2023版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系课时作业新人教B版选择性必修第一册

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1．1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )A．－1 B．1 C．0 D．－22．已知i，j，k是空间直角坐标系O  xyz的坐标向量，并且＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )A．(－1，1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不能确定3．在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标是( )A．(0，0，0) B．(2，－1，－4) C．(6，－3，－12) D．(－2，3，12)4．向量a＝(－2，－3，1)，b＝(2，0，4)，c＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( )A．a∥b，a⊥b B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对5．若△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k的值为( )A． B．－ C．2 D．±6．如图，在长方体ABCD  A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________． 7.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos 〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为( )A．(1，1，1) B．(1，1，) C．(1，1，) D．(1，1，2)8．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，向量a＝(m，－1，n)，且向量a分别与，垂直，则|a|＝( )A．4 B．2 C．2 D．9．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c).其中叙述正确的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．010．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为____________．11．在直三棱柱ABC  A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则cos 〈C1D，A1C〉＝________．12．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).(1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 13．(多选)已知O为坐标原点，＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，下列说法正确的是( )A．λ＝ B．λ＝1C．点Q的坐标为(，，) D．点Q的坐标为(，，) 14.如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O  xyz，点P在线段AB上，点Q在线段DC上．(1)当PB＝2AP，且点P关于y轴的对称点为点M时，求|PM|的长度；(2)当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究|PQ|的最小值．1．1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系必备知识基础练1．答案：A解析：∵p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.故选A.2．答案：D解析：向量的坐标与B点的坐标不同．由于A点的坐标未知，故无法确定B点坐标．故选D.3．答案：C解析：设对称点为P3，则点M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12).故选C.4．答案：C解析：∵c＝2a，∴a∥c，又∵a·b＝－2×2＋0＋1×4＝0，∴a⊥b.故选C.5．答案：D解析：∵A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，∴＝(3，－2，k)，＝(6，－1，－2k).∵△ABC中，∠C＝90°，∴·＝(3，－2，k)·(6，－1，－2k)＝18＋2－2k2＝0，解得k＝±eq \r(10).故选D.6．答案：(0，2，1)　(2，2，1)解析：因为A(0，0，0)，D1(0，2，1)，C1(2，2，1)，所以＝(0，2，1)，＝(2，2，1).关键能力综合练7．答案：A解析：设PD＝a，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，a)，E(1，1，eq \f(a,2))，∴＝(0，0，a)，＝(－1，1，eq \f(a,2)).∵cos〈，〉＝eq \f(\f(a2,2),a·\r(2＋\f(a2,4)))＝eq \f(\r(3),3)，∴a＝2，∴点E的坐标为(1，1，1).故选A.8．答案：D解析：因为空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，所以＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)，因为向量a＝(m，－1，n)，且向量a分别与，垂直，所以，解得m＝－1，n＝－1，所以a＝(－1，－1，－1)，故|a|＝eq \r(3).故选D.9．答案：C解析：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)对称，则x不变，其余相反，即对称点是P1(a，－b，－c)，故①错误；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面对称，则y，z不变，x相反，即对称点P2(－a，b，c)，故②错误；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)对称，则y不变，x，z相反，即对称点是P3(－a，b，－c)，故③错误；④点P(a，b，c)关于坐标原点对称，则x，y，z都为相反数，即对称点为P4(－a，－b，－c)，故④正确．故选C.10．答案：(eq \f(10,3)，－1，eq \f(7,3))或(eq \f(14,3)，3，eq \f(11,3))解析：∵点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且＝eq \f(1,3)，设点C的坐标为(x，y，z)，①＝eq \f(1,3)＝eq \f(1,3)(－2，－6，－2)＝(－eq \f(2,3)，－2，－eq \f(2,3))，即(x－4，y－1，z－3)＝(－eq \f(2,3)，－2，－eq \f(2,3))，∴(x，y，z)＝(eq \f(10,3)，－1，eq \f(7,3)).②＝－eq \f(1,3)＝－eq \f(1,3)(－2，－6，－2)＝(eq \f(2,3)，2，eq \f(2,3))，即(x－4，y－1，z－3)＝(eq \f(2,3)，2，eq \f(2,3))，∴(x，y，z)＝(eq \f(14,3)，3，eq \f(11,3)).11．答案：eq \f(\r(15),15)解析：建立空间直角坐标系如图所示，则C1(0，1，2)，D(1，0，1)，A1(0，0，2)，C(0，1，0).∴＝(1，－1，－1)，＝(0，1，－2).∴cos〈，〉＝＝eq \f(－1＋2,\r(3)×\r(5))＝eq \f(\r(15),15).12．解析：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)，故|2a＋b|＝eq \r(02＋（－5）2＋52)＝5eq \r(2).(2)假设存在点E，＝(1，－1，－2)，＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若⊥b，则·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝9－5t＝0，解得t＝eq \f(9,5)，因此存在点E，使得⊥b，此时点E的坐标为(－eq \f(6,5)，－eq \f(14,5)，eq \f(2,5)).核心素养升级练13．答案：AC解析：由于点Q在直线OP上运动，所以满足共线的条件，设Q(t，t，2t)，所以＝(1－t，2－t，3－2t)，＝(2－t，1－t，2－2t)；故·＝6t2－16t＋10＝6(t－eq \f(4,3))2－eq \f(2,3)，当t＝eq \f(4,3)时，·取得最小值．即题中的λ＝t＝eq \f(4,3)，点Q(eq \f(4,3)，eq \f(4,3)，eq \f(8,3)).故选AC.14．解析：(1)由题意知点A(1，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(1，1，1)，当PB＝2AP时，P(1，eq \f(1,3)，eq \f(2,3))，M(－1，eq \f(1,3)，－eq \f(2,3))，∴|PM|＝eq \r(（1＋1）2＋（\f(1,3)－\f(1,3)）2＋（\f(2,3)＋\f(2,3)）2)＝eq \f(2\r(13),3).(2)当点P是面对角线AB中点时，点P(1，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))，点Q在面对角线DC上运动，设点Q(a，1，a)，a∈[0，1]，则|PQ|＝eq \r(（1－a）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－a))\s\up12(2))＝eq \r(2a2－3a＋\f(3,2))＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3,4)))\s\up12(2)＋\f(3,8))，∴当a＝eq \f(3,4)时，|PQ|取得最小值为eq \f(\r(6),4)，此时点Q(eq \f(3,4)，1，eq \f(3,4)).