高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.6 平面直角坐标系中的距离公式练习题，共6页。试卷主要包含了若直线l1等内容，欢迎下载使用。

知识点一两点间的距离公式
1.已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．4 B．－4或2C．－2 D．－2或4
2．光线从点B(－3，5)出发射到x轴上，经反射后过点A(2，10)，则光线从点B到点A经过的路程为________.
3．已知点A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求证：△ABC是等腰三角形．
知识点二点到直线的距离公式
4.已知点(a，1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A．1 B．－1C． eq \r(2) D．± eq \r(2)
5．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
6．求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(－3，1)等距离的直线l的方程．
知识点三两条平行直线间的距离公式
7.若直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，则l1与l2之间的距离是( )
A．2 eq \r(5) B． eq \f(14\r(5),5)C． eq \f(2\r(5),5) D． eq \f(\r(5),5)
8．直线l1经过点(3，0)，直线l2经过点(0，4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________.
9．已知直线l1：2x＋3y＝1和直线l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为2∶1，则直线l的方程为________________.
关键能力综合练
一、选择题
1．已知△ABC的顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为( )
A．8 B．13 C．2 eq \r(15) D． eq \r(65)
2．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是( )
A．－ eq \f(7,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(7,2)
3．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是( )
A．1 B．－3C．1或 eq \f(5,3) D．－3或 eq \f(17,3)
4．平行线x－2y＝0与x－2y－5＝0之间的距离为( )
A．5 B． eq \r(3) C． eq \r(5) D．2
5．[易错题]两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0间的距离为( )
A． eq \f(13,10) B． eq \f(13,5) C． eq \f(7,2) D． eq \f(23,5)
6．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
A．3 eq \r(2) B．2 eq \r(3) C．3 eq \r(3) D．4 eq \r(2)
二、填空题
7．已知A(－2，－4)，B(1，5)两点到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________.
8．直线l在x轴上的截距为1，又点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则直线l的方程为________________________________________________________________________．
9．[探究题]P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________.
三、解答题
10．在直线x＋3y＝0上求一点P，使点P到原点的距离和到直线x＋3y－2＝0的距离相等．
学科素养升级练
1．[多选题]瑞士数学家欧拉(Lenhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4，0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(2，0) B．(0，2)C．(－2，0) D．(0，－2)
2．与直线2x＋y＋1＝0的距离等于 eq \f(\r(5),5)的直线方程为________.
3．[学科素养——数学运算]如图所示，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3).
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
(2)在△ACD中，求CD边上的高所在的直线方程；
(3)求四边形ABCD的面积．
1．6 平面直角坐标系中的距离公式
必备知识基础练
1．解析：由eq \r(（a－1）2＋（6－2）2)＝5，得a＝4或a＝－2.
答案：D
2．解析：点B(－3，5)关于x轴的对称点为B′(－3，－5)，设AB′交x轴于P点，则|PA|＋|PB|＝|AB′|＝eq \r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝5eq \r(10)，即光线从点B到点A经过的路程为5eq \r(10).
答案：5eq \r(10)
3．证明：∵|AB|＝eq \r(（－4＋2）2＋（－3＋1）2)＝2eq \r(2)，
|AC|＝eq \r(（0＋2）2＋（－5＋1）2)＝2eq \r(5)，
|BC|＝eq \r(（0＋4）2＋（－5＋3）2)＝2eq \r(5)，
∴|AC|＝|BC|.又∵点A，B，C不共线，
∴△ABC是等腰三角形．
4．解析：由题意，得eq \f(|a－1＋1|,\r(12＋（－1）2))＝1，即|a|＝eq \r(2)，
解得a＝±eq \r(2).
答案：D
5．解析：由直线方程的两点式得直线BC的方程为eq \f(y－0,2－0)＝eq \f(x＋3,1＋3)，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得|BC|＝eq \r(（－3－1）2＋（0－2）2)＝2eq \r(5)，
设点A到BC的距离为d，则
d＝eq \f(|－1－2×3＋3|,\r(12＋（－2）2))＝eq \f(4\r(5),5)，所以S＝eq \f(1,2)|BC|·d＝eq \f(1,2)×2eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝4.故△ABC的面积为4.
6．解析：解法一：因为点A(1，1)与B(－3，1)到y轴的距离不相等，
所以直线l的斜率存在，设斜率为k，
则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1，1)，B(－3，1)到直线l的距离相等，得eq \f(|k－1＋2|,\r(k2＋（－1）2))＝eq \f(|－3k－1＋2|,\r(k2＋（－1）2))，
解得k＝0或k＝1.
所以直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
解法二：①当直线l过线段AB的中点时，点A，B到直线l的距离相等，
因为线段AB的中点是(－1，1)，直线l过点P(0，2)，所以由直线方程的两点式得直线l的方程是eq \f(y－1,2－1)＝eq \f(x＋1,0＋1)，即x－y＋2＝0.
②当直线l∥AB时，点A，B到直线l的距离相等，因为直线AB的斜率为0，所以直线l的斜率为0，所以直线l的方程为y＝2.综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
7．解析：两条直线l1：x＋2y－6＝0与l2：2x＋ay＋8＝0平行，所以eq \f(1,2)＝eq \f(2,a)≠eq \f(－6,8)，解得a＝4.所以直线l2：2x＋4y＋8＝0可化为x＋2y＋4＝0.所以l1与l2之间的距离d＝eq \f(|－6－4|,\r(1＋22))＝eq \f(10,\r(5))＝2eq \r(5).故选A.
答案：A
8．解析：当l1，l2与过(3，0)，(0，4)两点的直线垂直时，dmax＝5.
答案：(0，5]
9．解析：直线l1的方程可转化为4x＋6y－2＝0.易知l1∥l2∥l，所以可设直线l的方程为4x＋6y＋C＝0(C≠－2且C≠－9).由题意，可得eq \f(|C＋2|,\r(42＋62))＝2×eq \f(|C＋9|,\r(42＋62))，解得C＝－16或C＝－eq \f(20,3).故直线l的方程为4x＋6y－16＝0或4x＋6y－eq \f(20,3)＝0，即2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0.
答案：2x＋3y－8＝0或6x＋9y－10＝0
关键能力综合练
1．解析：由B(10，4)，C(2，－4)，得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10＋2,2)，\f(4－4,2)))，即点M的坐标为(6，0).
又A(7，8)，故|AM|＝eq \r(（7－6）2＋（8－0）2)＝eq \r(65).故选D.
答案：D
2．解析：|AB|＝eq \r(（a＋1－5）2＋（a－4－2a＋1）2)＝eq \r(2a2－2a＋25)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(49,2))，
∴当a＝eq \f(1,2)时，|AB|取得最小值．
答案：C
3．解析：由点到直线的距离公式可得eq \f(|5×2－12k＋6|,\r(25＋144))＝4，解得k＝－3或k＝eq \f(17,3).
答案：D
4．解析：两平行线之间的距离d＝eq \f(5,\r(12＋22))＝eq \r(5).
答案：C
5．解析：若两直线平行，则可得eq \f(3,a)＝eq \f(4,8)，所以a＝6，所以两条平行直线6x＋8y－24＝0与6x＋8y＋11＝0间的距离为d＝eq \f(|－24－11|,\r(62＋82))＝eq \f(35,10)＝eq \f(7,2).
答案：C
6．解析：由题意知，点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0(c≠－7且c≠－5)，则eq \f(|c＋7|,\r(2))＝eq \f(|c＋5|,\r(2))，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上，所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即eq \f(|－6|,\r(2))＝3eq \r(2).
答案：A
7．解析：由题意得eq \f(|－2a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|a＋5＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－3或3.
答案：－3或3
8．解析：当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，符合要求，此时l的方程为x＝1.当直线l的斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵点A，B到l的距离相等，∴eq \f(|－2k＋1－k|,\r(k2＋1))＝eq \f(|4k－5－k|,\r(k2＋1))，
∴|1－3k|＝|3k－5|，∴k＝1，∴l的方程为x－y－1＝0.
综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＝1.
答案：x－y－1＝0或x＝1
9．解析：因直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0平行，故|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离，即|PQ|min＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)＋12)),5)＝eq \f(29,10).
答案：eq \f(29,10)
10．解析：由题意可设P(－3y0，y0)，则eq \r(9y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) )＝eq \f(|－3y0＋3y0－2|,\r(12＋32))，即eq \r(10)|y0|＝eq \f(2,\r(10))，∴y0＝±eq \f(1,5).故点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(1,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，－\f(1,5))).
学科素养升级练
1．解析：设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点(－1，1)，设为M，∴|MC|＝|MA|＝eq \r(10)，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10①.由A(－4，0)，B(0，4)知△ABC的重心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))，代入欧拉线方程x－y＋2＝0得x－y－2＝0②.由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.故选AD.
答案：AD
2．解析：设与直线2x＋y＋1＝0的距离为eq \f(\r(5),5)的直线方程为2x＋y＋k＝0，则eq \f(|k－1|,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，解得k＝0或k＝2，∴与直线2x＋y＋1＝0的距离为eq \f(\r(5),5)的直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
答案：2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
3．解析：(1)依题意得线段AC的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))，易知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，4))也为线段BD的中点，设D(x，y)，因为B(－2，－1)，所以可得D(3，9).
(2)由(1)知kCD＝6，∴CD边上的高所在直线的斜率为－eq \f(1,6)，∴CD边上的高所在的直线方程为y－5＝－eq \f(1,6)(x＋1)，即y＝－eq \f(x,6)＋eq \f(29,6).
(3)易知BC：x－y＋1＝0，∴A(－1，5)到直线BC的距离为eq \f(|－1－5＋1|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，又|BC|＝4eq \r(2)，∴四边形ABCD的面积为eq \f(5\r(2),2)×4eq \r(2)＝20.