2023版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课时作业新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课时作业新人教B版选择性必修第一册，共8页。

1．2.2 空间中的平面与空间向量1．若向量＝(0，2，1)，＝(－1，1，－2)，则平面ABC的一个法向量可以是( )A．(3，－1，－2) B．(－4，2，2) C．(5，1，－2) D．(5，－2，1)2．已知平面α上三点A(3，2，1)，B(－1，2，0)，C(4，－2，－1)，则平面α的一个法向量为( )A．(4，－9，－16) B．(4，9，－16) C．(－16，9，－4) D．(16，9，－4) 3.在三棱锥P  ABC中，CP，CA，CB两两互相垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的一个法向量的是( )A．(1，1，) B．(1，，1) C．(1，1，1) D．(2，－2，1)4．已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥n”是“l∥α”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，则( )A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 6.如图，在正方体ABCD  A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )A．AC B．BD C．A1D D．A1D1 7．已知平面α内的两个向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1).若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )A．－1，2 B．1，－2 C．1，2 D．－1，－28．设A(a，1)，B(2，1)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若向量与在方向上的投影相同，则实数a的值为( )A．2 B．－2 C．3 D．－39．如图，在长方体ABCD  A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，以下说法正确的是( ) A．A1E∥平面CC1D1D B．A1E⊥平面BCC1B1C．A1E∥D1F D．A1E⊥D1F10．在正方体ABCD  A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1A，C1D1，A1D1的中点，则( )A．AC∥平面EFG B．A1C∥平面EFGC．B1C⊥平面EFG D．BD⊥平面EFG11．三棱柱ABC  A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝2，M，N分别是AB，A1C的中点． (1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C. 12．在直三棱柱ABC  A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)证明：B1D⊥平面ABD；(2)证明：平面EGF∥平面ABD． 13．如图所示，在四棱锥P  ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1.点E为棱PC的中点，求证： (1)BE⊥DC； (2)BE∥平面PAD. 14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a＝( )A．1 B．2 C．3 D．41．2.2　空间中的平面与空间向量必备知识基础练1．答案：C解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，因为向量＝(0，2，1)，＝(－1，1，－2)，所以，取y＝1，得n＝(5，1，－2).故选C.2．答案：B解析：由已知＝(－4，0，－1)，＝(1，－4，－2)，设平面α的一个法向量为n＝(x，y，z)，由，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x－z＝0,x－4y－2z＝0))，取x＝4，可得z＝－16，y＝9，所以平面α的一个法向量为n＝(4，9，－16).故选B.3．答案：A解析：由题意P(0，0，2)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，则＝(1，0，－2)，＝(－1，1，0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，由，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2z＝0,－x＋y＝0))，令z＝1，得n＝(2，2，1)，又(1，1，eq \f(1,2))＝eq \f(1,2)n，∴平面PAB的一个法向量为(1，1，eq \f(1,2)).故选A.4．答案：B解析：n为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥n”⇒“l∥α或l⊂α”，“l∥α”⇒“l⊥n”，∴“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B.5．答案：B解析：∵m＝(3，1，－5)，n＝(－6，－2，10)，∴n＝－2m，∴m∥n，∴α∥β.故选B.6．答案：B解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，则A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，E(1，1，2)，＝(1，－1，2)，＝(－2，2，0)，·＝－4，∴CE与AC不垂直，故A错误；＝(－2，－2，0)，·＝0，∴CE⊥BD，故B正确；＝(－2，0，－2)，·＝－6，∴CE和A1D不垂直，故C错误；＝(－2，0，0)，·＝－2，∴CE与A1D1不垂直，故D错误．故选B.关键能力综合练7．答案：A解析：∵a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，∴c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的法向量，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c·a＝3m＋n＋1＝0,c·b＝m＋5n－9＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1,n＝2)).故选A.8．答案：A解析：A(a，1)，B(2，1)，C(4，5)，O为坐标原点，由向量与在方向上的投影相同，则＝，即·＝·；所以4a＋5＝8＋5，解得a＝2，则实数a的值为2.故选A.9．答案：A解析：对A：由长方体的性质有平面ABB1A1∥平面CC1D1D，又A1E⊂平面ABB1A1，所以A1E∥平面CC1D1D，故选项A正确；对B：因为E为棱BB1的中点，且A1B1⊥BB1，所以A1E与BB1不垂直，所以若A1E⊥平面BCC1B1，则A1E⊥BB1，这与A1E和BB1不垂直相矛盾，故选项B错误；对C，D：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则A1＝(a，0，c)，E(a，b，eq \f(c,2))，D1(0，0，c)，F(eq \f(a,2)，b，c)，所以＝(0，b，－eq \f(c,2))，＝(eq \f(a,2)，b，0)，因为与不是共线向量，且·＝b2>0，所以A1E与D1F不平行，且A1E与D1F不垂直，故选项C，D错误．故选A.10．答案：A解析：取CC1，BC，AB的中点分别记为H，I，J，连接FH，HI，IJ，EJ，根据正方体的性质可得平面EFG即为平面EGFHIJ，对于A：如图1，AC∥IJ，AC⊄平面EFG，IJ⊂平面EFG，所以AC∥平面EFG，故A正确；对于B：如图2，在平面A1D1CB中，A1C∩GI＝K，则A1C∩平面EFG＝K，所以B错误；对于C，D：如图3，B1D⊥平面EGFHIJ，因为过平面EGFHIJ外一点作B1(D)仅能作一条垂线垂直该平面，故C，D错误；其中B1D⊥平面EGFHIJ可按如下证明：如图4建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，2，0)，B1(2，0，2)，E(0，0，1)，G(0，1，2)，F(1，2，2)，所以＝(2，－2，2)，＝(0，1，1)，＝(1，2，1)，所以·＝0，·＝2×1＋2×(－2)＋2×1＝0，即⊥，⊥，又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EFG，所以B1D⊥平面EFG.故选A.11．证明：(1)连接BC1，AC1.在△ABC1中，∵M，N是AB，A1C的中点，∴MN∥BC1.又∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1xyz.则B1(0，0，0)，C(0，2，2)，A1(－2，0，0)，M(－1，0，2)，N(－1，1，1)，∴＝(0，2，2)，＝(2，0，0)，＝(0，－1，1).设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z).eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·B1C＝0,n·A1B1＝0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝－z))，令z＝1，则x＝0，y＝－1，∴n＝(0，－1，1).∴n＝.∴MN⊥平面A1B1C.12．证明：(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，设BA＝a，则A(a，0，0)，所以＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.(2)由(1)知，E(0，0，3)，G(eq \f(a,2)，1，4)，F(0，1，4)，则＝(eq \f(a,2)，1，1)，＝(0，1，1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.核心素养升级练13．证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AD⊥AB，所以AB，AD，AP两两垂直，所以以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，1，1)，所以＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，所以·＝0，所以⊥，所以BE⊥DC.(2)平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)，因为·＝0，所以⊥，因为BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.14．答案：B解析：连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.∵PA⊥平面ABCD，PQ⊥DQ，由三垂线定理的逆定理可得DQ⊥AQ.∴点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又∵在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，∴BC与圆O相切，(否则相交就有两点满足垂直，矛盾．)∴OQ⊥BC，∵AD∥BC，∴OQ＝AB＝1，∴BC＝AD＝2.故选B.