2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课时作业新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课时作业新人教B版选择性必修第一册，共6页。

2．6.2 双曲线的几何性质 1．双曲线y2－x2＝1的焦点坐标是( )A．(±1，0) B．(0，±1) C．(±，0) D．(0，±)2．若直线过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3．(多选)与双曲线－＝1有相同的渐近线的方程是( )A．－＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．－y2＝14．若双曲线的渐近线方程是y＝±x，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是( )A．－＝1 B．－＝1C．－＝1或－＝1 D．－＝1或－＝15．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为________．6．如图，双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为________，离心率为________． 7．(多选)已知双曲线C：－y2＝1，则( )A．双曲线C的离心率为B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为1C．双曲线C的渐近线方程为y＝±xD．双曲线C左支上的点到右焦点的最短距离为48．已知A，B为椭圆E的左、右焦点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )A． B． C．或 D．或9．已知点(3，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________，顶点到渐近线的距离为________．10．与双曲线x2－y2＝1有相同的渐近线，且过点(1，2)的双曲线的标准方程为________．11．已知F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，P是双曲线右支上的一点，且PF2⊥x轴，点A是双曲线的左顶点，若|PF2|＝2|AF2|，则双曲线的离心率为________．12．已知双曲线的中心在原点，左、右焦点分别是F1，F2且在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求此双曲线的方程； (2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若5＝，则双曲线C的离心率e为________．14．已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若C的右支上存在一点M，满足2|MF1|＝3|MF2|，则双曲线C经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围为( )A．(0，2] B．[2，＋∞) C．(0，5] D．[5，＋∞) 2．6.2　双曲线的几何性质必备知识基础练1．答案：D解析：由双曲线y2－x2＝1，可得a＝1，b＝1，c＝eq \r(2)，所以双曲线的焦点坐标为(0，±eq \r(2)).故选D.2．答案：C解析：当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝eq \r(2)，此时直线与双曲线相切于右顶点，满足条件；当直线l的斜率存在时，若与双曲线的渐近线平行，也满足条件，因此一共有3条直线满足题意．故选C.3．答案：ABC解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，A，B，C的渐近线方程均为y＝±eq \f(\r(2),2)x，D的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x.故选ABC.4．答案：C解析：当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(2,3),2b＝8))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝4))，此时双曲线的方程为eq \f(x2,36)－eq \f(y2,16)＝1，当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的方程可设为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＝\f(2,3),2b＝8))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,3),b＝4))，此时双曲线的方程为eq \f(9y2,64)－eq \f(x2,16)＝1.故选C.5．答案：y＝±eq \f(4,3)x解析：由题意可知eq \f(c,a)＝eq \f(5,3)，则eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(25,9)，解得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，则它的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(4,3)x.6．答案：y＝±eq \r(2)x　eq \r(3)解析：设F1(－c，0)，M(0，y0)，因为M为线段PF1的中点，且PF1的倾斜角为30°，则P(c，eq \f(2\r(3),3)c)，将其代入双曲线方程得eq \f(c2,a2)－eq \f(\f(4,3)c2,b2)＝1，又有c2＝a2＋b2，整理得3(eq \f(b,a))4－4(eq \f(b,a))2－4＝0，解得(eq \f(b,a))2＝2.故所求渐近线方程为y＝±eq \r(2)x，离心率为eq \r(3).关键能力综合练7．答案：ABC解析：双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1中，a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2＋b2＝5，则a＝2，b＝1，c＝eq \r(5)，所以双曲线C的离心率为eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，故A正确；双曲线的焦点为(±eq \r(5)，0)到渐近线y＝±eq \f(1,2)x的距离为eq \f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))),\r(12＋（\f(1,2)）2))＝1，故B正确，C正确；双曲线C左支上的点P到右焦点F2的距离为|PF2|≥c＋a＝eq \r(5)＋2，故最短距离为eq \r(5)＋2，故D不正确．故选ABC.8．答案：D解析：依题意设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，①若M为等腰△ABM的顶角，则M在椭圆的上(下)顶点，如图所示：则∠AMB＝120°，所以∠OMB＝60°，则tan∠OMB＝tan60°＝eq \r(3)＝eq \f(c,b)，又c2＝a2－b2，所以c2＝a2－(eq \f(\r(3),3)c)2，所以e＝eq \f(\r(3),2)；②若A(或B)为等腰△ABM的顶角，不妨取A为顶角，如图所示：即∠MAB＝120°，AB＝AM＝2c，又MB＋MA＝2a，所以MB＝2a－2c，由余弦定理MB2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠MAB，即(2a－2c)2＝4c2＋4c2－2·2c·2c·(－eq \f(1,2))，即2c2＋2ac－a2＝0，所以2e2＋2e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(3)－1,2)或e＝eq \f(－\r(3)－1,2)(舍去)，综上可得e＝eq \f(\r(3)－1,2)或e＝eq \f(\r(3),2).故选D.9．答案：2eq \r(2)　eq \f(2\r(2),3)解析：点(3，0)是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点，则a＝1，c＝3，所以b＝2eq \r(2)，于是渐近线方程为y＝±2eq \r(2)x，顶点为(±1，0)，所以顶点到渐近线的距离为d＝eq \f(2\r(2),\r(1＋8))＝eq \f(2\r(2),3).10．答案：eq \f(y2,3)－eq \f(x2,3)＝1解析：依题意，设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，于是得λ＝12－22＝－3，则有x2－y2＝－3，所以双曲线的标准方程为eq \f(y2,3)－eq \f(x2,3)＝1.11．答案：3解析：如图，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝2a＋2c，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a，则有eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＝4a＋2c，且△PF1F2为直角三角形，∴|PF2|2＋|F2F1|2＝|PF1|2，列方程得，(4a＋2c)2＝4(a＋c)2＋4c2，化简得3a2＋2ac－c2＝0，再整理得，e2－2e－3＝0，解得e＝3或e＝－1(舍去).12．解析：(1)因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，所以a＝b.设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，因为点(4，－eq \r(10))在双曲线上，所以n＝42－(－eq \r(10))2＝6.所以双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，所以m2＝3.又点F1(－2eq \r(3)，0)，点F2(2eq \r(3)，0)，所以·＝eq \f(m,3＋2\r(3))·eq \f(m,3－2\r(3))＝－eq \f(m2,3)＝－1.所以eq \o(F1M,\s\up6(→))·eq \o(F2M,\s\up6(→))＝0.核心素养升级练13．答案：eq \f(\r(15),3)解析：由题意，双曲线C的渐近线为y＝±eq \f(b,a)x，若过F2的直线l与直线y＝－eq \f(b,a)x垂直，垂足为A，直线l与直线y＝eq \f(b,a)x交于B，F2(c，0)，因为5eq \o(AF2,\s\up6(→))＝eq \o(F2B,\s\up6(→))，所以F2在A，B之间，如图所示，直线l的方程为y＝eq \f(a,b)(x－c)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,b)（x－c）,y＝－\f(b,a)x))，得A(eq \f(a2c,a2＋b2)，－eq \f(abc,a2＋b2))，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(a,b)（x－c）,y＝\f(b,a)x))，得B(eq \f(a2c,a2－b2)，eq \f(abc,a2－b2))，由5eq \o(AF2,\s\up6(→))＝eq \o(F2B,\s\up6(→))，可得5eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(abc,a2＋b2)))＝eq \f(abc,a2－b2)，所以eq \f(5,a2＋b2)＝eq \f(1,a2－b2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(2,3)，所以双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(2,3))＝eq \f(\r(15),3).同理，过F2的直线l与直线y＝eq \f(b,a)x垂直时，双曲线C的离心率e＝eq \f(\r(15),3).综上所述，双曲线C的离心率e为eq \f(\r(15),3).14．答案：A解析：双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，其中过一、三象限的渐近线为y＝eq \f(b,a)x，其斜率为eq \f(b,a).M在双曲线的右支，设|MF1|＝s，|MF2|＝t，由于2|MF1|＝3|MF2|，即2s＝3t，　①根据双曲线的定义可知s－t＝2a，　②由①②解得s＝6a，t＝4a.由于M在双曲线的右支，所以|MF1|＝6a≥a＋c，5a≥c，两边平方得25a2≥c2＝a2＋b2，24a2≥b2，eq \f(b2,a2)≤24，所以eq \f(b,a)∈(0，2eq \r(6)].故选A.