2023版新教材高中数学第一章直线与圆达标检测北师大版选择性必修第一册

这是一份2023版新教材高中数学第一章直线与圆达标检测北师大版选择性必修第一册，共8页。

第一章达标检测时间：120分钟　分数：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线ax＋by＋c＝0同时经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　)A.ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<02．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　)A.(－2，－3) B．(2，1) C．(2，3) D．(－2，－1)3．若直线l1：x＋(1＋m)y＋m－2＝0和直线l2：mx＋2y＋8＝0平行，则m的值为(　　)A.1 B．－2 C．1或－2 D．－ eq \f(2,3) 4．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是(　　)A.x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝05．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　　)A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．经过点(1，0)且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为(　　)A.(x－1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C.x2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝27．直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋(y－1)2＝4相交于P，Q两点．若|PQ|≥2 eq \r(2) ，则k的取值范围是(　　)A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) C．[－1，1] D．[－ eq \r(3) ， eq \r(3) ]8．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)A.5 eq \r(2) －4 B． eq \r(17) －1 C．6－2 eq \r(2) D． eq \r(17) 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x－2y＋a＝0不能围成三角形，则(　　)A.a＝1 B．a＝－1 C．a＝－2 D．a＝210．过点P(2，4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线的方程为(　　)A.x＝－2 B．x＝2 C．4x－3y＋4＝0 D．4x＋3y－4＝011．已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　)A.圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上 B.圆M的面积的最大值为50πC.圆M的半径的最小值为1 D.满足条件的所有圆M的半径之积为1012．已知圆O：x2＋y2＝4，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，且其坐标为(9－2m，m)，过点P向圆O引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则(　　)A.以OP为直径的圆的方程为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9－2m,2)))  eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(m,2)))  eq \s\up12(2) ＝ eq \f(（9－2m）2＋m2,4) B.直线AB经过定点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(8,9))) C.当m＝1时，直线AB的方程为7x－y＋4＝0D.点P到圆O上的点M距离的最小值为 eq \f(9\r(5),5) 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________________.14．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，则直线l的方程为________________.15．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，则m的值为_______________________________________________．16．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(1，3)到直线l的距离为 eq \r(2) ，则直线l的方程为_________________________________________________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3，2)，B(4，3)，C(－1，－2).(1)求△ABC中，BC边上的高线所在直线的方程；(2)求△ABC的面积．19．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0，直线l：mx－y＋1－m＝0.(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)若直线l与圆C交于不同两点A，B，且|AB|＝3 eq \r(2) ，求直线l的方程．20．(本小题满分12分)已知半径为5的动圆C的圆心在直线l：x－y＋10＝0上．(1)若动圆C过点(－5，0)，求圆C的方程．(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O：x2＋y2＝r2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出r的值；若不存在，请说明理由．21．(本小题满分12分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．(1)求四边形PACB面积的最小值；(2)直线上是否存在点P，使得∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分12分)某公园有A，B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 eq \r(2) km和2 eq \r(2) km，且A，B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？第一章达标检测1．解析：由题意，令x＝0，得y＝－eq \f(c,b)>0；令y＝0，得x＝－eq \f(c,a)>0.即bc<0，ac<0，从而ab>0.答案：A2．解析：由点N在直线x－y＋1＝0上，排除A，B.由kMN＝2，排除D.故选C.答案：C3．解析：∵直线l1：x＋(m＋1)y＋m－2＝0与l2：mx＋2y＋8＝0平行，∴m(m＋1)＝1×2，解得m＝1或m＝－2.当m＝－2时，直线l1：x－y－4＝0，l2：x－y－4＝0，l1与l2重合，故舍去．当m＝1时，l1∥l2.∴m＝1，故选A.答案：A4．解析：将“关于直线对称的两条直线”转化为“关于直线对称的两点”，在直线x－2y＋1＝0上取一点P(3，2)，点P关于直线x＝1的对称点P′(－1，2)必在所求直线上，只有选项D满足．答案：D5．解析：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3,2)b))，由于圆心位于第三象限，所以a<0，b>0.直线方程x＋ay＋b＝0可化为y＝－eq \f(1,a)x－eq \f(b,a).因为－eq \f(1,a)>0，－eq \f(b,a)>0，所以直线不经过第四象限．答案：D6．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即所求圆的圆心坐标为(1，1).由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案：B7．解析：若|PQ|≥2eq \r(2)，则圆心(2，1)到直线y＝kx＋1的距离d≤eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \r(2)，即eq \f(|2k|,\r(1＋k2))≤eq \r(2)，解得－1≤k≤1.答案：C8．解析：两圆的圆心均在第一象限，作点C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C′1C2|＝5eq \r(2)，所以(|PM|＋|PN|)min＝5eq \r(2)－(1＋3)＝5eq \r(2)－4.答案：A9．解析：若l1和l2平行或重合，则－a＝－eq \f(1,a)，得a＝±1；若l1和l3平行或重合，则－a＝eq \f(1,2)，得a＝－eq \f(1,2)；若l2和l3平行或重合，则－eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，得a＝－2，故选ABC.答案：ABC10．解析：根据题意，圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径r＝1.过点P(2，4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，若切线的斜率不存在，此时切线的方程为x＝2，符合题意；若切线的斜率存在，设此时切线的斜率为k，则其方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，则有eq \f(|3－k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4,3)，则切线的方程为4x－3y＋4＝0.综上可得，切线的方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.故选BC.答案：BC11．解析：∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y－2＝0上，A正确；设M(a，a－2)，∴圆M的半径r＝|AM|＝eq \r(a2＋（a－2＋2）2)＝eq \r(2)|a|，∴圆M被x轴截得的弦长为2eq \r(r2－（a－2）2)＝2eq \r(a2＋4a－4)＝2，解得a＝－5或a＝1，当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，B正确；当a＝1时，圆M的半径最小，为eq \r(2)，C错误；满足条件的所有圆M的半径之积为5eq \r(2)×eq \r(2)＝10，D正确．故选ABD.答案：ABD12．解析：过点P向圆O引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则OA⊥PA，OB⊥PB，AB是以OP为直径的圆D与圆O的公共弦，求得圆D的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9－2m,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(m,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(（9－2m）2＋m2,4)①.又圆O的方程为x2＋y2＝4②，②－①可得公共弦AB所在直线的方程为m(2x－y)＋(4－9x)＝0.令m＝1，则2x－y＋(4－9x)＝0，即7x＋y－4＝0；令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,4－9x＝0，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,9)，,y＝\f(8,9)，))所以直线AB经过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)，\f(8,9)))，原点O到直线x＋2y－9＝0的距离d＝eq \f(|－9|,\r(5))＝eq \f(9\r(5),5)，故|PM|min＝eq \f(9\r(5),5)－2.故选AB.答案：AB13．解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(λ－1,1＋λ)))代入2x＋4y－1＝0，可得λ＝eq \f(1,3)，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.答案：x2＋y2－3x＋y－1＝014．解析：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d1＝eq \f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq \f(|m＋13|,\r(13))，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.答案：3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝015．解析：∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3.①当AB与x轴垂直(或重合)时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，此时C，D的纵坐标均为－1，∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由直线的斜率公式得kAB＝eq \f(4－2,－2m－4－（－m－3）)＝eq \f(2,－（m＋1）)，kCD＝eq \f(3m＋2－m,3－（－m）)＝eq \f(2（m＋1）,m＋3).∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即eq \f(2,－（m＋1）)·eq \f(2（m＋1）,m＋3)＝－1，解得m＝1.综上，m的值为1或－1.答案：1或－116．解析：若截距为0，则设所求直线l的方程为y＝kx(k≠0).由题意知eq \f(|k－3|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝1或k＝－7，此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0.若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0(a≠0).由题意知eq \f(|1＋3－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.答案：x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝017．解析：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②解①②组成的方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝2.))(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即eq \f(a,b)＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq \f(4,b)＝b.④由③④联立，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))经检验，此时的l1与l2不重合，故所求值为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))18．解析：(1)∵直线BC的斜率kBC＝eq \f(3＋2,4＋1)＝1，∴BC边上的高线所在直线的斜率k＝－1.∴BC边上的高线所在直线的方程为y－2＝－(x＋3)，即x＋y＋1＝0.(2)∵B(4，3)，C(－1，－2)，∴|BC|＝eq \r(（－2－3）2＋（－1－4）2)＝5eq \r(2).由B(4，3)，C(－1，－2)，得直线BC的方程为x－y－1＝0.∴点A到直线BC的距离d＝eq \f(|－3－2－1|,\r(2))＝3eq \r(2)，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×5eq \r(2)×3eq \r(2)＝15.19．解析：(1)圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝eq \r(5)，圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝eq \f(|0－1＋1－m|,\r(m2＋1))＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))<1<eq \r(5)，因此直线l与圆C相交．(2)圆心C到直线l的距离d＝eq \r(（\r(5)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(2),2).又d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))，eq \f(|m|,\r(m2＋1))＝eq \f(\r(2),2)，解得m＝±1，∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.20．解析：(1)依题意，可设动圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝25，其中圆心(a，b)满足a－b＋10＝0.又因为动圆过点(－5，0)，所以(－5－a)2＋(0－b)2＝25.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋10＝0，,（－5－a）2＋（0－b）2＝25，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－10，,b＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝5.))故所求圆C的方程为(x＋10)2＋y2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.(2)圆O的圆心(0，0)到直线l的距离d＝eq \f(|10|,\r(1＋1))＝5eq \r(2).当r满足r＋5d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切；当r满足r＋5＝d，即r＝5eq \r(2)－5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2＋y2＝r2相外切．故当动圆C中与圆O相外切的圆仅有一个时，r＝5eq \r(2)－5.21．解析：(1)如图，连接PC，由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－2－\f(3,4)x)).圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1，1)，半径为1.所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×eq \f(1,2)×|AP|×|AC|＝|AP|.因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋\f(3,4)x))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)x＋1))eq \s\up12(2)＋9，所以当x＝－eq \f(4,5)时，|PC| eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(min)) ＝9.所以|AP|min＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2)，即四边形PACB面积的最小值为2eq \r(2).(2)假设直线上存在点P满足题意．因为∠BPA＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.设P(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）2＋（y－1）2＝4，,3x＋4y＋8＝0，))整理可得25x2＋40x＋96＝0，所以Δ＝402－4×25×96<0.所以这样的点P是不存在的．22．解析：所选观景点应该保证两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上，建立平面直角坐标系，如图．由题意，得A(eq \r(2)，eq \r(2))，B(0，2eq \r(2)).设过A，B两点且与x轴相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b>0)，因为圆心在线段AB的垂直平分线上，且易得AB的垂直平分线方程为x－y＋eq \r(2)＝0.所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋\r(2)＝0，,a2＋（2\r(2)－b）2＝b2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2)，,b＝5\r(2)．))又要求视角最大，所以a＝0，b＝eq \r(2)，所以圆的方程为x2＋(y－eq \r(2))2＝2.令y＝0，可得切点坐标为(0，0)，所以观景点应设在B景点在小路的射影处．