2023版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点直线与空间向量课时作业新人教B版选择性必修第一册

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1．2.1　空间中的点、直线与空间向量1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)A．(1，2，3) B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1)2．已知直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，1，m)，若l1⊥l2，则m＝(　　)A．1　　　B．2 C．0　　　D．33．已知向量a，b分别是直线l1，l2的方向向量，且a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，若l1∥l2，则(　　)A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝15 C．x＝ eq \f(8,3)，y＝ eq \f(10,3) D．x＝6，y＝ eq \f(15,2)4．空间直角坐标系中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是(　　)A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定5．如图，在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2BB1，P为C1D1的中点，则异面直线PB与B1C所成角的大小是(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°6．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z＝________．　7.如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为(　　)A．15° B．30° C．45° D．60°8．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝ eq \f(\r(10),10)，则该四面体的体积为(　　)A． eq \f(1,3) B． eq \f(2,3) C． eq \f(4,3) D． eq \f(8,3)9．正四棱锥S ­ ABCD的八条棱长都相等，点E是SB的中点，则异面直线AE，SD所成角的余弦值为________．10．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝EO.求异面直线DE与CD1所成角的余弦值．11.如图，在三棱柱ABC ­ A′B′C′中，A′A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．12.如图，三棱锥O ­ ABC中，∠AOB＝∠BOC＝ eq \f(π,3)，∠AOC＝ eq \f(π,2)，OA＝OB＝OC＝2，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，则异面直线OG与BC所成角的余弦值为(　　)A． eq \f(1,4)　　　B．－ eq \f(\r(5),10) C． eq \f(\r(5),10)　　　D． eq \f(\r(10),10)　13．记动点P是棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1的对角线BD1上一点，且 eq \f(D1P,D1B)＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围为(　　)A．(0，1) B．( eq \f(1,3)，1) C．(0， eq \f(1,3)) D．(1，3)如图，在三棱锥S ­ ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为________．1．2.1　空间中的点、直线与空间向量必备知识基础练1．答案：A解析：由题意可得：直线l的一个方向向量＝(2，4，6)，又∵(1，2，3)＝eq \f(1,2)(2，4，6)，∴(1，2，3)是直线l的一个方向向量．故选A.2．答案：C解析：直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，1，m)，l1⊥l2，∴a·b＝－2＋2－2m＝0，解得m＝0.故选C.3．答案：D解析：∵l1∥l2，向量a，b分别是l1，l2的方向向量，∴a∥b，∴eq \f(x,4)＝eq \f(y,5)＝eq \f(3,2)，∴x＝6，y＝eq \f(15,2).故选D.4．答案：A解析：∵在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，∴＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，∴＝－2，∴直线AB与CD平行．故选A.5．答案：D解析：建立如图所示空间直角坐标系，设BB1＝1，由AB＝2BC＝2BB1，则AB＝2，BC＝1，所以B(1，2，0)，B1(1，2，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)，因为P为C1D1的中点，所以P(0，1，1)，＝(1，1，－1)，＝(－1，0，－1)，所以·＝－1＋0＋1＝0，所以⊥，即异面直线PB与B1C所成的角为90°．故选D.6．答案：0解析：∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)，因为直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(3,2)＝z.∴y－z＝0.关键能力综合练7．答案：B解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略).设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，E(1，1，2)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，所以＝(1，1，2)，＝(－2，0，－2)，所以|cos〈，B1C〉|＝＝eq \f(|1×（－2）＋1×0＋2×（－2）|,\r(6)×2\r(2))＝eq \f(\r(3),2)，所以异面直线DE与B1C所成角的余弦值为eq \f(\r(3),2)，所以异面直线DE与B1C所成的角为30°.故选B.8．答案：A解析：以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a(a>0)，则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，E(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，D(0，0，a)，∴＝(0，－1，a)，＝(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，∴cosθ＝＝eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))),\r(1＋a2)·\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)))＝eq \f(\r(10),10)，∴a＝2(负值舍去)，∴该四面体的体积为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×2＝eq \f(1,3).故选A.9．答案：eq \f(\r(3),3)解析：以正方形ABCD的中心O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设四棱锥SABCD的棱长为2，则A(－1，－1，0)，B(1，－1，0)，S(0，0，eq \r(2))，D(－1，1，0)，E(eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2))，∴＝(eq \f(3,2)，eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2))，＝(－1，1，－eq \r(2))，∴cos〈，〉＝eq \f(－\f(3,2)＋\f(1,2)－1,\r(\f(9,4)＋\f(1,4)＋\f(1,2))·\r(1＋1＋2))＝－eq \f(\r(3),3).故异面直线AE，SD所成角的余弦值为eq \f(\r(3),3).10．解析：不妨设正方体的棱长为1，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，O(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E(eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，eq \f(1,2))，于是＝(eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，eq \f(1,2))，＝(0，－1，1)，且||＝eq \f(\r(6),4)，||＝eq \r(2)，则cos〈，〉＝＝eq \f(\r(3),6).所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为eq \f(\r(3),6).11．解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝a·c＝0，∴＝b＋eq \f(1,2)c，＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a.∴·＝(b＋eq \f(1,2)c)·(－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a)＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0，∴⊥，即CE⊥A′D.(2)∵＝－a＋c，∴||＝eq \r(2)|a|，||＝eq \f(\r(5),2)|a|，∵·＝(－a＋c)(b＋eq \f(1,2)c)＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，∴cos〈，〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10).∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq \f(\r(10),10).12．答案：C解析：由题意可得||＝||＝||＝2，〈，〉＝〈，〉＝eq \f(π,3)，〈，〉＝eq \f(π,2)，由＝eq \f(1,2)(＋)＝eq \f(1,2)[eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)(＋)]＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)，＝－，可得cos〈，〉＝＝＝eq \f(\f(1,4)×2×2×\f(1,2)＋\f(1,4)×22－\f(1,4)×2×2×\f(1,2)－\f(1,4)×22－\f(1,4)×2×2×\f(1,2),\r(22－2×2×2×\f(1,2)＋22)×\f(1,4)\r(22＋22＋22＋2×2×2×\f(1,2)＋2×2×2×\f(1,2)))＝eq \f(－\f(1,2),2×\f(1,2)\r(5))＝－eq \f(\r(5),10)，则异面直线OG与BC所成角的余弦值为eq \f(\r(5),10).故选C.核心素养升级练13．答案：B解析：根据题意，以，，为单位正交基底．建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，∴＝(1，1，－1)，＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，∴＝(λ，λ，－λ)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1，0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)；＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0，1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，∵PA，PC不共线，∴当∠APC为钝角时，cos∠APC