高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 排列数公式同步测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 排列数公式同步测试题，共9页。试卷主要包含了故选A等内容，欢迎下载使用。

知识点一排列的概念
1.判断下列问题是否为排列问题，并说明理由．
(1)平面上有5个点，其中任意3个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？
(2)从集合M＝{1，2，…，9}中任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1?
(3)会场有50个座位，若从中选出3个座位，共有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人，又有多少种方法？
2．甲、乙、丙三人互相传球，由甲开始发球传给乙，并作为第一次传球，传球五次后结束传球．
(1)将五次传球的所有不同的传球方式用树状图表示出来；
(2)写出经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方式．
知识点二排列数与排列数公式
3.已知A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝132，则n＝( )
A．11B．12
C．13D．14
4.eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＋A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ,A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) －A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) )＝( )
A．eq \f(5,27) B．eq \f(25,54) C．eq \f(3,10) D．eq \f(3,20)
5．化简eq \f(A eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n－1)) ·A eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n－m)) ,A eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n－1)) )＝________．
6．(1)解方程：A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2x＋1)) ＝140A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(x)) ；
(2)解不等式：A eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(9)) ＞6A eq \\al(\s\up1(x－2),\s\d1(9)) .
知识点三排列的简单应用
7.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有( )
A．10种B．60种
C．125种D．243种
8．4个男同学，3个女同学站成一排．
(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？
(2)任何2个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
(3)3个女同学站在中间三个位置上，有多少种不同的排法？
(4)这7个人中，甲、乙2人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
关键能力综合练
一、选择题
1．[多选题]下列问题属于排列问题的是( )
A．从10个人中选2人分别去种树和扫地
B．从10个人中选2人去扫地
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取2个不同的数做lgab中的底数与真数
2．若A＝eq \f(n！,3！)(n＞3，n∈N*)，则A是( )
A．A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) B．A eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n－3))
C．A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) D．A eq \\al(\s\up1(n－3),\s\d1(n))
3．用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，n＜55)为( )
A．A eq \\al(\s\up1(14),\s\d1(55)) B．A eq \\al(\s\up1(15),\s\d1(55－n)) C．A eq \\al(\s\up1(55－n),\s\d1(69)) D．A eq \\al(\s\up1(15),\s\d1(69－n))
4．用四个数字1，2，3，4组成没有重复数字的两位数的个数为( )
A．6B．12
C．16D．20
5．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )
A．280种B．240种
C．180种D．96种
6．[易错题]元旦晚会期间，高三(2)班的学生准备了6个节目，其中有2个舞蹈节目，2个小品节目，2个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外，2个舞蹈节目一定要排在一起，则这6个节目的不同编排种数为( )
A．48B．36
C．24D．12
7．某小区的6个停车位连成一排，现有3辆车随机停放在停车位上，则任何两辆车都不相邻的停放方式的种数为( )
A．24B．72C．120D．144
二、填空题
8．用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有________个．
9．在实验员进行的一项实验中，先后要实施5个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序C和D实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有________种．
三、解答题
10．[探究题]用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的数，则
(1)可以组成多少个六位奇数？
(2)可以组成多少个不大于4310的四位偶数？
学科素养升级练
1．[多选题]甲、乙等6个人排成一队，甲不站最左端，也不站最右端的排法种数为( )
A．A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) B．A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5))
C．A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) D．A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) －2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5))
2．将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，若要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有________种不同的排列方法．
3．[学科素养——逻辑推理]
(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有多少种？
(2)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有多少种？
2．1 排列与排列数
2．2 排列数公式
必备知识基础练
1．解析：
(1)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．理由如下：
任取2个点确定的直线与这2个点的顺序无关，故不是排列问题；
任取2个点确定的射线与这2个点的顺序有关，故是排列问题．
(2)从集合M＝{1，2，…，9}中任取两个元素作为a，b，得到多少个焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1不是排列问题，得到多少个焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1是排列问题．理由如下：
若方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定，所以不是排列问题；不管a＞b还是a＜b，方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．
(3)从50个座位中选出3个座位不是排列问题，从50个座位中选出3个座位安排3位客人是排列问题．理由如下：
从50个座位中选出3个座位与顺序无关，故不是排列问题；
从50个座位中选出3个座位安排3位客人与顺序有关，故是排列问题．
2．解析：(1)甲第一次把球传给乙，则所有不同的传球方式用树状图表示如下：
(2)由(1)，知经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方式为：
甲→乙→甲→乙→丙→甲，
甲→乙→甲→丙→乙→甲，
甲→乙→丙→甲→乙→甲，
甲→乙→丙→甲→丙→甲，
甲→乙→丙→乙→丙→甲．
3．解析：∵A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝132，∴n(n－1)＝132，整理得n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(不合题意，舍去)，∴n的值为12，故选B.
答案：B
4．解析：eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＋A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) ,A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) －A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) )＝eq \f(8×7×6×5×4＋8×7×6×5,9×8×7×6×5×4－9×8×7×6×5)＝eq \f(4＋1,9×4－9)＝eq \f(5,27).故选A.
答案：A
5．解析：eq \f(A eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n－1)) ·A eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n－m)) ,A eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n－1)) )＝eq \f(（n－1）！,[（n－1）－（m－1）]！)×(n－m)！×eq \f(1,（n－1）！)＝eq \f(（n－1）！,（n－m）！)×(n－m)！×eq \f(1,（n－1）！)＝1.
答案：1
6．解析：(1)原方程可化为(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)＝140·x·(x－1)·(x－2)，化简得(4x2－35x＋69)(x－1)x＝0，解得x＝3或x＝eq \f(23,4)或x＝1或x＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1≥4,2x＋1∈N*,x≥3,x∈N*))，得x≥3，且x∈N*.
所以原方程的解为x＝3.
(2)原不等式可化为eq \f(9！,（9－x）！)＞eq \f(6×9！,（9－x＋2）！)，其中2≤x≤9，x∈N*，
整理得x2－21x＋104＞0，即(x－8)(x－13)＞0，
所以x＜8或x＞13.
因为2≤x≤9，x∈N*，所以2≤x＜8，x∈N*.
所以原不等式的解集为{2，3，4，5，6，7}．
7．解析：从5个专业中选3个并分配到3个志愿中，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝60种不同的填法．
答案：B
8．解析：(1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种排法．
视排好的3个女同学为一个整体，再与4个男同学排成一排，这时是5个元素的全排列，有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种排法．
由分步乘法计数原理，知不同的排法有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝720(种).
(2)先将男同学排好，共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，
再在这4个男同学之间及两头的5个空隙中插入3个女同学，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) 种排法，
故符合条件的排法有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝1440(种).
(3)3个女同学站在中间三个位置上的不同排法有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝144(种).
(4)先排甲、乙、丙3人外的4人，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法；
由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种排法；
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及两头的5个空隙中，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种排法．
故共有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝960种不同的排法．
关键能力综合练
1．答案：AD
2．解析：易得A eq \\al(\s\up1(n－3),\s\d1(n)) ＝n·(n－1)·(n－2)·…·4＝eq \f(n！,3！)，所以A＝A eq \\al(\s\up1(n－3),\s\d1(n)) .
答案：D
3．解析：因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15个连续的自然数，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq \\al(\s\up1(15),\s\d1(69－n)).
答案：D
4．解析：根据题意，一共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝4×3＝12个不同的两位数．
答案：B
5．解析：根据题意，从事翻译工作的为特殊位置，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种可能方案，其余三项工作，从剩余的5人中选取，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) 种可能方案，根据分步乘法计数原理知，选派方案共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＝4×5×4×3＝240(种)，故选B.
答案：B
6．解析：分3步进行：①歌曲节目排在首尾，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2种排法，
②将2个小品节目安排在歌曲节目的中间，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2种排法，
③排好后，2个小品节目与2个歌曲节目之间有3个空位，将2个舞蹈节目全排列，安排在中间的3个空位，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝6种排法．
则这6个节目的不同编排种数为2×2×6＝24，故选C.
答案：C
7．解析：任排3个空停车位，形成4个空，再将3辆车插入即可，故有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＝24种．
答案：A
8．解析：当个位是偶数时，共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝60种可能，当三个数字都是偶数时，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种可能，则满足题意的三位数共有60－6＝54个．
答案：54
9．解析：程序A只能出现在第一步或最后一步，共有2种不同的排法；将程序C和D捆绑成一个元素，再和其他两个元素一起排列，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种不同的排法，同时，考虑程序C和D有2种不同的排法．根据分步乘法计数原理得，共有2×A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×2＝24种不同的编排方法．
答案：24
10．解析：(1)方法一(从特殊位置入手)：分三步完成：第一步，填末位，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) 种填法；第二步，填首位，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种填法；第三步，填其他位，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种填法．根据分步乘法计数原理，知共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝288个无重复数字的六位奇数．
方法二(从特殊元素入手)：0不在首位也不在末位，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种排法；从1，3，5中任选一个排在末位，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) 种排法；其他位上用剩下的数字进行全排列，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法．故共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝288个无重复数字的六位奇数．
方法三(间接法)：六个数字共有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种排法，数字0，2，4在末位上有3A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种排法，数字1，3，5在末位上且0在首位上共有3A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种排法，故组成的无重复数字的六位奇数共有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) －3A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) －3A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝288个．
(2)①当千位上排1或3时，从0，2，4中任选一个排在个位，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) 种排法，其他位上从剩下的四个数字中选择两个进行排列，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种排法，故共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种排法；
②当千位上排2时，从0，4中任选一个排在个位，然后从剩下的四个数字中选择两个排列，故共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种排法；
③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) 种排法，形如41××的有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) 种排法，形如43××的只有4310和4302这两种排法．
故共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋2A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋2＝110个．
学科素养升级练
1．解析：(1)(位置分析法) 因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的5个人中任选2个人站在左、右两端，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种站法；再让剩下的4个人站在中间的4个位置上，有A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种站法．由分步乘法计数原理知，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 种站法．故A正确；
(元素分析法) 因为甲不能站左、右两端，故先让甲站在除左、右两端之外的任一位置上，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) 种站法；再让余下的5个人站在其他5个位置上，有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种站法．由分步乘法计数原理知，共有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种站法．故B正确，C错误；
(间接法) 在排列时，我们不考虑甲站位的要求，对6个人进行全排列，有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) 种站法，但其中包含甲站在最左端或最右端的情况，甲在最左端或最右端有2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种站法，于是共有A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(6)) －2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种站法．故D正确，故选ABD.
答案：ABD
2．解析：解法一(整体法)：5个元素无约束条件的全排列有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) 种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此，在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”的排列方法有eq \f(A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ,A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) )×2＝40种．
解法二(插空法)：若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类：
第一类：若字母D，E相邻，则有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) 种排法；
第二类：若字母D，E不相邻，则有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种排法．
所以有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＝20种不同的排列方法．
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法．
因此，满足条件的排列方法有20＋20＝40种．
答案：40
3．解析：(1)当甲在最左端时，有A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝120种排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＝4×24＝96种排法，共有120＋96＝216种排法．
(2)根据题意，产品A与产品B相邻，将A、B看成一个整体，考虑A、B之间的顺序，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2种情况，将A、B作为一个整体和除产品C外剩余的2件产品全排列，有A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝6种情况，产品A与产品C不相邻，C有3个空位可选，即有3种情况，不同的摆法共有2×6×3＝36种．