2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A．[0，6]B．[6，12]C．[0，6）D．（﹣1，5）
2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（）2＝32；②•（）＝0；③与的夹角为60°，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．x+y﹣1＝0B．2x﹣y+1＝0C．x﹣2y+1＝0D．x﹣y+1＝0
4．（5分）已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°．若△PF1F2的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（ ）
A．0＜q＜1B．a6＞1C．T12＞1D．T13＞1
7．（5分）若数列{an}满足，，若对任意的正整数都有an＜2，则实数m的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．4
8．（5分）若函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，则a＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有
B．是，共线的充要条件
C．若，共线，则AB//CD
D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
（多选）10．（5分）过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．B．∠A1FB1＝90°
C．直线MB∥x轴D．|AF|•|BF|的最小值是
（多选）11．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1+SnSn+1＝0，则下列说法正确的有（ ）
A．数列{an}的前n项和为Sn
B．数列{}为递增数列
C．数列{an}的通项公式为an
D．数列{an}的最大项为a1
（多选）12．（5分）若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（ ）
A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若7，则与的夹角的余弦值等于 ．
14．（5分）直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点 ．
15．（5分）设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．
16．（5分）若函数f（x）的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．DE⊥平面BCD，且．
（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．
（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．
18．（12分）在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y＝3x+3上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2﹣an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为．
（1）记，证明：{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n．
21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣a（x+1）ln（x+1）+（a﹣2）x．
（1）当a＝2时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）≥csx+1恒成立，求a的取值范围．
2022-2023学年山东省济宁一中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）定义．若向量，向量为单位向量，则的取值范围是（ ）
A．[0，6]B．[6，12]C．[0，6）D．（﹣1，5）
【解答】解：由题意知．
设与的夹角为θ，
则．
又θ∈[0，π]，
∴csθ∈[﹣1，1]．
∴，
故选：B．
2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命题：①（）2＝32；②•（）＝0；③与的夹角为60°，其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对于①（）2＝（）2+（）2+（）2+2•2•2•32，故正确，
对于②•（）•0，故②正确，
对于③∵∥，AD1，AC，D1C，分别为面的对角线，∴∠AD1C＝60°，∴与的夹角为120°，故错误，
故选：C．
3．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．x+y﹣1＝0B．2x﹣y+1＝0C．x﹣2y+1＝0D．x﹣y+1＝0
【解答】解：因为两圆的圆心坐标分别为（1，0），（﹣1，2），那么过两圆圆心的直线为：，
即：x+y﹣1＝0，与公共弦垂直且平分．
故选：A．
4．（5分）已知椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°．若△PF1F2的内切圆面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据勾股定理得到：，即，
△PF1F2的内切圆面积为，故，
根据等面积法得到：，
故，4a2﹣2ac﹣2c2＝4c2，即3e2+e﹣2＝0，解得或e＝﹣1（舍去）．
故选：C．
5．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则Q与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【解答】解：∵P是焦点为F1、F2的椭圆上一点，PQ∠F1PF2的外角平分线，QF1⊥PQ，
设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，
∴|PM|＝|PF1|，
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝|PM|+|PF2|＝2a＝10，
由题意知OQ是△F1F2M的中位线，
∴|OQ|＝a＝5，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，以5为半径的圆，
∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离d＝a﹣b＝5﹣4＝1．
故选：D．
6．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是（ ）
A．0＜q＜1B．a6＞1C．T12＞1D．T13＞1
【解答】解：∵等比数列{an}的各项均为正数，a1＞1，a6+a7＞a6a7+1＞2，
∴（a6﹣1）（a7﹣1）＜0，
∵a1＞1，若a6＜1，则一定有a7＜1，不符合，
由题意得a6＞1，a7＜1，∴0＜q＜1．
∵a6a7+1＞2，∴a6a7＞1，
T12＝a1a2a3…a12＝（a6a7）6＞1，
T13＝a713＜1，
∴满足Tn＞1的最大正整数n的值为12．
故选：D．
7．（5分）若数列{an}满足，，若对任意的正整数都有an＜2，则实数m的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【解答】解：∵，∴，
若m＞2，则，则an+1＞an+m﹣2，
则an＞a1+（n﹣1）（m﹣2），那么an可以无限的大下去，不符合题意；
若m＝2，则an+1﹣an＞0，则an+1＞an，数列{an}是递增数列，
又，故an＞0，
又，故an+1﹣2与an﹣2同号，则an＜2恒成立，符合题意，
故选：C．
8．（5分）若函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，则a＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【解答】解：∵f'（x）＝ex+（x+a）ex＝（x+a+1）ex，
函数f（x）＝（x+a）ex的极值点为1，
f′（1）＝0，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）给出下列命题，其中是假命题的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间中的任意四点，则有
B．是，共线的充要条件
C．若，共线，则AB//CD
D．对空间中的任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
【解答】解：由向量的加法运算，显然A是真命题；
若，共线，则（同向）或（反向），故B是假命题；
只有当x+y+z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故D是假命题，
若，共线，则直线AB，CD平行或重合，故C是假命题，
故选：BCD．
（多选）10．（5分）过抛物线y2＝3x的焦点F的直线与抛物线交于A（x1，y1）（y1＞0），B（x2，y2）两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，AO交准线于点M（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．B．∠A1FB1＝90°
C．直线MB∥x轴D．|AF|•|BF|的最小值是
【解答】解：由题意可知，抛物线y2＝3x的焦点F的坐标为，
准线方程为，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为，
代入y2＝3x，得，
所以，
则，
所以，故A错误，
因为三点共线，
所以，所以，
又，所以yM＝y2，
所以直线MB∥x轴，所以C正确，
由题意可得A1，B1的坐标分别为，
所以，
所以∠A1FB1＝90°，所以B正确，
设直线AB的倾斜角为θ（θ≠0），则，
所以，
当且仅当AB⊥x轴时取等号，所以D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）设Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，an+1+SnSn+1＝0，则下列说法正确的有（ ）
A．数列{an}的前n项和为Sn
B．数列{}为递增数列
C．数列{an}的通项公式为an
D．数列{an}的最大项为a1
【解答】解：由an+1+SnSn+1＝0，得Sn+1﹣Sn＝﹣SnSn+1，
∴，即，
又，∴数列{}为以1为首项，以1为公差的等差数列，
则，可得，故AB正确；
当n≥2时，，
∴，∴数列{an}的最大项为a1，故C错误，D正确．
故选：ABD．
（多选）12．（5分）若直线是函数f（x）图象的一条切线，则函数f（x）可以是（ ）
A．B．f（x）＝x4C．f（x）＝sinxD．f（x）＝ex
【解答】解：直线的斜率为k，
由f（x）的导数为f′（x），即有切线的斜率小于0，故A不能选；
由f（x）＝x4的导数为f′（x）＝4x3，而4x3，解得x，故B可以选；
由f（x）＝sinx的导数为f′（x）＝csx，而csx有解，故C可以选；
由f（x）＝ex的导数为f′（x）＝ex，而ex，解得x＝﹣ln2，故D可以选．
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若7，则与的夹角的余弦值等于 ．
【解答】解：由题意得：
9＝（）229+4﹣2，
∴2，
∵7，
∴•（）

＝6
＝6，
∴2，∴4，
∴与的夹角的余弦值为cs．
故答案为：．
14．（5分）直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒过定点 （﹣2，3） ．
【解答】解：直线（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0，即 a（x+2）+（﹣x﹣y+1）＝0，
令x+2＝0，求得y＝3，可得此直线经过定点（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
15．（5分）设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 （3，） ．
【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：1的a＝6，b＝2，c＝4，
e，
由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|，
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c，
即有6m＝8，即m＝3，n；
6m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去．
可得M（3，）．
故答案为：（3，）．
16．（5分）若函数f（x）的最大值为f（﹣1），则实数a的取值范围为 [0，2e3] ．
【解答】解：x＜0时，f（x）≤f（﹣1）＝a﹣2，
x＞0时，alnx﹣x2﹣2≤a﹣2，即a（lnx﹣1）≤x2，
x＝e时，a（lnx﹣1）≤x2恒成立，此时a∈R，
0＜x＜e时，恒成立，
令g（x），则单调递减，
且x→0时，g（x）→0，所以a≥0，
x＞e时，恒成立，令h（x），x＞e，则，
当时，h′（x）＜0，时，h′（x）＞0，
所以，从而a≤2 e3，
综上，a∈[0，2 e3]，
故答案为：[0，2 e3]．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂直．DE⊥平面BCD，且．
（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．
（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．
【解答】解：（1）证明：取BC的中点O，连接AO，DO，AD，
∵△ABC是正三角形，
∴OA⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，OA⊂平面ABC，
∴OA⊥平面BCD．
∵OD⊂平面BCD，
∴OA⊥OD．
在Rt△AOD中，，
∴．
又，
∴△ADE为等腰三角形．
∵P是DE的中点，
∴AP⊥DE．
∵DE⊥平面BCD，
∴OA∥DE，
∴AP⊥OA，
∴AP∥OD．
∵OD⊂平面BCD，AP⊄平面BCD，
∴AP∥平面BCD．
（2）由（1）知，OA∥DP，AP∥OD，
∴四边形APDO为平行四边形，
∴，
∴．
以点O为坐标原点，以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系O﹣xyz，
则，，
∴．
设平面ABE的法向量为，
则，则可取．
设平面ACE的法向量为，
则，则可取，
∴．
设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，则，
∴二面角B﹣AE﹣C的正弦值为．
18．（12分）在△ABC中，A（3，2），B（﹣1，5），点C在直线y＝3x+3上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．
【解答】解：设点C在直线AB的距离为d，由题意知，，
∵，∴d＝4，
直线AB的方程为，
即3x+4y﹣17＝0，∵C在点直线3x﹣y+3＝0上，
设C（x0，3x0+3），∴，
∴3x0﹣1＝±4，∴x0＝﹣1或，
∴C点的坐标为（﹣1，0）或．
19．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2﹣an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn＝4an+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）∵Sn＝2﹣an，∴Sn﹣1＝2﹣an﹣1（n≥2），两式相减得：an＝an﹣1﹣an，即anan﹣1，n≥2，
又当n＝1时，有S1＝2﹣a1，解得：a1＝1，
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，
故an＝（）n﹣1；
（2）由（1）知：cn＝4an+1＝（）n﹣3+1，
∴Tn＝[（）﹣2+（）﹣1+…+（）n﹣3]+nn＝8+n﹣23﹣n．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为．
（1）记，证明：{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
（2）记数列{an}的前n项和为Tn，求Tn，并求使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n．
【解答】解：（1）∵，即，
∴，
∴，
∴．
又，则bn+1﹣bn＝2，
又∵，∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴bn＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1；
（2）由（1）得bn＝2n﹣1，则．
∴①，②，
由①﹣②得2﹣2（n﹣1）×3n﹣2n，
∴，
又，
∵n∈N*，∴，
∴是递增数列，且，
∴使不等式Tn＜2022成立的最大正整数n为5．
21．（12分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【解答】解：（1）∵M，N分别为线段PF1，PF2的中点，O是坐标原点，
∴，
∴四边形OMPN的周长为|PM|+|OM|+|PN|+|ON|＝|PF2|+|PF1|＝2a＝4，
∴a＝2，
∴，
∴，
∴，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，
代入，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
则Δ＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，．
易知A（2，0），∴，
化简得12k2+16km+5m2＝0，∴或m＝﹣2k（舍去），∴直线l的方程为，即，直线l过定点．
当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t（﹣2＜t＜2），
代入，解得，
由得AD⊥AE，∴，解得或t＝2（舍去），
此时直线l过点．
综上，直线l过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣a（x+1）ln（x+1）+（a﹣2）x．
（1）当a＝2时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）≥csx+1恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝2ex﹣2（x+1）⋅ln（x+1）（x＞﹣1），
则f′（x）＝2ex﹣2ln（x+1）﹣2，令g（x）＝2ex﹣2ln（x+1）﹣2，则，
因为为增函数，g′（0）＝0，
所以当x＞0时，g′（0）＞0，则g（x）单调递增；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，则g（x）单调递减，故g（x）≥g（0）＝0，即f′（x）≥0，
所以当a＝2时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
（2）令m（x）＝f（x）﹣csx﹣1＝2ex﹣a（x+1）⋅ln（x+1）+（a﹣2）x﹣csx﹣1，x∈[0，π]，
当x∈[0，π]时，f（x）≥csx+1恒成立等价于m（x）≥0恒成立，
因为m′（x）＝f′（x）+sinx＝2ex﹣aln（x+1）+sinx﹣2，
（i）当a≤0时，m′（x）＞0，函数m（x）在[0，π]上单调递增，
所以m（x）≥m（0）＝0在[0，π]上恒成立，符合题意；
（ii）当a＞0时，设h（x）＝2ex﹣aln（x+1）+sinx﹣2，x∈[0，π]，
则h′（x）＝2excsx，h″（x）0恒成立，
所以h′（x）在[0，π]上单调递增，h′（0）＝2﹣a+1＝3﹣a，
①当3﹣a≥0即0＜a≤3时，h′（x）≥h′（0）＝3﹣a≥0，
函数y＝m′（x）在[0，π]上单调递增，所以m′（x）≥m′（0）＝0在[0，π]上恒成立，
所以函数m（x）在[0，π]上单调递增，所以m（x）≥m（0）＝0在[0，π]上恒成立，符合题意；
②当3﹣a＜0即a＞3时，h′（0）＝3﹣a＜0，h′（π）＝2eπ1，
若h′（π）≤0，即a≥（π+1）（2eπ﹣1）时，h′（x）在[0，π]上恒小于等于0，
则m′（x）在[0，π]上单调递减，m′（x）≤m′（0）＝0，m（x）在[0，π]上单调递减，m（x）≤m（0）＝0，不符合题意；
若h′（π）＞0，即1＜a＜（π+1）（2eπ﹣1）时，存在x0∈[0，π]，使得h′（x0）＝0，
所以当x∈[0，x0）时，h′（x）＜0，则m′（x）在[0，x0）上单调递减，
当x∈[0，π]时，存在m′（x）＜m′（0）＝0，此时存在m（x）≤m（0）＝0不符合题意，
所以a的取值范围是（﹣∞，3]．