高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质课后作业题

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 二项式系数的性质课后作业题，共8页。
知识点一与“杨辉三角”有关的问题
1.如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
· · · · · ·
a b · · · · ·
A．20 B．21 C．22 D．23
2．如图所示，在“杨辉三角”中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16＝________．
知识点二二项式系数的性质
3.在(2－3x)15的展开式的各项中，二项式系数的最大值为( )
A．C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(15)) B．C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(15)) C．－C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(15)) D．－C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(15))
4．(2x－3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为( )
A．－1B．512C．－512D．1
5．在(eq \r(\f(1,x))＋eq \r(\f(1,x3)))n的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于1024，则中间项的二项式系数是________．
知识点三二项式系数性质的综合应用
6.已知n∈N*，设(5x2－eq \f(1,x))n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝992，则展开式中x的系数为( )
A．－250B．250C．－500D．500
7．S＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(27)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(27)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(27),\s\d1(27)) 除以9的余数为________．
8．已知(eq \f(1,2)＋2x)n.
(1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
关键能力综合练
一、选择题
1．若(2x2－eq \f(1,\r(x)))n展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为( )
A．10 B．－10 C．5 D．－5
2．在(1－3x)n的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式中的中间项为( )
A.5670B．－5670x4C．5670x4D．1670x4
3．已知(1＋x)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(2≤k≤11，k∈N*)是一个递增数列，则k的最大值是( )
A．6B．7C．8D．5
4．已知(aeq \r(x)＋eq \f(1,\r(3,x)))n(a＞0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，且展开式中x2项的系数为84，则a的值为( )
A．2B．1C．eq \f(1,5)D．eq \f(3,10)
5．(eq \r(3)x＋eq \f(1,\r(3,x)))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( )
A．7B．5C．4D．3
6．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，便可以得到如图的“0－1三角”．在“0－1三角”中，从第1行起，设第n(n∈N＋)次出现全行为1时，1的个数为an，则a3等于( )
A．26B．27C．7D．8
二、填空题
7．在(1＋x)20的展开式中，如果第4k项和第k＋2项的二项式系数相等，则k＝________．
8．已知(2x3＋eq \f(1,x))n展开式的各项系数和为243，则展开式的二项式系数和为________．
9．[易错题]已知(2x－1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) ＝________.
三、解答题
10．已知(eq \r(x)＋eq \f(2,x2))n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．
(1)求该展开式中所有有理项的项数；
(2)求该展开式中系数最大的项．
学科素养升级练
1．[多选题]已知(ax2＋eq \f(1,\r(x)))n(a＞0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是( )
A．展开式中奇数项的二项式系数之和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中x15的系数为45
2．将二项式系数表中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．
3．[学科素养——数学运算]已知(2x2＋eq \f(1,\r(x)))n的展开式的各项的系数之和为an，各项的二项式系数之和为bn.
(1)若上述展开式中含有常数项，求正整数n的最小值；
(2)判断2an与(n＋2)bn(n∈N*)的大小关系，并说明理由．
4．2 二项式系数的性质
必备知识基础练
1．解析：根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是b的“两肩”上相邻两个数的和，当a＝7时，其“两肩”上的第一个数为6，第二个数为16，所以b＝6＋16＝22.
答案：C
2．解析：由“杨辉三角”的性质，得S16＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) ＝(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) )＋(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) )－1＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) －1＝164.
答案：164
3．解析：(2－3x)15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(15)) ＝C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(15)) ，故选B.
答案：B
4．解析：(2x－3y)9的展开式中各项的二项式系数之和为29＝512.故选B.
答案：B
5．解析：(eq \r(\f(1,x))＋eq \r(\f(1,x3)))n的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和等于2n－1＝1024，∴n＝11，则中间项的二项式系数是C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(11)) ＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(11)) ＝462.
答案：462
6．解析：(5x2－eq \f(1,x))n的展开式中，取x＝1得M＝4n，二项式系数之和为N＝2n，所以M－N＝4n－2n＝992，解得n＝5，则(5x2－eq \f(1,x))n的展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) (5x2)5－k(－eq \f(1,x))k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) 55－k(－1)kx10－3k，取k＝3，得x的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) 52(－1)3＝－250，故选A.
答案：A
7．解析：因为S＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(27)) ＋Ceq \\al(\s\up1(2),\s\d1(27))＋…＋C eq \\al(\s\up1(27),\s\d1(27)) ＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(9)) ×99＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) ×98×(－1)＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) ×97×(－1)2＋…＋C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(9)) ×9×(－1)8＋C eq \\al(\s\up1(9),\s\d1(9)) ×(－1)9－1，所以S除以9的余数为7.
答案：7
8．解析：(1)由已知得2C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(n)) ，即n2－21n＋98＝0.
解得n＝7或n＝14.
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项．
因为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) (eq \f(1,2))4(2x)3＝eq \f(35,2)x3，C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(7)) (eq \f(1,2))3(2x)4＝70x4，
所以第4项的系数是eq \f(35,2)，第5项的系数是70.
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项，它的系数为C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(14)) (eq \f(1,2))7·27＝3432.
(2)由C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝79，得n2＋n－156＝0.
解得n＝－13(舍去)或n＝12.
设第k＋1项的系数最大，
因为(eq \f(1,2)＋2x)12＝(eq \f(1,2))12·(1＋4x)12，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(12)) 4k≥C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(12)) 4k－1，,C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(12)) 4k≥C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(12)) 4k＋1，))解得eq \f(47,5)≤k≤eq \f(52,5).
因为0＜k≤n，k∈N，所以k＝10.
所以展开式中系数最大的项是第11项，(eq \f(1,2))12·C eq \\al(\s\up1(10),\s\d1(12)) 410x10＝16896x10.
关键能力综合练
1．解析：由二项式系数之和为32，即2n＝32，可得n＝5，(2x2－eq \f(1,\r(x)))5展开式的通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) (2x2)5－k(－x－eq \f(1,2))k＝(－1)k·C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(5)) ·25－kx10－2k－eq \f(1,2)k.令10－2k－eq \f(1,2)k＝0，可得k＝4.
所以常数项为(－1)4C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ·2＝10，故选A.
答案：A
2．解析：偶数项的二项式系数的和为2n－1＝128＝27，即n＝8，故展开式中的中间项为T5＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(8)) (－3x)4＝5670x4，故选C.
答案：C
3．解析：由二项式定理，知ak＝C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(10)) (k＝2，3，…，11).又(1＋x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6.
答案：A
4．解析：∵(aeq \r(x)＋eq \f(1,\r(3,x)))n(a＞0)的展开式的第五、六项的第二项式系数相等且最大，
∴n＝9，又∵(aeq \r(x)＋eq \f(1,\r(3,x)))9的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(9)) a9－kxeq \s\up6(\f(9－k,2))x－eq \f(k,3)＝a9－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(9)) xeq \s\up6(\f(27－5k,6))，
∴令eq \f(27－5k,6)＝2，解得k＝3，∵展开式中x2项的系数为84，
∴a6C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(9)) ＝84，解得a＝1或a＝－1(舍去)，故选B.
答案：B
5．解析：(eq \r(3)x＋eq \f(1,\r(3,x)))n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，
∴n＝20，
∴(eq \r(3)x＋eq \f(1,\r(3,x)))20的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(20)) ·(eq \r(3)x)20－k(eq \f(1,\r(3,x)))k＝(eq \r(3))20－kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(20)) x20－eq \f(4,3)k，
若20－eq \f(4,3)k为整数，则k可能的取值为0，3，6，9，12，15，18，共有7个，故选A.
答案：A
6．解析：第3次出现全行为1，这说明杨辉三角中这一行全是奇数，即C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) (k＝0，1，2，…，n)是奇数，经验证可知，第3次出现全行为1时，1的个数为8.
答案：D
7．解析：由题意，得C eq \\al(\s\up1(4k－1),\s\d1(20)) ＝C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(20)) ，故4k－1＝k＋1或4k－1＋k＋1＝20，即k＝eq \f(2,3)或k＝4.因为k为整数，所以k＝4.
答案：4
8．解析：∵(2x3＋eq \f(1,x))n展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.所以展开式的二项式系数和为25＝32.
答案：32
9．解析：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项系数的和为A，偶次项系数的和为B，则
A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，
由已知得B－A＝38.
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n，
所以(－3)n＝38＝(－3)8，
所以n＝8.
所以C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) ＝2n－C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(n)) ＝28－1＝255.
答案：255
10．解析：(1)由题意可知eq \f(n,2)＋1＝6，解得n＝10.
∴(eq \r(x)＋eq \f(2,x2))10的展开式的通项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) xeq \s\up6(\f(10－k,2))2kx－2k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) ·2kxeq \s\up6(\f(10－5k,2))，0≤k≤10，且k∈N.
要求该展开式中的有理项，只需令eq \f(10－5k,2)∈Z，
∴k＝0，2，4，6，8，10，所有有理项的项数为6.
(2)设第k＋1项的系数最大，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) 2k≥C eq \\al(\s\up1(k－1),\s\d1(10)) 2k－1，,C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) 2k≥C eq \\al(\s\up1(k＋1),\s\d1(10)) 2k＋1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)≥\f(1,11－k)，,\f(1,10－k)≥\f(2,k＋1)，))
解得eq \f(19,3)≤k≤eq \f(22,3).
∵k∈N，
∴k＝7.
∴展开式中系数最大的项为T8＝C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(10)) 27x－eq \f(25,2)＝15360x－eq \f(25,2).
学科素养升级练
1．解析：由二项展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n＝10.又展开式的各项系数之和为1024，即当x＝1时，(a＋1)10＝1024，所以a＝1，所以二项式为(x2＋eq \f(1,\r(x)))10＝(x2＋x－eq \f(1,2))10，则二项式系数之和为210＝1024，则展开式中奇数项的二项式系数之和为eq \f(1,2)×1024＝512，故A错误；由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，因为x2与x－eq \f(1,2)的系数均为1，则该二项展开式的二项式系数与系数相同，所以展开式中第6项的系数最大，故B正确；若展开式中存在常数项，由通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) x2(10－k)x－eq \f(1,2)k可得2(10－k)－eq \f(1,2)k＝0，解得k＝8，故C正确；令2(10－k)－eq \f(1,2)k＝15，解得k＝2，所以展开式中x15的系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝45，故D正确．故选BCD.
答案：BCD
2．解析：观察分析可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；当n＝6时，26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.
答案：2n－1 32
3．解析：(1)二项展开式中的第k＋1项为Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) (2x2)n－k(eq \f(1,\r(x)))k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(n)) 2n－kx2n－eq \f(5k,2)(k＝0，1，…，n).
∵展开式中含有常数项，
∴可令2n－eq \f(5k,2)＝0，得n＝eq \f(5k,4).
∴当k＝4时，n取最小值，最小值为5.
(2)令x＝1，得展开式中各项的系数之和an＝3n.
又各项的二项式系数之和bn＝2n，
∴2an＝2×3n，(n＋2)bn＝(n＋2)2n.
当n＝1时，2an＝2×3＝6，(n＋2)bn＝3×2＝6，
此时2an＝(n＋2)bn；
当n≥2时，2an＝2×(2＋1)n＝2×(2n＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) 2n－1＋…＋C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n)) 21＋C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(n)) )＞(n＋2)·2n＝(n＋2)bn，
综上，2an≥(n＋2)bn(n∈N*).