初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程多媒体教学ppt课件

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程多媒体教学ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了专题目录，专题一配方法的应用，专题四几何动点问题，配方变形，两个不相等的实数根，两个相等的实数根，两个实数根，没有实数根，Δ≥0，类型一数字问题等内容，欢迎下载使用。
专题二：根的判别式的运用
专题五：一元二次方程实际应用(补充)
专题三：根与系数的关系
类型一 判断代数式的正负或求最值
1. 对于任意实数 x ，多项式 -x2 + 2x - 3 的值是一个 ( )A.正数B.负数C.非负数D.不能确定
-(x - 1)2 - 2≤-2
方法点拨：求二次多项式 ax2 - bx + c 的最值或判断其正负性时，需要把它配方成 a(x + h)2 + k 的形式来解决.当 a < 0，x = -h 时，该二次多项式有最大值 k ；当 a > 0，x = -h 时，该二次多项式有最小值 k .
1.已知代数式 4m2 - 4(m + 1) + 9 .(1) 试说明:不论 m 取任何实数，代数式的值总是正数；(2) 当 m 为何值时，此代数式的值最小？并求出这个最小值.
解：(1) 4m2 - 4(m + 1)+9 = 4m2 - 4m - 4 + 9 = (2m - 1)2 + 4≥4，∴不论 m 为何值时，代数式的值总为正数.(2) 由 4m2 - 4(m + 1)+9 = (2m - 1)2 + 4≥4，当 ， 此代数式的值最小，最小为 4.
类型二 利用配方法构造非负数求值
1.已知 x2 + y2 - 4x + 6y + 13 = 0 ，则 (x + y)2024=______.
x2 + y2 - 4x+6y+13 = 0
(x - 2)2+(y + 3)2 = 0
x = 2，y = -3
1. 已知 m，n 是 △ABC 的两条边长，且满足 10m2 + 4n2 + 4 = 12mn + 4m，若该三角形的第三条边长 k 的值是奇数，求 k 的值.
解：∵ 10m2 + 4n2 + 4 = 12mn + 4m，等式整理得 9m2 -12mn + 4n2 + m2 -4m + 4 = 0，∴ (3m - 2n)2 + (m - 2)2 = 0
∴ 1 ＜ k ＜5，即 k = 3.
例1 (武汉江汉区期中) 关于 x 的方程 kx2 + (2k - 1)x + k - 3 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是 ( )A.B. C. D.
根的判别式的应用：Δ=b2 - 4ac 根据根的不同情况，利用判别式列出含未知数的不等式，求出未知数取值范围.
1.(潜江月考) 关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x + k = 0 有实数根. (1) 求 k 的取值范围； (2) 如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 (m - 1)x2 + x + m - 3 = 0 与 x2 - 3x + k = 0 有一个相同的根， 求此时 m ，求此时 m 的值.
解：(1) 根据题意得：Δ=(-3)2 - 4k ≥ 0，解得 .
(2) 满足条件的 k 的最大整数为 2，此时方程 x2 - 3x + k = 0 变形为方程 x2 - 3x + 2 = 0，解得 x1 = 1，x2 = 2.当相同的解为 x = 1 时，把 x = 1 代入方程 (m - 1)x2 + x + m - 3 = 0 ，得 m = .
例1 关于 x 的方程 (k﹣1)x2 + 2kx + 2 ＝ 0．(1) 求证：无论 k 为何值，方程总有实数根．(2) 设 x1，x2 是方程 (k﹣1)x2 + 2kx + 2＝0 的两个根，记 ，S 的值能为 2 吗？若能，求出此时 k 的值；若不能，请说明理由．
解：(1) 当 k = 1，原方程可化为 2x + 2 = 0， 解得 x = -1，此时该方程有实数根；当 k ≠ 1 时，方程是一元二次方程．∴ Δ = (2k)2 - 4(k - 1)×2 = (k - 1)2 + 4 ＞ 0， 即无论 k 为何值，方程总有实数根(2) 由根与系数的关系可知，
将 x1 + x2、x1x2 代入整理得：k2 - 3k + 2 = 0，
解得：k = 1(舍) 或 k = 2，∴S 的值能为 2，此时 k = 2.
例2 (武汉中考改编)已知 a，b 是方程 x2 - 3x - 5 ＝ 0 的两根．(1) 求 a2 - 4a - b 的值；(2) 求 的值；(3) 求 2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1 的值.
解：∵ a，b 是方程 x2 - 3x - 5 ＝ 0 的两根，∴ a2 - 3a - 5＝0，b2 - 3b - 5＝0，a + b = 3.∴ a2 - 3a ＝ 5，b2 ＝ 3b + 5.(1) a2 - 4a - b = a2 - 3a - (a + b) = 5 - 3 = 2.(2) 易得 a≠0，(3) 2a3 - 6a2 + b2 + 7b + 1 = 2a(a2 - 3a) + 3b + 5 + 7b + 1 = 10a + 10b + 6 = 10(a + b) + 6 = 36.
根与系数的关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么
1.设 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0 的两个实数根．(1) 求 m 的取值范围；(2) 若 x12 + x22 = | x1 | + | x2 | + x1x2，求 m 的值.
解：(1) 依题意得可知 Δ≥0，即 4(m + 1)2 - 4(m2 + 3)≥0，∴m≥1．(2) 依题意得可知 x1 + x2 = 2(m + 1)，x1x2 = m2 + 3.∵ m≥1，∴ x1 + x2＞0，x1x2＞0.∴ x1＞0，x2＞0.∵ x12 + x22 = | x1 | + | x2 | + x1x2 .∴ (x1 + x2)2 = x1 + x2 + 3x1x2 .∴ 4(m + 1)2 = 2(m + 1) + 3(m2 + 3) .整理得 m2 + 6m - 7 = 0 ，解得 m = 1 或 m = -7. ∵ m≥1，∴ m = 1.
例1 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6 cm， BC = 8 cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动.若 P、Q 两点同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，P、Q 两点同时停止运动，当 △PQB 的面积是 △ABC 的面积的三分之一，运动时间为 ( ) A. 4 sB. 2 sC. 2 s 或 4 sD. 3 s 或 4 s
几何动点问题： 常考几何动点问题与求面积公式、线段之间关系式等相结合，设出合理的未知数，列出对应方程，这类问题便迎刃而解.
1.(孝感孝南区月考改编)如图，在矩形 ABCD 中，AB = 16 cm，AD = 6 cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，点 P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 为止，点 Q 以 2 cm/s 的速度向 D 移动.经过多长时间后，点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm?
解：设经过 t s 后，点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm.如图，过点 P 作 PE ⊥CD 交 CD 于 E，则四边形 APED 是矩形，DE = AP = 3t cm. QE = |DQ| = |16 - 5t | cm.在 Rt△PQE 中，PE² + QE² = PQ²，可得 6² + (16 - 5t)² = 102，解得 t1 = 1.6，t₂ = 4.8.答：经过 1.6 s 或 4.8 s 后，点 P 和点 Q 的距离是10 cm.
解：设三个连续的自然数的中间一个为 x，则前后为 x - 1，x + 1.(x - 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 8(x - 1 + x + x + 1)+ 2 ，整理得 x2 - 8x = 0. 解得 x1 = 0，x2 = 8.检验 x1 = 0 不符合题意舍去.∴三个自然数的平方和为 72 + 82 + 92 = 194.
1. 三个连续的自然数的平方和比它们的和的 8 倍还多 2，求三个自然数的平方和.
解：设这个最小数为 x，则最大数为(x + 8)，依题意得：x(x + 8) = 65.整理得：x2 + 8x - 65 = 0.解得：x1 = 5，x2 = -13(不合题意，舍去).答：这个最小数为 5.
1. (山西) 在本月日历表上可以用一个方框圈出 4 个数 (如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为 65，求这个最小数(请用方程知识解答).
例1 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元.
解：设每个粽子的定价为 x 元时，每天的利润为 800 元，根据题意，得 .解得 x1 = 7，x2 = 5.售价不能超过进价的 200%，x≤3×200%， 即 x≤6，x = 5.答：每个粽子的定价为 5 元时，每天的利润为 800 元.
1. (重庆)某工厂有甲、乙两个车间、甲车间生产 A 产品.乙车间生产 B 产品.去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出.已知 A 产品的销售单价比 B 产品的销售单价高 100 元，1 件 A 产品与 1 件 B 产品售价和为 500 元.(1) A 、 B 两种产品的销售单价分别是多少元?
解：(1) 设 B 产品的销售单价为 x 元， 则 A 产品的销售单价为 (x + 100) 元，依题意得：x + 100 + x = 500.解得：x = 200，∴x + 100 = 300.答：A、B 产品的销售单价分别为 300 元、200 元.