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    安徽省合肥市第六中学2022届高三上学期一模理科数学试题
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    安徽省合肥市第六中学2022届高三上学期一模理科数学试题

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    这是一份安徽省合肥市第六中学2022届高三上学期一模理科数学试题,共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题(本大题共12小题)
    1. 复数等于
    A.B.C.D.
    2. 已知集合,则
    A.B.C.D.
    3. 函数的图象是
    A.B.
    C.D.
    4. 已知两个单位向量和夹角为,则向量在向量方向上的投影为
    A.B.C.D.
    5. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的标准方程为
    A.B.
    C.D.
    6. 在长方体中,与所成的角为30°,则
    A.B.3C.D.
    7. 学校就如程序中的循环体,送走一届,又会招来一级.老师们目送着大家远去,渐行渐远…….执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的结果为
    A.2B.3C.4D.5
    8. 从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是( )
    A.B.C.D.
    9. 的展开式中项的系数是( )
    A.420B.-420C.1680D.-1680
    10. 将函数,的图象向左平移个单位,得到函数的图像,若在上为增函数,则的最大值为( )
    A.1B.2C.3D.4
    11. 已知函数,(,为实数),若存在实数,使得对任意恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    12. 设F,B分别为椭圆的右焦点和上顶点,O为坐标原点,C是直线与椭圆在第一象限内的交点,若,则椭圆的离心率是( )
    A.B.C.D.
    二、填空题(本大题共4小题)
    13. 曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为 .
    14. 若变量,满足约束条件,则的取值范围是 .
    15. 在中,角所对的边分别为,若.当时,的面积是 .
    16. 四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是以为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥的体积取值范围为,则该四棱锥外接球表面积的取值范围是 .
    三、解答题(本大题共7小题)
    17. 已知数列满足.
    (1)若,证明是等差数列;
    (2)设,数列的前项和为,若,求.
    18. 某汽车公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计,结果如表;
    (1)可用线性回归模型拟合与之间的关系吗?如果能,请求出关于的线性回归方程,如果不能,请说明理由;
    (2)公司决定再采购两款车扩大市场, 两款车各100辆的资料如表:
    平均每辆车每年可为公司带来收入元,不考虑采购成本之外的其他成本,假设每辆车的使用寿命部是整数年,用每辆车使用寿命的频率作为概率,以每辆车产生利润的平均数作为决策依据,应选择采购哪款车型?
    参考数据: ,,,.
    参考公式:相关系数;
    回归直线方程为,其中,.
    19. 如图,在四棱锥中,底面,,点为棱的中点.
    (1)证明:;
    (2)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值.
    20. 已知的直角顶点在轴上,点为斜边的中点,且平行于轴.
    (Ⅰ)求点的轨迹方程;
    (Ⅱ)设点的轨迹为曲线,直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,求的最大值.
    21. 已知函数
    (1)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;
    (2)若函数对恒成立,求实数的取值范围.
    22.
    在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线的参数方程为.以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
    (1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
    (2)已知点.若点的极坐标为,直线经过点且与曲线相交于,两点,求,两点间的距离的值.
    23. 已知函数.
    (1)求不等式的解集;
    (2)关于的不等式的解集不是空集,求实数的取值范围.
    参考答案
    1.【答案】A
    【详解】
    由复数的运算法则:.
    本题选择A选项.
    2.【答案】C
    【分析】
    首先求得集合A,然后进行交集运算即可.
    【详解】
    求解函数的定义域可得:,
    结合交集的定义有:.
    本题选择C选项.
    3.【答案】A
    【详解】
    试题分析:由偶函数排除B、D,排除C.故选A.
    考点:函数的图象与性质.
    4.【答案】D
    【分析】
    由题意首先求得的值,然后求解向量在向量方向上的投影即可.
    【详解】
    由题意可知:,
    则,

    据此可得向量在向量方向上的投影为.
    本题选择D选项.
    5.【答案】D
    【分析】
    由题意得到关于m的方程,解方程求得m的值即可确定双曲线方程.
    【详解】
    由题意可得:,
    则实轴长为:,虚轴长为,
    由题意有:,解得:,
    代入可得双曲线方程为.
    本题选择D选项.
    6.【答案】D
    【详解】
    分析:连接,由可得是异面直线与所成的角,再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出.
    详解:如图所示,连接,

    是异面直线与所成的角,即,
    在中,,
    在中,有,即.
    故选D.
    点睛:(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
    (2)求异面直线所成的角的三步曲:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意,但要灵活,经常选择“端点、中点、等分点”,通过作三角形的中位线,平行四边形等进行平移,作出异面直线所成的角,转化为解三角形问题,进而求解.
    7.【答案】C
    【分析】
    由题意结合流程图运行程序确定输出的值即可.
    【详解】
    结合流程图可知程序运行过程如下:首先初始化数据:,,
    此时满足,执行;
    此时满足,执行;
    此时满足,执行;
    此时不满足,输出的值为.
    本题选择C选项.
    8.【答案】C
    【详解】
    分析:根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.
    详解:由题得恰好是2个白球1个红球的概率为.
    故答案为C.
    点睛:(1)本题主要考查古典概型,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数;②求出事件A所包含的基本事件数;③代公式=.
    9.【答案】A
    【详解】
    表示的是8个相乘,要得到,则其中有2个因式取,有两个因式取,其余4个因式都取1,然后算出即可.
    【详解】
    表示的是8个相乘,
    要得到,则其中有2个因式取,有两个因式取
    其余4个因式都取1
    所以展开式中 项的系数是.
    故选:A
    10.【答案】B
    【分析】
    先把函数化为的形式,利用图象变换规律,得到g(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性,得出结论.
    【详解】
    向左平移个单位,得到函数的图像,
    由在上为增函数,则,所以,
    故的最大值为2.
    故选:B
    11.【答案】A
    【详解】
    当时,利用导数可得时,有最大值,由最大值恒成立可得,然后利用导数求出右边的最小值即可
    【详解】
    ,则,
    若,可得,函数为增函数,
    当时,,不满足对任意恒成立;
    若,可得,得,则,
    ∴当时,当时

    若对任意恒成立,则()恒成立,
    若存在实数,使得成立,
    则,∴(),
    令,
    .
    ∴当时,,当时,,
    则.
    ∴.则实数的取值范围是.
    故选:A
    12.【答案】A
    【分析】
    根据向量的加法法则及共线向量的性质由已知,得与交点为的中点,从而有,然后把四边形的面积用两种不同方法表示后可得的关系式,从而得离心率.
    【详解】
    根据,由平面向量加法法则,则与交点为的中点,故 ,由得 ,
    ,则

    可得

    故选A.
    13.【答案】.
    【分析】
    先利用导数求切线的斜率,再写出切线方程.
    【详解】
    因为y′=-5e-5x,所以切线的斜率k=-5e0=-5,所以切线方程是:y-3=-5(x-0),即y=-5x+3.
    故答案为y=-5x+3.
    14.【答案】.
    【分析】
    首先绘制可行域,然后结合目标函数的几何意义求解取值范围即可.
    【详解】
    绘制不等式组表示的可行域如图所示,
    结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值,
    在点处取得最小值,
    综上可得,目标函数的取值范围是.
    15.【答案】或
    【分析】
    根据题设中的正切值可求或,求出的正弦后利用面积公式可求三角形的面积.
    【详解】
    因为,故,
    故即,
    故即,
    所以,而,故或,
    若,则,
    故三角外接圆的直径,
    由为三角形内角可得,,
    故,
    故三角形的面积为.
    若,则,
    由为三角形内角可得,
    故,
    故三角形的面积为.
    故答案为:或
    16.【答案】.
    【详解】
    四棱锥中,可得: 平面平面平面,过作于,则平面,设,故,
    所以,,
    在中, ,则有, ,所以的外接圆半径,将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径,所以.
    故答案为
    点睛:解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径 .
    17.【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】
    (1)由题设中的递推关系可得均为等差数列,求出它们的通项后再利用等差数列的定义可证明是等差数列;
    (2)利用分组求和和裂项相消法可求.
    (1)
    因为,所以,
    故均为等差数列,公差均为3,
    故,
    且,
    故,所以,所以是等差数列.
    (2)
    由(1)可得,,
    当时,,
    当时,,

    18.【答案】(1);(2)应选择款车型.
    【详解】
    分析:(1)先算相关系数.,所以两变量之间具有较强的线性相关关系.再根据公式分别求得,,,.(2)由表可知,款车有10辆利润为-500,有30辆利润为0,有40辆利润为500,有20辆利润为1000,B款车有15辆利润为-300有40辆利润为200,有35辆利润为700,有10辆利润为1200,分别算出两款车型的平均利润,选择平均利润高的.
    详解:(1) ,,,
    .
    所以两变量之间具有较强的线性相关关系,
    故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.
    又,.

    回归直线方程为.
    (2)用频率估计概率, 款车有10辆利润为-500,有30辆利润为0,有40辆利润为500,有20辆利润为1000,所以平均利润为:
    (元).
    款车有15辆利润为-300,有40辆利润为200,有35辆利润为700,有10辆利润为1200所以平均利润为:
    (元).
    以每辆车产生平均利润为决策依据,故应选择款车型.
    点睛:本题考查学生的利用相关系数r判定两个变量是否线性相关,并求线性回归方程,同时考查对平均数的理解与运算及应用.
    19.【答案】(1)证明见解析.
    (2) .
    【详解】
    分析:以点为原点,以为轴建立空间直角坐标系,(1)求出向量,由空间向量垂直的坐标表示可得结论;(2)先确定点的位置,利用向量垂直数量积为零列方程组,求出平面的法向量,取平面的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果.
    详解:依题意,以点为原点,以为轴建立空间直角坐标系如图,
    可得
    由为棱的中点,得
    (1)向量

    (2)
    由点在棱上,设

    由,得
    因此,

    设为平面的法向量,则,即
    不妨令,可得为平面的一个法向量
    取平面的法向量,则
    所以二面角的余弦值为
    点睛:本题主要考查利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
    20.【答案】(1)(2)
    【详解】
    试题分析:(1)设的中点的坐标为,根据,得即;(2)(2)讨论BC的斜率,求出圆P的半径和横坐标,计算最小值,进而得到的最大值.
    详解:
    设点的坐标为(,则的中点的坐标为,点的坐标为,
    由,得即,
    经检验,当点运动至原点时,与重合,不合题意舍去.
    所以,轨迹的方程为.
    (Ⅱ)依题意,可知直线不与轴重合,设直线的方程为,点、的坐标分别为(,圆心的坐标为.
    由可得
    圆的半径
    .
    过圆心作于点,则.
    在中,即垂直于轴时,取得最小值为,取得最大值为,
    所以,的最大值为
    点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
    21.【答案】(1);(2).
    【详解】
    (1)求导得到,讨论和两种情况,计算函数的单调性,得到,再讨论,,三种情况,计算得到答案.
    (2)计算得到,讨论,两种情况,分别计算单调性得到函数最值,得到答案.
    【详解】
    (1),
    ①当时恒成立,所以单调递增,因为,所以有唯一零点,即符合题意;
    ②当时,令,
    函数在上单调递减,在上单调递增,函数。
    (i)当即,所以符合题意,
    (ii)当即 时,
    因为,
    故存在,所以 不符题意
    (iii)当 时,
    因为,
    设,
    所以,单调递增,即,
    故存在,使得,不符题意;
    综上,的取值范围为。
    (2)。
    ①当时,恒成立,所以 单调递增,所以,
    即符合题意;
    ②当 时,恒成立,所以单调递增,
    又因为,
    所以存在,使得,且当时,。
    即在上单调递减,所以,不符题意。
    综上,的取值范围为.
    22.【答案】(1)见解析;(2)8.
    【分析】
    (1)参数方程化为普通方程可得直线的普通方程为;极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为;
    (2)由题意可得直线的参数方程为.联立直线的参数方程与抛物线的直角坐标方程,结合参数的几何意义可得.
    【详解】
    (1)由参数方程可得,消去参数可得直线的普通方程为:,即;
    即,
    转化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为;
    (2)∵的极坐标为,∴点的直角坐标为.
    ∴,直线的倾斜角.
    ∴直线的参数方程为.
    代入,得.
    设,两点对应的参数为,,则,
    ∴.
    23.【答案】(1)
    (2)
    【分析】
    (1)利用分类讨论法可求不等式的解集;
    (2)利用绝对值三角不等式可求的最小值,从而可求实数的取值范围.
    (1)
    即为,
    故或或,
    故或或,
    故的解集为,
    (2)
    即为,
    而,当且仅当时等号成立,
    故的最小值为1,而有解,
    故.月份代码
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    市场占有率
    11
    13
    16
    15
    20
    21
    车型
    报废年限(年)
    合计
    成本
    1
    2
    3
    4
    10
    30
    40
    20
    100
    1000元/辆
    15
    40
    35
    10
    100
    800元/辆
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