2023版新教材高中数学第七章三角函数素养测评新人教B版必修第三册

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第七章　素养测评时间：120分钟　　满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点P( eq \f(\r(5),5)，－ eq \f(2\r(5),5))是角α的终边与单位圆的交点，则cos α＝(　　)A.－ eq \f(2\r(5),5) B． eq \f(\r(5),5) C．－ eq \f(4,5) D．－ eq \f(3,5)2．已知sin α＝－ eq \f(12,13)，且α是第三象限角，则tan α的值为(　　)A. eq \f(12,5) B．－ eq \f(12,5) C． eq \f(5,12) D．－ eq \f(5,12)3．已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于(　　)A. eq \f(π,3) B．1 C． eq \f(2π,3) D．34．已知θ是第二象限角，则  eq \r(sin2θ－sin4θ)可化简为(　　)A.sin θcos θ B．－sin θcos θ C．2sin θcos θ D．－2sin θcos θ5．tan  eq \f(11π,6)＝(　　)A. eq \f(\r(3),3) B．－ eq \f(\r(3),3) C． eq \r(3) D．－ eq \r(3)6．若p：tan (α＋2 021π)<0且cos (α－ eq \f(π,2))>0，q：α为第二象限角．则p是q的(　　)A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知－ eq \f(π,2)<α<0，sin α＋cos α＝ eq \f(1,5)，则 eq \f(1,cos2α－sin2α)的值为(　　)A. eq \f(7,5) B． eq \f(25,7) C． eq \f(7,25) D．－ eq \f(24,25)8．将函数f(x)＝sin(2x＋ eq \f(π,6))的图象分别向左、向右平移φ(φ>0)个单位长度后，所得的图象都关于y轴对称，则φ的最小值分别为(　　)A. eq \f(π,6)， eq \f(π,3) B． eq \f(π,3)， eq \f(π,6) C． eq \f(2π,3)， eq \f(5π,6) D． eq \f(π,6)， eq \f(π,12)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．下列命题正确的是(　　)A.在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°B.若角α的终边过点P(－4，3)，则cos α＝－ eq \f(4,5)C.已知θ是第二象限角，则tan (sin θ)>tan (cos θ)D.若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为 eq \f(1,π)10．已知函数f(x)＝tan x，则下列结论正确的是(　　)A.2π是f(x)的一个周期 B．f(－ eq \f(3π,4))＝f( eq \f(3π,4))C.f(x)的值域为RD．f(x)的图象关于点( eq \f(π,2)，0)对称11．已知函数f(x)＝－cos (4x－ eq \f(π,6))，则下列说法错误的是(　　)A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(π,6)对称C.f(x)的单调递增区间为[ eq \f(kπ,2)－ eq \f(5π,24)， eq \f(kπ,2)＋ eq \f(π,24)](k∈Z)D.f(x)的图象关于点( eq \f(π,6)，0)对称12．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是( eq \f(1,2)， eq \f(\r(3),2))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间可以是(　　)A.[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[1，12]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________．14．已知f(x)＝sin x＋tan x＋x－1，若f(a)＝3，则f(－a)＝________．15．把函数y＝sin (5x－ eq \f(π,2))的图象向右平移 eq \f(π,4)个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的 eq \f(1,2)，所得的函数图象对应的解析式为______________________．16．已知函数f(x)＝2sin (ωx－ eq \f(π,6))＋1(x∈R)图象的一条对称轴方程为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f(x)的最小正周期为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知tan α＝3，求下列各式的值：(1) eq \f(\r(3)cos （－π－α）－sin （π＋α）,\r(3)cos （\f(π,2)＋α）＋sin （\f(3π,2)－α）)；(2)2sin2α－3sinαcos α－1.18．(12分)已知θ是第二象限角，5sin θcos θ＝4tan (π＋θ)，求：(1)tan θ；(2) eq \f(2sin （3π－θ）＋cos （θ－π）,cos （\f(π,2)－θ）－3sin （\f(3π,2)＋θ）).19．(12分)已知函数f(x)＝ eq \r(2)sin (2x－ eq \f(π,4)).(1)用五点法，画出函数f(x)在一个周期上的图象；(2)当x∈[－ eq \f(π,2)， eq \f(π,8)]时，f(x)－a＝0有解，求实数a的取值范围．20．(12分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的部分图象如图所示．(1)写出函数f(x)的解析式及x0的值；(2)求函数f(x)在区间[－ eq \f(π,4)， eq \f(π,4)]上的最小值与最大值．21．(12分)已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)sin (2x＋φ)，φ∈(0，π)，且f(x)的图象关于x＝ eq \f(π,12)对称．(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)图象上的所有点向左平移m(m>0)个单位，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于点( eq \f(π,6)，0)对称，求当m取最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．22．(12分)若函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< eq \f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈[－ eq \f(π,12)， eq \f(π,4)]时，不等式|f(x)－m|≤1有解，求实数m的取值范围．第七章　素养测评1．答案：B解析：因为点P(eq \f(\r(5),5)，－eq \f(2\r(5),5))是角α的终边与单位圆的交点，所以cosα＝eq \f(\r(5),5)，故选B.2．答案：A解析：由sinα＝－eq \f(12,13)，且α是第三象限角，易得cosα＝－eq \f(5,13)，故tanα＝eq \f(12,5).3．答案：B解析：弧长l＝3r－2r＝r，则圆心角α＝eq \f(l,r)＝1.4．答案：B解析：eq \r(sin2θ－sin4θ)＝eq \r(sin2θ（1－sin2θ）)＝eq \r(sin2θcos2θ)＝|sinθcosθ|，由于θ为第二象限角，所以|sinθcosθ|＝－sinθcosθ，故选B.5．答案：B解析：taneq \f(11π,6)＝tan (2π－eq \f(π,6))＝tan (－eq \f(π,6))＝－taneq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),3).故选B.6．答案：C解析：由题意得tan (α＋2021π)＝tanα<0，cos (α－eq \f(π,2))＝sinα>0，由p能推出q，由q能推出p，故p是q的充要条件．故选C.7．答案：B解析：因为－eq \f(π,2)<α<0，所以sinα<0，cosα>0，又sinα＋cosα＝eq \f(1,5)sin2α＋cos2α＝1，即2cos2α－eq \f(2,5)cosα－eq \f(24,25)＝0，解得cosα＝eq \f(4,5)，sinα＝－eq \f(3,5)，所以eq \f(1,cos2α－sin2α)＝eq \f(1,（\f(4,5)）2－（－\f(3,5)）2)＝eq \f(25,7)，故选B.8．答案：A解析：函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度得到函数g(x)＝sin(2x＋2φ＋eq \f(π,6))的图象，向右平移φ个单位长度得函数h(x)＝sin (2x－2φ＋eq \f(π,6))的图象，于是，2φ＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，－2φ＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，于是φ的最小值分别为eq \f(π,6)，eq \f(π,3).故选A.9．答案：ABC解析：选项A：由0°0，tan (cosθ)<0，∴tan (sinθ)>tan (cosθ).正确；选项D：弧长为2，圆心角为90°，则扇形的半径为eq \f(4,π)，所以扇形面积为eq \f(1,2)×2×eq \f(4,π)＝eq \f(4,π).错误．故选ABC.10．答案：ACD解析：f(x)＝tanx的最小正周期为π，所以2π是f(x)的一个周期，A项正确；f(－eq \f(3π,4))＝1，f(eq \f(3π,4))＝－1，B项错误；f(x)＝tanx的值域为R，C项正确；f(x)＝tanx的图象关于点(eq \f(π,2)，0)对称，D项正确．故选ACD.11．答案：ABC解析：对于函数f(x)＝－cos (4x－eq \f(π,6))，它的最小正周期为eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2)，故A错误；当x＝eq \f(π,6)时，f(x)＝0，故f(x)的图象关于点(eq \f(π,6)，0)对称，故D正确，而B错误；令2kπ≤4x－eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z，得eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,24)≤x≤eq \f(kπ,2)＋eq \f(7π,24)，k∈Z，故函数的增区间为[eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,24)，eq \f(kπ,2)＋eq \f(7π,24)]，k∈Z，故C错误．故选ABC.12．答案：AC解析：由题意知T＝12，∴ω＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6)，从而设y关于t的函数为y＝sin (eq \f(π,6)t＋φ).又∵t＝0时，y＝eq \f(\r(3),2)，∴可取φ＝eq \f(π,3)，∴y＝sin (eq \f(π,6)t＋eq \f(π,3))，∴当2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(π,6)t＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，函数递增．∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0，1]和[7，12].13．答案：cos2x(答案不唯一)解析：y＝cos2x满足定义域为R，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，且为偶函数，符合要求．14．答案：－5解析：由于f(a)＝3，即sina＋tana＋a－1＝3，故sina＋tana＋a＝4，令g(x)＝sinx＋tanx＋x，则g(－x)＝－sinx－tanx－x＝－g(x)，即g(x)在定义域内是奇函数，满足sina＋tana＋a＝－(sin (－a)＋tan (－a)＋(－a)，则sin (－a)＋tan (－a)＋(－a)＝－4，故f(－a)＝sin (－a)＋tan (－a)＋(－a)－1＝－4－1＝－5.15．答案：y＝sin (10x－eq \f(7π,4))解析：将函数y＝sin (5x－eq \f(π,2))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y＝sin [5(x－eq \f(π,4))－eq \f(π,2)]＝sin (5x－eq \f(7π,4))的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，可得到函数y＝sin (10x－eq \f(7π,4))的图象．16．答案：eq \f(6π,5)解析：由f(x)＝2sin (ωx－eq \f(π,6))＋1(x∈R)图象的一条对称轴为直线x＝π，可得ωπ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，∴ω＝k＋eq \f(2,3)(k∈Z).又∵ω∈(1，2)，∴ω＝eq \f(5,3)，∴f(x)的最小正周期为T＝eq \f(2π,\f(5,3))＝eq \f(6π,5).17．解析：(1)原式＝eq \f(－\r(3)cosα＋sinα,－\r(3)sinα－cosα)＝eq \f(－\r(3)＋tanα,－\r(3)tanα－1)＝eq \f(3－\r(3),－3\r(3)－1)＝eq \f(6－5\r(3),13).(2)原式＝eq \f(2sin2α－3sinαcosα－sin2α－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq \f(2tan2α－3tanα－tan2α－1,tan2α＋1)＝eq \f(18－9－9－1,9＋1)＝－eq \f(1,10).18．解析：(1)由题意，角θ是第二象限角，且5sinθcosθ＝4tan (π＋θ)，可得5sinθcosθ＝4tanθ＝eq \f(4sinθ,cosθ)，可得cos2θ＝eq \f(4,5)，所以sin2θ＝1－cos2θ＝eq \f(1,5)，所以tan2θ＝eq \f(sin2θ,cos2θ)＝eq \f(1,4)，因为θ是第二象限角，可得tanθ＝－eq \f(1,2).(2)由(1)知tanθ＝－eq \f(1,2)，又由eq \f(2sin（3π－θ）＋cos（θ－π）,cos（\f(π,2)－θ）－3sin（\f(3π,2)＋θ）)＝eq \f(2sinθ－cosθ,sinθ＋3cosθ)＝eq \f(2tanθ－1,tanθ＋3)＝eq \f(2×（－\f(1,2)）－1,－\f(1,2)＋3)＝－eq \f(4,5).19．解析：(1)列表如下：描点、连线，如图所示．(2)∵－eq \f(π,2)≤x≤eq \f(π,8)，∴－eq \f(5π,4)≤2x－eq \f(π,4)≤0，∴－1≤sin (2x－eq \f(π,4))≤eq \f(\r(2),2)，∴－eq \r(2)≤eq \r(2)sin (2x－eq \f(π,4))≤1.∵f(x)－a＝0有解，即a＝f(x)有解，∴a∈[－eq \r(2)，1].20．解析：(1)∵A>0，ω>0，∴由函数图象可知A＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝2[x0－(x0－eq \f(π,2))]＝π，解得ω＝2.又∵函数图象过点(eq \f(13π,12)，2)，∴2＝2sin (2×eq \f(13π,12)＋φ)，∴2×eq \f(13π,12)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq \f(5π,3)，k∈Z.又∵|φ|<eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,3)，∴f(x)＝2sin (2x＋eq \f(π,3)).由函数图象可得2sin (2x0＋eq \f(π,3))＝eq \r(2)，∴2x0＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，即x0＝kπ－eq \f(π,24)，k∈Z.又∵eq \f(13π,12)－eq \f(π,4)0)个单位，得到y＝g(x)＝eq \f(1,2)sin (2x＋eq \f(π,3)＋2m).∵y＝g(x)的图象关于点(eq \f(π,6)，0)对称，∴sin (2×eq \f(π,6)＋eq \f(π,3)＋2m)＝0，∴eq \f(2π,3)＋2m＝kπ，k∈Z，∴m＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z.∵m>0，∴当k＝1时，m有最小值eq \f(π,6)，∴g(x)＝eq \f(1,2)sin (2x＋eq \f(2π,3)).由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(2π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得[－eq \f(7π,12)＋kπ，－eq \f(π,12)＋kπ]，k∈Z.∴函数的单调递增区间是[－eq \f(7π,12)＋kπ，－eq \f(π,12)＋kπ]，k∈Z.22．解析：(1)由题图，知A＝2，eq \f(1,4)T＝eq \f(π,12)－(－eq \f(π,6))＝eq \f(π,4)，解得T＝π，所以ω＝eq \f(2π,T)＝2.根据“五点法”作图，可得2×eq \f(π,12)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得φ＝2kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z.又因为|φ|<eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,3).所以f(x)＝2sin (2x＋eq \f(π,3)).(2)当x∈[－eq \f(π,12)，eq \f(π,4)]时，2x＋eq \f(π,3)∈[eq \f(π,6)，eq \f(5π,6)]，所以f(x)∈[1，2].因为|f(x)－m|≤1有解，所以m－1≤f(x)≤1＋m有解，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥f（x）min，,m－1≤f（x）max，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥1，,m－1≤2，))解得0≤m≤3.故实数m的取值范围是[0，3].x eq \f(π,8) eq \f(3π,8) eq \f(5π,8) eq \f(7π,8) eq \f(9π,8)2x－ eq \f(π,4)0 eq \f(π,2)π eq \f(3π,2)2πf(x)0 eq \r(2)0－ eq \r(2)0