高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律课后复习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律课后复习题，共6页。试卷主要包含了已知向量a，b，c满足，下列各式一定正确的有等内容，欢迎下载使用。

A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3)
C． eq \f(2π,3)D． eq \f(5π,6)
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )
A．a＋2b B．2a＋b
C．a－2b D．2a－b
3．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ eq \r(3)，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝( )
A．2 B．2 eq \r(3)
C．4 D．4 eq \r(3)
4．已知|a|＝4，|b|＝3，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb互相垂直，则k的值为( )
A．± eq \f(4,3)B．± eq \f(3,4)
C．± eq \f(2\r(3),3) D．± eq \f(\r(3),2)
5．在△ABC中，若BC＝8，BC边上中线长为3，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．－7 B．7
C．－28 D．28
6．已知向量a，b，c满足：|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a.
(1)求向量a与b的夹角；
(2)求|3a＋b|.
7．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，且 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝－3 eq \r(3)，则| eq \(AC,\s\up6(→))－λ eq \(AB,\s\up6(→))|(λ∈R)的最小值是( )
A． eq \f(3,2) B． eq \r(3)
C． eq \f(3\r(3),2) D．2 eq \r(3)
8．已知△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，D点是斜边AB的中点，点P在CD上，且 eq \(CP,\s\up6(→))＝2 eq \(PD,\s\up6(→))，则 eq \(PA,\s\up6(→))· eq \(PB,\s\up6(→))＝( )
A．－ eq \f(32,9) B．－ eq \f(10,9)
C．－ eq \f(16,9) D．4
9．(多选)下列各式一定正确的有( )
A．0·a＝0 B．a·b＝b·a
C．(a·b)2＝a2·b2 D．(a·b)c＝a(b·c)
10．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是( )
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π )
C．若a⊥b，则a·b＝0
D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b·c))a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c·a))b))·c＝0
11．(多选)在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是( )
A．| eq \(AC,\s\up6(→))|2＝ eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))
B．| eq \(BC,\s\up6(→))|2＝ eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))
C．| eq \(AB,\s\up6(→))|2＝ eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))
D．| eq \(CD,\s\up6(→))|2＝ eq \f(（\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))）×（\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))）,|\(AB,\s\up6(→))|2)
12．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的最小值为________，最大值为________．
13．已知向量a，b，c满足a－b＋2c＝0，且a⊥c，|a|＝2，|c|＝1，求|b|.
14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．
15.已知平面向量a，b满足|a|＝ eq \r(2)，|b|＝1.
(1)若|a－b|＝2，试求a与b夹角的余弦值；
(2)若对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，求a与b的夹角．
8．1.2 向量数量积的运算律
必备知识基础练
1．答案：C
解析：(a＋b)·(a＋3b)＝a2＋4a·b＋3b2＝33＝|a|2＋4×|a||b|csθ＋3|b|2＝33＝9＋4×3×4csθ＋48＝33，解得csθ＝－eq \f(1,2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(2π,3).
2．答案：D
解析：要判断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与b垂直，只需判断这四个向量哪个与b的数量积为零即可．
A．(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝|a||b|cs60°＋2|b|2＝1×1×cs60°＋2×12＝eq \f(5,2)≠0.
B．(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a||b|cs60°＋|b|2＝2×1×1×cs60°＋12＝2≠0.
C．(a－2b)·b＝a·b－2b2＝|a||b|cs60°－2|b|2＝1×1×cs60°－2×12＝－eq \f(3,2)≠0.
D．(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cs60°－|b|2＝2×1×1×cs60°－12＝0.故选D.
3．答案：B
解析：由a·(a－b)＝0及|a|＝1，可得a·b＝a2＝1，
由|a－b|＝eq \r(3)，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，
解得b2＝4，所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，
所以|2a＋b|＝2eq \r(3).
4．答案：A
解析：由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝0，即|a|2＝k2|b|2，所以9k2＝16，k2＝eq \f(16,9)，k＝±eq \f(4,3)，故选A.
5．答案：A
解析：在△ABC中，设BC的中点为D，则＝－.由题意知||＝4，||＝3，则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝||2－||2＝9－16＝－7.
6．解析：(1)因为|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，
所以c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
即1＋1×2×cs〈a，b〉＝0，即cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2).
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(2π,3).
(2)|3a＋b|＝eq \r(（3a＋b）2)＝eq \r(9a2＋6a·b＋b2)
＝eq \r(9＋6×（－1）＋22)＝eq \r(7).
关键能力综合练
7．答案：A
解析：因为AB＝2，AC＝3，且·＝－3eq \r(3)，
所以|－λ|2＝2－2λ·＋λ22＝9＋6eq \r(3)λ＋4λ2＝4(λ＋eq \f(3\r(3),4))2＋eq \f(9,4)，
当λ＝－eq \f(3\r(3),4)时，|－λ|2取得最小值为eq \f(9,4)，则|－λ|取得最小值为eq \f(3,2).
8．答案：C
解析：由题意可知，
＝－，＝－，
∴·＝(－)(－)＝·－(＋)·＋2＝0－2·＋2，
∵＝2，
∴＝eq \f(2,3)，
由D点是斜边AB的中点，可知CD＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(2)，
∴·＝－2·eq \f(2,3)＋eq \f(4,9)2＝－eq \f(8,9)2＝－eq \f(16,9).
故选C.
9．答案：AB
解析：A显然正确；易得B正确；
设a，b的夹角为α
(a·b)2＝(|a||b|csα)2＝|a|2|b|2cs2α，
a2·b2＝|a|2·|b|2，
则C不一定正确；
令a·b＝λ，b·c＝μ
(a·b)c＝λc，a(b·c)＝μa知D不一定正确．
故选AB.
10．答案：AB
解析：A：当a与b中都不是0，a⊥b时，也能得到a·b＝0，所以本命题不正确；
B：当两个平面向量反向平行时，它们的夹角为π，所以本命题不正确；
C：因为a⊥b，所以有a·b＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))·cseq \f(π,2)＝0，所以本命题正确；
D：[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以本命题正确，
故选AB.
11．答案：ABD
解析：·＝||||csA＝||·||＝||2，故A项正确；
·＝||||csB＝||2，故B项正确；
由·＝||||·cs (π－∠ACD)<0，
又||2>0，故C项错误；因为△ABC为直角三角形，CD是斜边AB上的高，所以|AC||BC|＝|AB||CD|，由A项，B项可得||2＝，故D项正确，故选ABD.
12．答案：0 1
解析：设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，
∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|csθ－|b|2＝0，
∴|b|＝|a|csθ＝csθ，
∴0≤|b|≤1.
所以|b|的最小值为0，最大值为1.
13．解析：∵a－b＋2c＝0，
∴b＝a＋2c，
∴b2＝a2＋4c2＋4a·c＝8，∴|b|＝2eq \r(2).
14．答案：eq \f(1,2)
解析：因为E为CD的中点，所以＝＋＝－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)，＝＋，因为·＝1，所以·＝(＋)·(－eq \f(1,2))＝2－eq \f(1,2)2＋eq \f(1,2)·＝1，
即1－eq \f(1,2)2＋eq \f(1,2)||cs60°＝1，
所以－eq \f(1,2)2＋eq \f(1,4)||＝0，
解得||＝eq \f(1,2).
核心素养升级练
15．解析：(1)因为|a|＝eq \r(2)，|b|＝1，|a－b|＝2，
所以|a－b|2＝4，即2－2a·b＋1＝4，
所以a·b＝－eq \f(1,2).
设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(1,2),\r(2)×1)＝－eq \f(\r(2),4).
(2)令a与b的夹角为θ，由|a＋xb|≥|a＋b|，得(a＋xb)2≥(a＋b)2.
因为|a|＝eq \r(2)，|b|＝1，所以x2＋2eq \r(2)xcsθ－2eq \r(2)csθ－1≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝8cs2θ＋8eq \r(2)csθ＋4≤0，即(eq \r(2)csθ＋1)2≤0，
故csθ＝－eq \f(\r(2),2).
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(3,4)π.
必备知识基础练
进阶训练第一层
关键能力综合练
进阶训练第二层
核心素养升级练
进阶训练第三层