2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）在等差数列{an}中，若a4＝11，a6＝15，则{an}的公差为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
2．（5分）如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（ ）
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
3．（5分）4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（ ）
A．34种B．43种
C．种D．种
4．（5分）（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn；等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，则S5+T5＝（ ）
A．22B．34C．46D．50
6．（5分）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知椭圆的中心是坐标原点O，F是椭圆E的焦点．若椭圆E上存在点P，使△OFP是等边三角形，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）设a＝ln3，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知曲线C：1，则（ ）
A．m＝2时，则C的焦点是F1（0，），F2（0，）
B．当m＝6时，则C的渐近线方程为y＝±2x
C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为m＜﹣2
D．存在m，使C表示圆
（多选）10．（5分）设直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：x2+y2＝5，则下列结论正确的为（ ）
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为
D．l被C截得的最短弦长为4
（多选）11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．DP∥面AB1D1
B．三棱锥A﹣D1PC的体积为
C．平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°
D．异面直线A1P与AD1所成角的范围是
（多选）12．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则|PF|＝2
B．若|PF|＝4，则
C．存在直线l，使得PF⊥QF
D．△PFQ面积的最小值为2
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）圆x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0与圆x2+y2+2x+2y﹣8＝0的公共弦所在的直线方程为 ．
14．（5分）函数在其图象上的点（1，e+1）处的切线方程为 ．
15．（5分）已知（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则|a0|+|a1|+…+|a5|＝ ．
16．（5分）已知甲、乙两人的投篮命中率都为p（0＜p＜1），丙的投篮命中率为1﹣p，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）
17．（10分）已知的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大．
（1）求展开式中第三项系数；
（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）．
18．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1菱形，B1C⊥A1B．
（1）证明：A1C1⊥B1C；
（2）设D为BC的中点，CA＝CB，记二面角D﹣AB1﹣C为θ，求|csθ|的值．
20．（12分）选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为．
（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？
（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？
21．（12分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，渐近线方程是：y＝±x，点A（0，b），且△AF1F2的面积为6．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数．
（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下证明：对任意n∈N*，都有；
（3）设g（x）＝（x﹣1）2ex，讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数．
2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）在等差数列{an}中，若a4＝11，a6＝15，则{an}的公差为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣3D．3
【解答】解：因为等差数列{an}中，a4＝11，a6＝15，
则2d2．
故选：B．
2．（5分）如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b（ ）
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
【解答】解：根据题意，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，
则a与b不会相交，即平行或异面，
故选：D．
3．（5分）4位同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每位同学只能去一个小区，则不同的安排方法共有（ ）
A．34种B．43种
C．种D．种
【解答】解：根据题意，每位同学只能去一个小区，则每位同学有3种选法，
则4位同学有3×3×3×3＝34种安排方法，
故选：A．
4．（5分）（x﹣1）10的展开式的第6项的系数是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据二项式定理可得展开式的第6项为C，
所以第6项的系数为﹣C，
故选：C．
5．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn；等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，则S5+T5＝（ ）
A．22B．34C．46D．50
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，设等比数列{bn}的公比为q，
由a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，可得q3＝2（1+3d）＝8，
解得d＝1，q＝2，
则S5+T5＝55×4×115+31＝46．
故选：C．
6．（5分）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可得，第二次抽到3号球的概率为．
故选：C．
7．（5分）已知椭圆的中心是坐标原点O，F是椭圆E的焦点．若椭圆E上存在点P，使△OFP是等边三角形，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意可知P（，），
所以，
即，e∈（0，1），
解得e．
故选：C．
8．（5分）设a＝ln3，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【解答】解：构造函数f（x）（x＞0），则f′（x）＝2，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，e）上单调递增，
因为0e，所以f（）＜f（），，可得ln2ln3，所以b＜c．
因为35＝243＜256＝28，所以ln3ln2ln2，即a＜b，所以c＞b＞a．
故选：D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）已知曲线C：1，则（ ）
A．m＝2时，则C的焦点是F1（0，），F2（0，）
B．当m＝6时，则C的渐近线方程为y＝±2x
C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为m＜﹣2
D．存在m，使C表示圆
【解答】解：m＝2时，曲线C：1，则C的焦点是F1（0，），F2（0，），所以A正确；
当m＝6时，曲线C：1，则C的渐近线方程为y＝±2x，所以B正确；
当C表示双曲线时，可得：（4﹣m）（2+m）＜0，解得m＞4或m＜﹣2，所以C不正确；
m﹣4＝2+m，解得m＝1，所以存在m，使C表示圆，所以D正确；
故选：ABD．
（多选）10．（5分）设直线l：y＝kx+1（k∈R）与圆C：x2+y2＝5，则下列结论正确的为（ ）
A．l与C可能相离
B．l不可能将C的周长平分
C．当k＝1时，l被C截得的弦长为
D．l被C截得的最短弦长为4
【解答】解：直线l：y＝kx+1（k∈R）恒过（0，1），
定点在圆的内部．圆的圆心（0，0），半径为，
所以直线不可能与圆相离，所以A不正确；
直线可能经过圆的圆心，此时直线的倾斜角为90°，所以直线不可能平分圆的周长，所以B正确；
当k＝1时，l化为x﹣y+1＝0，圆心到直线的距离为：d，弦长为：23，所以C不正确；
定点与圆心的距离为：1，最短弦长为：24，所以D正确．
故选：BD．
（多选）11．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．DP∥面AB1D1
B．三棱锥A﹣D1PC的体积为
C．平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°
D．异面直线A1P与AD1所成角的范围是
【解答】解：对于A，如图2，∵平面BDC1∥平面AB1D1，DP⊂平面BDC1，∴DP∥平面AB1D1，故A正确；
对于B，如图1，∵BC1∥AD1，∴BC1∥平面AD1C，
∴
（1×1）×1，故B错误；
对于C，如图1，∵AC⊥BD，AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D，
∵B1D⊂平面BB1D，∴B1D⊥AC，同理B1D⊥AD1，
又∵AC∩AD1＝A，∴B1D⊥平面ACD1，
∵B1D⊂平面PB1D，∴平面PB1D⊥平面ACD1，于是平面PB1D与平面ACD1所成二面角为90°，故C正确；
对于D，如图2，∵AD1∥BC1，∴异面直线A1P与AD1所成角即为A1P与BC1所成角，
∵△A1C1B是正三角形，∴A1P与BC1所成角范围是[，]，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过原点O的动直线l交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则|PF|＝2
B．若|PF|＝4，则
C．存在直线l，使得PF⊥QF
D．△PFQ面积的最小值为2
【解答】解：抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，焦点F（1，0），
若O为PQ中点，所以xP＝1，所以|PF|＝xp+1＝2，故A正确；
若|PF|＝4，则xP＝4﹣1＝3，所以，故B错误；
设P（a2，2a），则，所以，
所以，所以FP与FQ不垂直，故C错误；
，
当且仅当，即a＝±1时，取等号，
所以△PFQ面积的最小值为2，故D正确．
故选：AD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）圆x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0与圆x2+y2+2x+2y﹣8＝0的公共弦所在的直线方程为 x﹣2y+4＝0 ．
【解答】解：圆x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0与圆x2+y2+2x+2y﹣8＝0，
将两圆方程相减可得4x﹣8y+16＝0，即：x﹣2y+4＝0．
故答案为：x﹣2y+4＝0；
14．（5分）函数在其图象上的点（1，e+1）处的切线方程为 y＝（e﹣1）x+2 ．
【解答】解：由，得f′（x），
∴f′（1）＝e﹣1，
则函数在其图象上的点（1，e+1）处的切线方程为y＝（e﹣1）（x﹣1）+e+1，
即y＝（e﹣1）x+2．
故答案为：y＝（e﹣1）x+2．
15．（5分）已知（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则|a0|+|a1|+…+|a5|＝ 243 ．
【解答】解：由题意|a0|+|a1|+…+|a5|的和与二项式（2x+1）5的展开式的各项系数和相等，
则令x＝1，可得|a0|+|a1|+…+|a5|＝（2+1）5＝243，
故答案为：243．
16．（5分）已知甲、乙两人的投篮命中率都为p（0＜p＜1），丙的投篮命中率为1﹣p，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为 ．
【解答】解：设事件B为“三人每人投篮一次，则至少一人命中”，
则P（）＝p（1﹣p）2，
故P（B）＝1﹣p（1﹣p）2，
设f（p）＝1﹣p（1﹣p）2，0＜p＜1，
则f'（p）＝﹣（1﹣p）2+2p（1﹣p）＝﹣（3p﹣1）（p﹣1），
当0＜p时，f'（p）＜0，f（p）在（0，）上单调递减，
当时，f'（p）＞0，f（p）在（，1）上单调递增，
故，
故至少一人命中的概率的最小值为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚）
17．（10分）已知的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大．
（1）求展开式中第三项系数；
（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）．
【解答】解：（1）因为展开式中，只有第四项的二项式系数最大，所以n＝6，
所以二项式（2x）6的展开式的第3项的系数为C240；
（2）展开式的通项公式为TC，r＝0，1，…，6，
令12Z，解得r＝0，3，6，
所以展开式的有理项为T64x12，T，T．
18．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）法一：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，
则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，
猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．
证明如下：（i）当n＝1，2，3时，显然成立，
（ii）假设n＝k时，ak＝2k+1（k∈N+）成立，
当n＝k+1时，ak+1＝3ak﹣4k＝3（2k+1）﹣4k＝2k+3＝2（k+1）+1，故n＝k+1时成立，
由（i）（ii）知，an＝2n+1，猜想成立，
所以{an}的通项公式an＝2n+1．
法二：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，
则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，
猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．
证明：设an+1+α（n+1）+β＝3（an+αn+β），
可得an+1＝3an+2αn+2β﹣α，
∴，解得，
∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），（不能说明{an﹣2n﹣1}是等比数列）
∵a1＝3，a1﹣2×1﹣1＝0，并且a2﹣2×2﹣1＝0，所以an＝2n+1恒成立．
所以an＝2n+1．
（2）令bn＝2nan＝（2n+1）•2n，则数列{2nan}的前n项和
Sn＝3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①
两边同乘2得，2Sn＝3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②
①﹣②得，﹣Sn＝3×2+2×22+…+2×2n﹣（2n+1）2n+1
＝6（2n+1）2n+1，
所以Sn＝（2n﹣1）2n+1+2．
19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1菱形，B1C⊥A1B．
（1）证明：A1C1⊥B1C；
（2）设D为BC的中点，CA＝CB，记二面角D﹣AB1﹣C为θ，求|csθ|的值．
【解答】（1）证明：连接BC1，因为侧面BCC1B1是菱形，
则BC1⊥B1C，
因为B1C⊥A1B，A1B∩BC1＝B，A1B，BC1⊂平面A1BC1，
则B1C⊥平面A1BC1，
因为A1C1⊂平面A1BC1，
所以B1C⊥A1C1；
（2）解：因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1⊥CC1，
由（1）可得，B1C⊥A1C1，
又B1C∩CC1＝C，
则A1C1⊥平面BCC1B1，
故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设AC＝2，
则D（1，0，0），A（0，2，0），B1（2，0，2），C（0，0，0），
所以，，
设平面AB1D的法向量为，
则，
令x＝2，则y＝1，z＝﹣1，
故，
设平面AB1C的法向量为，
则，
令a＝1，则c＝﹣1，
故，
所以，
因为二面角D﹣AB1﹣C为θ，
故|csθ|的值为．
20．（12分）选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为．
（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？
（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？
【解答】解：（1）采用3局2胜制，甲获胜的可能分2：0，2：1，
因为每局的比赛结果相互独立，
所以甲乙比赛甲获胜的概率P1，
甲丙比赛甲获胜的概率P2，
（2）采用5局3胜制，甲获胜的情况有3：0，3：1或3：2，
甲乙比赛，甲获胜的概率P3＝（）30.68256，
甲丙比赛，甲获胜的概率P40.5，
因为P1＜P3，所以甲乙比赛，采用5局3胜制对甲有利，
P2＝P4，所以甲丙比赛，采用5局3胜制还是3局2胜制，甲获胜的概率都一样，
这说明比赛局数越多对实力较强者有利．
21．（12分）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，渐近线方程是：y＝±x，点A（0，b），且△AF1F2的面积为6．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|＝|AQ|，求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：的渐近线方程为y＝±x，
由题意可得，①
，②
又a2+b2＝c2，③
由①②③联立求得：a2＝5，b2＝4．
所以双曲线C的标准方程是：．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
线段PQ的中点为D（x0，y0），
y＝kx+m与联立消y，整理得（4﹣5k2）x2﹣10kmx﹣5m2﹣20＝0，，
由4﹣5k2≠0及Δ＞0，得，④
，
由|AP|＝|AQ|知，AD⊥PQ，
于是，化简得10k2＝8﹣9m，⑤
将⑤代入④解得或m＞0，
又由⑤10k2＝8﹣9m＞0，得，
综上，实数m的取值范围是，或}．
22．（12分）已知函数．
（1）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下证明：对任意n∈N*，都有；
（3）设g（x）＝（x﹣1）2ex，讨论函数F（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数．
【解答】（1）解：由f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，可得a在（0，+∞）上恒成立，
令h（x），则h'（x），
当x∈（0，1），h'（x）＞0，函数单调递增；
当x∈（1，+∞），h'（x）＜0，函数单调递减，
故h（x）在x＝1处取得极大值，也即最大值h（1）＝1，
要使得a，则a≥1，
所以，a的取值范围为[1，+∞）．
（2）证明：由（1）当a＝1时，1，即lnx＜x﹣1在x＞1时恒成立，
令x，n∈N*，则ln1，
所以lnlnln1，
所以，1ln（n+1）．
（3）解：由f（x）＝g（x）可得，a＝（x﹣1）2ex，
即a（x﹣1）2ex，
令t（x）（x﹣1）2ex，则t'（x）（x2﹣1）ex，
当x∈（0，1）时，t'（x）＞0，函数单调递增，
当x∈（1，+∞）时，t'（x）＜0函数单调递减，
所以，当x＝1时，t（x）取得最大值t（1）＝1，
因为t（）＝﹣（1）2e0，t（e）（e﹣1）2ee（e﹣1）2ee＜0，
且当x趋近于0时，t（x）趋近于﹣∞，当x趋近于+∞时，t（x）趋近于﹣∞，
所以，当a＝1时，f（x）＝g（x）只有一个根，即F（x）只有一个零点，
当a＜1时，方程f（x）＝g（x）有且仅有2个根，即F（x）有且仅有2个零点，
当a＞1时，f（x）＝g（x）没有根，即F（x）没有零点．