人教B版 (2019)7.4 数学建模活动：周期现象的描述测试题

这是一份人教B版 (2019)7.4 数学建模活动：周期现象的描述测试题，共7页。

A．牛年 B．虎年
C．兔年 D．龙年
2．如图所示是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的运动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的位移为零
3．已知简谐运动y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的振幅是 eq \f(3,2)，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点(0， eq \f(3,4))，则该简谐运动的频率和初相是( )
A. eq \f(1,6)， eq \f(π,6)B． eq \f(1,8)， eq \f(π,6)
C． eq \f(1,8)， eq \f(π,3) D． eq \f(1,6)， eq \f(π,3)
4．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)表示血压，t为时间(单位：分)，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cs [ eq \f(π,6)(x－6)](x＝1，2，3，…，12，A>0)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的月平均气温为________ ℃.
6．如图，某港口某天6时到18时的水深(单位：m)变化曲线近似符合函数y＝4sin ( eq \f(π,6)x＋φ)＋k的部分图象，则这段时间水深的最大值为________ m.
7．(多选)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车平面图，一个水斗从点A(3 eq \r(3)，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝R sin (ωt＋φ)(t≥0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2)).则下列叙述正确的是( )
A．R＝6，ω＝ eq \f(π,30)，φ＝－ eq \f(π,6)
B．当t∈[35，55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10，25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6 eq \r(3)
8．已知国际油价在某一段时间内呈现出正弦波动规律：P＝A sin (ωπt＋ eq \f(π,4))＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150时，油价最低，则ω的最小值为________．
9．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5 eq \r(2)sin (100πt－ eq \f(π,2))，t∈[0，＋∞)，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行________次(从最大值到相邻最大值算一次往复).
10．(文化情境命题)干支纪年历法(农历)是屹立于世界民族之林的科学历法之一，与国际公历历法并存．黄帝时期，就有了使用六十花甲子的干支纪年历法．干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周期，周而复始，循环记录．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支．受此周期律的启发，可以求得函数f(x)＝sin eq \f(2x,3)＋cs 3x的最小正周期为( )
A．15π B．12π
C．6π D．3π
11．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin ( eq \f(π,4)x－ eq \f(π,4))＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin ( eq \f(π,4)x－ eq \f(π,4))(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2 eq \r(2)sin eq \f(π,4)x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin ( eq \f(π,4)x＋ eq \f(π,4))＋7(1≤x≤12，x∈N*)
12．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝A sin (ωt＋φ)，ω>0，0<φ< eq \f(π,2)，函数图象如图所示，则φ＝________．
13．(数学建模)如图是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d(米)(在水平面以下d为负数)与时间t(秒)满足函数关系式d＝A sin (ωt＋φ)＋1(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))，则函数关系式为____________．
14．建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．下图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，若该曲线可以近似地看作函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A＞0，ω>0，|φ|<π)的部分图象．
(1)求函数y＝f(t)的表达式；
(2)请根据(1)中的结论，判断该商场的中央空调应在何时开启，何时关闭．
15.某景区内的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份及以上的食物？
7．4 数学建模活动：周期现象的描述
必备知识基础练
1．答案：A
解析：2021－1949＝72，72÷12＝6，所以1949年是牛年．
2．答案：D
解析：由题中图象及简谐运动的有关知识知，T＝0.8s，振幅为5cm.当t＝0.1s或0.5s时，速度为零．质点在0.3s和0.7s时位于平衡位置，位移为零．
3．答案：B
解析：由题意可知A＝eq \f(3,2)，32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))eq \s\up12(2)＝52，则T＝8，ω＝eq \f(2π,8)＝eq \f(π,4)，∴y＝eq \f(3,2)sin (eq \f(π,4)x＋φ).由图象过点(0，eq \f(3,4))得eq \f(3,2)sinφ＝eq \f(3,4)，∴sinφ＝eq \f(1,2)，∵|φ|4．答案：C
解析：由f(t)＝24sin160πt＋110，可得函数的最小正周期为T＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)，所以此人每分钟的心跳次数为eq \f(1,T)＝80，故选C项．
5．答案：20.5
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋A＝28，,a－A＝18，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝23，,A＝5，))∴y＝23＋5cs [eq \f(π,6)(x－6)].当x＝10时，y＝23＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝20.5.
6．答案：10
解析：由题图可知，这段时间水深(单位：m)的最小值为－4＋k＝2，解得k＝6.故这段时间水深的最大值为4＋k＝10(m).
关键能力综合练
7．答案：ABD
解析：由题意，R＝eq \r(（3\r(3)）2＋32)＝6，T＝eq \f(2π,ω)＝60，∴ω＝eq \f(π,30).又当t＝0时，y＝f(t)＝－3，∴6sinφ＝－3.∵|φ|8．答案：eq \f(1,120)
解析：由A＋60＝80得A＝20，且150πω＋eq \f(π,4)＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为eq \f(1,120).
9．答案：25
解析：据I＝5eq \r(2)sin (100πt－eq \f(π,2))知ω＝100πrad/s，该电流的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100π)＝0.02s，则这种交流电电流在0.5s内往复运行次数为n＝eq \f(t,T)＝eq \f(0.5,0.02)＝25(次).
10．答案：C
解析：函数f(x)＝sineq \f(2x,3)＋cs3x的最小正周期相当于函数y＝sineq \f(2x,3)的最小正周期eq \f(2π,\f(2,3))＝3π与函数y＝cs3x的最小正周期eq \f(2π,3)的“最小公倍数”，故为6π.
11．答案：A
解析：由题意，可得A＝eq \f(9－5,2)＝2，b＝7，周期T＝eq \f(2π,|ω|)＝2×(7－3)＝8.又ω>0，则ω＝eq \f(π,4)，f(x)＝2sin (eq \f(π,4)x＋φ)＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sin (eq \f(3π,4)＋φ)＋7＝9，即sin (eq \f(3π,4)＋φ)＝1.∵|φ|12．答案：eq \f(π,6)
解析：根据图象，知(eq \f(1,6)，0)，(eq \f(11,12)，0)两点的距离刚好是eq \f(3,4)个周期，所以eq \f(3,4)T＝eq \f(11,12)－eq \f(1,6)＝eq \f(3,4)，所以T＝1.又ω>0，则ω＝eq \f(2π,T)＝2π.因为当t＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值，所以2π×eq \f(1,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又0<φ13．答案：d＝2sin (eq \f(2,15)πt－eq \f(π,6))＋1
解析：∵水轮的半径为2米，水轮圆心O距离水面1米，∴A＝2.又∵水轮每分钟旋转4圈，∴转一圈需要15秒且ω>0，∴T＝15＝eq \f(2π,ω)，∴ω＝eq \f(2,15)π.由题可得t＝0时，d＝0，则2sinφ＋1＝0，得φ＝2kπ－eq \f(π,6)或2kπ－eq \f(5π,6)(k∈Z).∵|φ|14．解析：(1)由题图可知，T＝2×(14－2)＝24，
所以eq \f(2π,ω)＝24，解得ω＝eq \f(π,12).
由题图得b＝eq \f(16＋32,2)＝24，A＝eq \f(32－16,2)＝8，
所以f(t)＝8sin (eq \f(π,12)t＋φ)＋24.
将点(2，16)代入函数解析式得8sin (eq \f(π,12)×2＋φ)＋24＝16，
故eq \f(π,6)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
即φ＝2kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z).
而|φ|<π，所以φ＝－eq \f(2π,3).
所以f(t)＝8sin (eq \f(π,12)t－eq \f(2π,3))＋24(0≤t≤24).
(2)令8sin (eq \f(π,12)t－eq \f(2π,3))＋24>28，则sin (eq \f(π,12)t－eq \f(2π,3))>eq \f(1,2)，
所以eq \f(π,6)＋2kπ解得10＋24k令k＝0，得10故中央空调应在10时开启，18时关闭．
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15．解析：(1)设该函数为f(x)＝Asin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π)，其中x＝1，2，…，12.
由①，可知这个函数的周期是12个月；
由②，可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，
故该函数的振幅为200；
由③，可知f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500.
根据上述分析可得eq \f(2π,ω)＝12，
故ω＝eq \f(π,6)，又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－A＋B＝100，,A＋B＝500，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝200，,B＝300.))
当x＝2时，f(x)最小，当x＝8时，f(x)最大，
故sin (2×eq \f(π,6)＋φ)＝－1，且sin (8×eq \f(π,6)＋φ)＝1.
又|φ|<π，故φ＝－eq \f(5π,6).
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为
f(x)＝200sin (eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6))＋300(x＝1，2，…，12).
(2)由条件，可知200sin (eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6))＋300≥400，
化简得sin (eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6))≥eq \f(1,2)，
即2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10.
即客栈在6，7，8，9，10月份要准备400份及以上的食物．
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