2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知空间向量，，m，n∈R，若，则m﹣n＝（ ）
A．2B．﹣2C．14D．﹣14
2．（5分）设直线l的斜率为k，且﹣1≤k，求直线l的倾斜角α的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为（ ）
A．B．﹣2C．D．﹣4
4．（5分）已知等比数列{an}的前n项积Tn满足，则T9＝（ ）
A．128B．256C．512D．1024
5．（5分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012⋅a1013＜0”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（5分）设P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2＝4上的动点，d是点P到直线y＝﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．1
8．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
（多选）9．（5分）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
（多选）11．（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…．设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（ ）
A．S6＝56
B．an+1﹣an＝n
C．a2023＝1012×2023
D．
（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，λ∈[0，1]，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（ ）
A．CN与QM异面
B．三棱锥A﹣DMN的体积跟λ的取值无关
C．不存在λ使得AM⊥QM
D．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，若l1⊥l2，则实数m＝ ．
14．（5分）已知数列{an}满足a1＝2，，则a2023＝ ．
15．（5分）已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，若点B（m，0，2﹣m）在平面α内，则m＝ ．
16．（5分）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，，，设，，．
（1）试用，，表示，；
（2）求MN的长度．
18．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
19．（12分）已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1．
（1）若数列{an}为等差数列，S10＝70，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为等比数列，a4，求满足Sn＞100an时n的最小值．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且ADCE＝1，M为棱A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；
（Ⅱ）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值；
（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
21．（12分）已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2且n∈N*），且a2＝4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．
22．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e，直线l的方程为x＝4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
2022-2023学年山东省临沂一中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（5分）已知空间向量，，m，n∈R，若，则m﹣n＝（ ）
A．2B．﹣2C．14D．﹣14
【解答】解：，则，即（﹣4，m，n）＝λ（2，﹣3，4）＝（2λ，﹣3λ，4λ），
∴，解得λ＝﹣2，m＝6，n＝﹣8，则m﹣n＝14，
故选：C．
2．（5分）设直线l的斜率为k，且﹣1≤k，求直线l的倾斜角α的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：直线l的斜率为k，且﹣1≤k，
∴﹣1≤tanα，α∈[0，π），
∴α∈[0，）∪[，π），
故选：D．
3．（5分）抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为（ ）
A．B．﹣2C．D．﹣4
【解答】解：由题意得抛物线的标准方程为，准线方程为，
又准线方程是y＝1，则，解得，
故选：C．
4．（5分）已知等比数列{an}的前n项积Tn满足，则T9＝（ ）
A．128B．256C．512D．1024
【解答】解：等比数列{an}的前n项积Tn，，
所以a5＝2，
所以．
故选：C．
5．（5分）由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设双曲线的一个焦点为（0，﹣c），一条渐近线方程为，即ax﹣by＝0，
则焦点到渐近线的距离d，
∵2，c2＝a2+b2，b＝2，
∴，b2＝4，
∴双曲线方程为：．
故选：B．
6．（5分）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012⋅a1013＜0”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由S2024＜0，S2025＞0可得{an}单调递增，且公差大于0，
故S2023＜0，，
即a1+a2023＝2a1012＜0，a1+a2025＝2a1013＞0，即a1012＜0，a1013＞0，因此a1012⋅a1013＜0，
当a1012＞0，a1013＜0时，此时{an}单调递减，则不可能满足S2024＜0，S2025＞0，
因此“S2024＜0，S2025＞0”是“a1012⋅a1013＜0”的充分不必要条件，
故选：C．
7．（5分）设P是抛物线C1：x2＝4y上的动点，M是圆C2：（x﹣5）2+（y+4）2＝4上的动点，d是点P到直线y＝﹣2的距离，那么d+|PM|的最小值是（ ）
A．2B．1C．D．1
【解答】解：圆（x﹣5）2+（y+4）2＝4的圆心（5，﹣4），半径为2．
抛物线x2＝4y的准线方程为：y＝﹣1，
如图：
d为P到y＝﹣2的距离，P为抛物线x2＝4y上一动点，
M为（x﹣5）2+（y+4）2＝4上一动点，
d+PM最小值就是FC2的连线与抛物线的交点是P，与圆的交点为M，
过P作PN垂直直线y＝﹣1的交点为N，
有抛物线的定义可知：PF＝PN，即1+|PF|+|PM|的最小值就是d+PM最小值，
∵F（0，1），C2（5，﹣4），
∴|FC2|5，
∴d+|PM|≥1+|FC2|﹣2＝51
所以d+PM最小值为51，
故选：B．
8．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）与双曲线1（m＞0，n＞0）具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：设|PF1|＝s，|PF2|＝t，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t＝2a，s﹣t＝2m，
解得s＝a+m，t＝a﹣m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2，
可得4c2＝s2+t2﹣2stcsa2+m2+2am+a2+m2﹣2am﹣（a2﹣m2），
即有a2+3m2＝4c2，
可得4，
即为4，
则3e12+e22（）（3e12+e22）（6）
（6+2）＝3，当且仅当，即e22＝9e12，取得最小值3．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
（多选）9．（5分）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A．若，则，的夹角是钝角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
【解答】解：对于A，若，则，的夹角θ满足csθ＜0，
所以θ是钝角或θ＝π，所以选项A错误；
对于B，因为•1﹣2+3＝0，所以⊥，选项B正确；
对于C，根据向量的数量积定义知，••时，不一定成立，选项C错误；
对于D，因为λμ，所以向量、、不共面，
，，可以作为空间中的一组基底，选项D正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝1．（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
【解答】解：A．若m＞n＞0，则，则根据椭圆定义，知1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
B．若m＝n＞0，则方程为x2+y2，表示半径为的圆，故B错误；
C．若m＜0，n＞0，则方程为1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，
若m＞0，n＜0，则方程为1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y＝±x，
故C正确；
D．当m＝0，n＞0时，则方程为y＝±表示两条直线，故D正确；
故选：ACD．
（多选）11．（5分）如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法．商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…．设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则（ ）
A．S6＝56
B．an+1﹣an＝n
C．a2023＝1012×2023
D．
【解答】解：由题意得a1＝1，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，•••，an﹣an﹣1＝n，
由以上式子累加得an＝1+2+•••+n（n≥2），
∵a1＝1满足上式，∴an，
由已知a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，a6＝21，
∴S6＝a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1+3+6+10+15+21＝56，故A正确；
∵an﹣an﹣1＝n，则an+1﹣an＝n+1，故B错误；
由通项公式得a20231012×2023，故C正确；
∵，
∴2（1）＝2（1），故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为底面ABCD的中心，Q是棱A1D1上一点，且，λ∈[0，1]，N为线段AQ的中点，则下列命题正确的是（ ）
A．CN与QM异面
B．三棱锥A﹣DMN的体积跟λ的取值无关
C．不存在λ使得AM⊥QM
D．当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为
【解答】解：对于A，连接AC，CQ，则M，N分别为AC，AQ的中点，MN为△AQC的中位线，
∴MN∥CQ，则CN，QM共面，故A错误；
对于B，VA﹣DMN＝VN﹣ADM为定值，故B正确；
对于C，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则D1（0，0，2），A1（2，0，2），
∵Q是棱A1D1上一点，且，λ∈[0，1]，∴Q（2λ，0，2），
（﹣1，1，0），（1﹣2λ，1，﹣2），
2λ﹣1+1＝2λ，λ＝0时，AM⊥QM，故C错误；
对于D，当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面为梯形ACFQ，如图，
AG，QG，
∴当时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的面积为：
S，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知两直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，若l1⊥l2，则实数m＝ ﹣1或 ．
【解答】解：因为l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5＝0，l2：6x+（2m﹣1）y＝5，且l1⊥l2，
所以6（m+2）+（m+3）（2m﹣1）＝0，即2m2+11m+9＝（2m+9）（m+1）＝0，
解得m＝﹣1或，
所以m＝﹣1或．
故答案为：﹣1或．
14．（5分）已知数列{an}满足a1＝2，，则a2023＝ 2 ．
【解答】解：求不动点，设，令f（x）＝x得：，化简得：x2+x+1＝0，
显然该方程无解，这种情况下{an}一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，
由题意，a1＝2，
所以，，，，，，
从而{an}是以6为周期的周期数列，故a2023＝a337×6+1＝a1＝2．
故答案为：2．
15．（5分）已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，若点B（m，0，2﹣m）在平面α内，则m＝ ﹣2 ．
【解答】解：平面α的一个法向量，点A（﹣1，﹣3，0）在平面α内，
点B（m，0，2﹣m）在平面α内，
∴（m+1，3，2﹣m），
∴2（m+1）﹣6+2﹣m＝0，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（5分）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是 3 ．
【解答】解：设△APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为M，N，
则|AM|＝|AN|，|F1M|＝|F1Q|，|PQ|＝|PN|，
又由△OAF1≅△OAF2，∴|AF1|＝|AF2|，
∴|F1Q|＝|F1M|＝|F2N|＝|F2P|+|PN|＝|F2P|+|PQ|，
∴|PF1|﹣|PF2|＝|F1Q|+|PQ|﹣|PF2|＝|F2P|+2|PQ|﹣|PF2|＝2|PQ|＝2，
又|PF1|﹣|PF2|＝2a，则2a＝2，∴a＝1，
又|F1F2|＝6，∴2c＝6，∴c＝3，
∴双曲线的离心率，
故答案为：3．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）如图所示，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，，，设，，．
（1）试用，，表示，；
（2）求MN的长度．
【解答】（1）连接AM，AN，如图所示：
∵，，，，，
∴，，，，；
（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠DAB＝∠A1AB＝∠DAA1＝60°，
则，
又，
∴，
∴，
故MN的长度为．
18．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若圆C的圆心为点（3，0），直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
【解答】解：（1）由题意知，解得，
∴直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点为（2，1）；
设直线l的斜率为k，∵l与直线x+y﹣2＝0垂直，∴k＝1；
∴直线l的方程为y﹣1＝（x﹣2），
化为一般形式为x﹣y﹣1＝0；
（2）设圆C的半径为r，则圆心为C（3，0）到直线l的距离为
d，
由垂径定理得r2＝d2+（|AB|）2＝（）2+（2）2＝4，
解得r＝2，
∴圆C的标准方程为（x﹣3）2+y2＝4．
19．（12分）已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，a1＝1．
（1）若数列{an}为等差数列，S10＝70，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an}为等比数列，a4，求满足Sn＞100an时n的最小值．
【解答】解：（1）数列{an}为公差为d的等差数列，S10＝70，a1＝1，
可得1010×9d＝70，解得d，
则an＝1（n﹣1）n；
（2）数列{an}为公比为q的等比数列，a4，a1＝1，
可得q3，即q，
则an＝（）n﹣1，Sn2﹣（）n﹣1，
Sn＞100an，即为2﹣（）n﹣1＞100•（）n﹣1，
即2n＞101，可得n≥7，即n的最小值为7．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且ADCE＝1，M为棱A1B1的中点．
（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；
（Ⅱ）求二面角B﹣B1E﹣D的正弦值；
（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．
【解答】证明：（I）以C为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，3），A1（2，0，3），
B1（0，2，3），D（2，0，1），E（0，0，2），M（1，1，3），
∴，
∴，∴C1M⊥B1D；
解：（Ⅱ）依题意，是平面BB1E的一个法向量，
，
设为平面DB1E的法向量，则，即，
不妨设x＝1，则，
∴，
∴，
∴二面角B﹣B1E﹣D的正弦值；
（Ⅲ）依题意，，
由（Ⅱ）知，为平面DB1E的一个法向量，
∴，
∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为．
21．（12分）已知数列{an}满足a1+a2+⋯+an﹣1﹣an＝﹣2（n≥2且n∈N*），且a2＝4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为Tn，求证：．
【解答】（1）解：因为a1+a2+⋯+an﹣1﹣an＝﹣2，
所以a1+a2+⋯+an﹣an+1＝﹣2，
两式相减得an+1＝2an（n≥2），
当n＝2时，a1﹣a2＝﹣2，又a2＝4，所以a1＝2，a2＝2a1，
所以，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以；
（2）证明：，
所以，
由n≥1，得 2n+1≥4，得2n+1﹣1≥3，得，得，
所以，
综上所述，．
22．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e，直线l的方程为x＝4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得 ①
由离心率e得，即a＝2c，则b2＝3c2②，代入①解得c＝1，a＝2，b
故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k（x﹣1）③
代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2， ④
在方程③中，令x＝4得，M的坐标为（4，3k），
从而，，k
注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有k
所以k1+k2（）
＝2k ⑤
④代入⑤得k1+k2＝2k2k﹣1
又k3＝k，所以k1+k2＝2k3
故存在常数λ＝2符合题意
方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为
令x＝4，求得M（4，）
从而直线PM的斜率为k3，
联立，得A（，），
则直线PA的斜率k1，直线PB的斜率为k2
所以k1+k222k3，
故存在常数λ＝2符合题意