高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念练习题，共7页。试卷主要包含了下列结论错误的是，答案等内容，欢迎下载使用。

A．－6 B．6
C．－6 eq \r(3) D．6 eq \r(3)
2．在△ABC中，a＝5，b＝4，∠C＝45°，则 eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→))＝( )
A．10 eq \r(2) B．20 eq \r(2)
C．－10 eq \r(2) D．－20 eq \r(2)
3．已知e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断中正确的是( )
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1
4．在△ABC中，已知| eq \(AB,\s\up6(→))|＝| eq \(AC,\s\up6(→))|＝4，且 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝8，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．已知|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3 eq \r(3)，则a与b的夹角为________．
6．已知|a|＝2，b2＝3，若(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.
7.
如图，AB是圆C的一条弦，仅由下列一个条件就可以得出 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝2的是( )
A．圆C半径为2
B．圆C半径为1
C．圆C的弦AB长为2
D．圆C的弦AB长为1
8．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ eq \r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)＝( )
A．0 B．a
C．b D．c
9．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，且S△ABC＝1，则下列结论错误的是( )
A． eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0
B． eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝2
C． eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝2
D．| eq \(AB,\s\up6(→))|cs B＝| eq \(BC,\s\up6(→))|
10．(多选)下列结论错误的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＝0
B．0· eq \(AB,\s\up6(→))＝0
C．若a与b共线，则a·b＝|a||b|
D．(a·b)·c＝a·(b·c)
11．(多选)关于菱形ABCD的说法中，正确的是( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(CD,\s\up6(→))
B．( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))⊥( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))
C．( eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))·( eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＝0
D． eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))
12．如图，△ABC的三边长均为1，且 eq \(BC,\s\up6(→))＝a， eq \(CA,\s\up6(→))＝b， eq \(AB,\s\up6(→))＝c，求a·b＋b·c＋c·a的值．
13．已知正方形ABCD的边长为1，E是边AB上的动点，则 eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(CB,\s\up6(→))的值为________， eq \(DE,\s\up6(→))· eq \(DC,\s\up6(→))的最大值为________．
14．(数学运算命题)在△ABC中，已知| eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝3，求：
(1) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))；
(2) eq \(AC,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))方向上的投影的数量；
(3) eq \(AB,\s\up6(→))在 eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影的数量．
15.
如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4，E为腰BC上的动点．求 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))的取值范围．
8．1.1 向量数量积的概念
必备知识基础练
1．答案：A
解析：因为|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝120°，
所以a·b＝|a||b|cs120°＝3×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－6.
故选A.
2．答案：C
解析：∵||＝a＝5，||＝b＝4，C＝45°，
∴·＝－||||cs45°＝－5×4×eq \f(\r(2),2)＝－10eq \r(2)﹒
故选C.
3．答案：C
解析：∵e1∥e2，|e1|＝1，|e2|＝1，∴〈e1，e2〉＝0或π，
∴e1·e2＝±1，故选C.
4．答案：D
解析：由题意，得4×4×csA＝8，
即csA＝eq \f(1,2).又A∈(0，π)，
∴A＝eq \f(π,3).
又||＝||，
∴△ABC为等边三角形，故选D.
5．答案：eq \f(π,6)
解析：设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(3\r(3),2×3)＝eq \f(\r(3),2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,6).
6．解析：因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝eq \r(3).
(1)当a∥b时，a·b＝|a||b|cs0°＝2×eq \r(3)×1＝2eq \r(3)
或a·b＝|a||b|cs180°＝2×eq \r(3)×(－1)＝－2eq \r(3).
(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cs90°＝2×eq \r(3)×0＝0.
(3)当a与b的夹角为150°时，a·b＝|a||b|cs150°＝2×eq \r(3)×(－eq \f(\r(3),2))＝－3.
关键能力综合练
7．答案：C
解析：如图所示，
过点C作OC⊥AB于点O，则O是AB的中点，
所以·＝(＋)·＝·＝eq \f(1,2)2＝2，
所以||＝2.
故选C.
8．答案：B
解析：∵b·c＝|b||c|cs〈b，c〉＝1×eq \r(2)×cs45°＝1，
∴a·(b·c)＝a，故选B.
9．答案：C
解析：在等腰直角三角形ABC中，
C＝90°，S△ABC＝1，
则eq \f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq \r(2)，得AB＝2，
所以·＝0，选项A正确．
·＝||||cs45°＝2，选项B正确．
·＝||||cs135°＝－2，选项C不正确．
向量在上投影的数量为||，即||csB＝||，选项D正确，故选C.
10．答案：BCD
解析：∵＝－，
∴＋＝－＋＝0，∴A正确；
∵数量积是一个实数，不是向量，∴B错误；
∵a与b共线，当方向相反时，a·b＝－|a||b|，∴C错误；当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)·c≠a·(b·c)，∴D错误．故选BCD.
11．答案：ABC
解析：因为四边形ABCD为菱形，
所以AB∥CD，所以∥，A正确；
因为对角线AC与BD互相垂直，
且＋＝，＋＝，
所以⊥，即(＋)⊥(＋)，B正确；
因为－＝，－＝，
又因为⊥，即·＝0，
所以(－)·(－)＝0，C正确；
易知〈，〉＝180°－〈，〉，
且||＝||＝||＝||，
所以·＝－·，D错误．
12．解析：
延长BC至C′，使＝a，
如图，易得〈a，b〉＝〈，〉＝120°，则a·b＝|a|·|b|cs120°＝－eq \f(1,2)，
同理，b·c＝c·a＝－eq \f(1,2).
故a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(3,2).
13．答案：1 1
解析：如图所示，根据平面向量的数量积的定义可得·＝·＝||||·csθ.
由图可知，||csθ＝||，
因此·＝||2＝1.
·＝||||csα＝||csα，
而||csα就是向量在上的投影的数量，故当在上的投影的数量最大，即投影的数量为||时，·取得最大值，所以·的最大值为1.
14．解析：∵||＝5，||＝4，||＝3，
∴||2＝||2＋||2，
∴△ABC为直角三角形，且C＝90°.
∴csA＝eq \f(AC,AB)＝eq \f(3,5)，csB＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5).
(1)·＝－·＝－5×4×eq \f(4,5)＝－16.
(2)在方向上的投影的数量为||·cs〈，〉＝3×eq \f(3,5)＝eq \f(9,5).
(3)在方向上的投影的数量为||·cs〈，〉＝＝＝eq \f(－5×4×\f(4,5),4)＝－4.
核心素养升级练
15．解析：如图，过E作EE′⊥AB，垂足为E′，过C作CC′⊥AB，垂足为C′.
则在上的投影为，∴在上的投影的数量为||，由向量数量积的几何意义知·＝||·||＝4||.
∵点E在腰BC上运动，∴点E′在线段C′B上运动，
∴||≤||≤||，
∴2≤||≤4，∴8≤4||≤16，
∴·的取值范围是[8，16].
必备知识基础练
进阶训练第一层
关键能力综合练
进阶训练第二层
核心素养升级练
进阶训练第三层