2023版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量基本定理课时作业新人教B版选择性必修第一册

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1．1.2 空间向量基本定理 1．设e1，e2是两个不共线的向量，已知向量＝me1＋2e2，＝－2e1－e2，＝e1－2e2，若A，B，D三点共线，则实数m的值为( )A．－ B．－6 C．2 D．－32．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )A．＝2－－B．＝＋＋C．＋＋＝0D．＋＋＋＝03．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间的一组基底的是( )A． B． C． D．或 4.在四棱锥P  ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则用基底{a，b，c}表示向量＝( )A．a－b＋c B．a－b－cC．a－b＋c D．a－b＋c5．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则＝( )A．a－b＋c B．－a＋b＋cC．a＋b－c D．a＋b－c6．如图所示，在平行六面体ABCD  A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，N是BC的中点，试用a，b，c表示 ( ) A.－a＋b＋c B．－a＋b＋cC．－a－b＋c D．a－b＋c 7．已知{e1，e2，e3}为空间向量的一组基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋β b＋γc，则α，β，γ的值分别为( )A．，－1，－ B．，1，C．－，1，－ D．，1，－8．平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD  A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则||＝( )A．－1 B．－1 C． D．－9．在平行六面体ABCD  A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，P，M，N分别是CA1，CD1，C1D1的中点，点Q在CA1上，CQ∶QA1＝4∶1，试用基底{a，b，c}表示以下向量：，，，. 10．在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. (1)试用{，，}表示向量；(2)若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，求·的值． 11．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A，B，C，D四点共面． 12.如图，在三棱锥O  ABC中，M，N分别是棱OA，CB的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c.(1)试用a，b，c表示向量和；(2)若OA＝OB＝OC＝2，且∠AOB＝∠BOC＝60°，∠AOC＝90°，求·的值． 13．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，2a＋b}14．已知直三棱柱ABC  A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为__________． 1．1.2　空间向量基本定理必备知识基础练1．答案：B解析：∵＝－2e1－e2，＝e1－2e2，∴＝－＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则有＝λ.me1＋2e2＝3λe1－λe2.∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3λ,2＝－λ))，即m＝－6.故选B.2．答案：C解析：由＋＋＝0，得＝－－，故M，A，B，C四点共面．故选C.3．答案：C解析：∵＝eq \f(1,2)(a－b)，∴与a，b共面，∴a，b，不能构成空间的一组基底．故选C.4．答案：C解析：连接BD，∵E为PD的中点，∴＝eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,2)(－b＋＋)＝－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)(－＋－)＝－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)(a＋c－2b)＝eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＋eq \f(1,2)c.故选C.5．答案：B解析：＝＋＋＝eq \f(1,3)＋－＋eq \f(1,2)(－)＝－eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.故选B.6．答案：A解析：∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋eq \f(1,2)＝－a＋b＋eq \f(1,2)＝－a＋b＋eq \f(1,2)c.故选A.关键能力综合练7．答案：A解析：由题意，知d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，又d＝e1＋2e2＋3e3，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2),β＝－1,γ＝－\f(1,2))).故选A.8．答案：C解析：作出该平行六面体ABCD  A1B1C1D1，如图所示．易得BD1＝－＋，∴BD12＝(－＋)2＝2＋2＋2－2·－2·＋2·＝1＋1＋1－2×1×1×cos 45°－2×1×1×cos 60°＋2×1×1×cos 60°＝3－ eq \r(2)，∴|BD1|＝ eq \r(3－\r(2)).故选C.9．解析：＝eq \f(1,2)(＋AA1)＝eq \f(1,2)(＋＋)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，＝＋＝＋eq \f(4,5)(－)＝eq \f(1,5)＋eq \f(4,5)＝eq \f(1,5)(＋)＋eq \f(4,5)＝eq \f(1,5)a＋eq \f(1,5)b＋eq \f(4,5)c，＝eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,2)(＋2＋)＝eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,2)c，＝eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,2)[(＋＋)＋(＋)]＝eq \f(1,2)(＋2＋2)＝eq \f(1,2)a＋b＋c.10．解析：(1)∵＝2，∴－＝2(－)，∴3＝2＋.又2＝＋，∴＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3).(2)由(1)可知，＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)，＝－，又∠AOC＝∠BOC＝60°，∴·＝(eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3))·(－)＝－eq \f(1,3)2＋eq \f(1,3)2＋eq \f(1,3)·－eq \f(1,3)·＝－eq \f(1,3)×22＋eq \f(1,3)×32＋eq \f(1,3)×3×4×cos60°－eq \f(1,3)×2×4×cos60°＝eq \f(7,3)，即·的值为eq \f(7,3).11．证明：令＝x＋y，则e1＋e2＝x(2e1＋8e2)＋y(3e1－3e2)＝(2x＋3y)e1＋(8x－3y)e2.因为e1和e2不共线，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，,8x－3y＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(1,5)．))所以＝eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)，所以A，B，C，D四点共面．12．解析：(1)如图，连接ON，∵M，N分别是棱OA，CB的中点，且MG＝2GN，∴＝－＝eq \f(1,2)(＋)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)(b＋c－a).＝＋＝eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)＝eq \f(1,2)a＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(b＋c－a)＝eq \f(1,3)(eq \f(1,2)a＋b＋c)＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.(2)∵OA＝OB＝OC＝2，且∠AOB＝∠BOC＝60°，∠AOC＝90°，∴·＝eq \f(1,2)(b＋c－a)·eq \f(1,3)(eq \f(1,2)a＋b＋c)＝eq \f(1,6)|b|2＋eq \f(1,6)|c|2－eq \f(1,12)|a|2－eq \f(1,12)a·b＋eq \f(1,3)b·c－eq \f(1,12)a·c＝eq \f(1,6)×4＋eq \f(1,6)×4－eq \f(1,12)×4－eq \f(1,12)×2×2cos60°＋eq \f(1,3)×2×2cos60°＝1－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)×2＝eq \f(3,2).核心素养升级练13．答案：C解析：A：因为(a＋b)＋(a－b)＝2a，所以向量a，a＋b，a－b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为(a＋b)＋(－1)(a－b)＝2b，所以向量b，a＋b，a－b是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为{a，b，c}为空间的一组基底，所以这三个向量不共面．若c，a＋b，a－b不构成一组基底，则有c＝x(a＋b)＋y(a－b)⇒c＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以向量a，b，c是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此c，a＋b，a－b能构成一组基底；D：因为2a＋b＝eq \f(3,2)(a＋b)＋eq \f(1,2)(a－b)，所以向量a＋b，a－b，2a＋b是共面向量，因此a＋b，a－b，2a＋b不能构成一组基底．故选C.14．答案：eq \f(\r(10),5)解析：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则〈a，b〉＝120°，c⊥a，c⊥b，因为＝＋＝－a＋c，＝＋＝b＋c，cos〈，〉＝＝eq \f(（－a＋c）·（b＋c）,\r(5)×\r(2))＝eq \f(－a·b－a·c＋b·c＋c2,\r(10))＝eq \f(－2×1×cos120°＋1,\r(10))＝eq \f(2,\r(10))＝eq \f(\r(10),5).