝n，当n＝1时，b1＝1，符合题意，
∴bn＝n，
则cn＝anbn＝n•2n，则4（），
令数列的前n项和为∁n，
则∁n＝4（...）＝4（）＝2．
21．（12分）图1是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C1的位置，且，如图2．
（1）求证：平面BC1E⊥平面ABED；
（2）在棱DC1上是否存在点P，使得P到平面ABC1的距离为？若存在，求出直线EP与平面ABC1所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：在图1中，连接AC，交BE于O，如图，
∵四边形ABCE是边长为2的菱形，且∠BCE＝60°，
∴AC⊥BE，且OA＝OC，
在图2中，∠AOC1是二面角A﹣BE﹣C1的平面角，
∵，∴，∴OA⊥OC1，∴∠AOC1＝90°，
∴平面BC1E⊥平面ABED；
（2）假设在棱DC1上存在点P，使得P到平面ABC1的距离为，
以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（，，0），C1（0，0，），A（，0，0），B（0，1，0），E（0，﹣1，0），
∴（），（），（），（），
设，则（），
设平面ABC1的法向量为（x，y，z），
则，取x＝1，得（1，，1），
∵P到平面ABC1的距离为，
∴d，解得，
则（，，），∴（），
设直线EP与平面ABC1所成角为θ，
∴直线EP与平面ABC1所成角的正弦值为：
sinθ＝|cs|．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，A，B为椭圆上不同两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段AB的中点为M，当△AOB面积取最大值时，是否存在两定点G，H，使|GM|+|HM|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由可设a＝2t，c＝t，则，
则方程化为，
又点在椭圆上，则，解得t＝1，
因此椭圆C的方程为．
（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设AB直线的方程为y＝kx+m，
联立直线AB和椭圆C的方程消去y得，3x2+4（kx+m）2﹣12＝0，
化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，

••
•2•，
当时，S取得最大值，即此时2m2＝3+4k2，
又，，
则，即
令，则，
因此平面内存在两点G、H使得．
当直线AB的斜率不存在时，设，
则，
即当取得最大值．
此时AB中点M的坐标为，满足方程，
即．直径误差（mm）
﹣0.3
﹣0.2
﹣0.1
0
+0.1
+0.2
+0.3
从甲加工的钢球中抽到的个数
2
6
8
20
5
6
3
从乙加工的钢球中抽到的个数
1
4
7
24
6
6
2
直径误差（mm）
﹣0.3
﹣0.2
﹣0.1
0
+0.1
+0.2
+0.3
从甲加工的钢球中抽到的个数
2
6
8
20
5
6
3
从乙加工的钢球中抽到的个数
1
4
7
24
6
6
2